新課程背景下數學分析教學研究

陳娟

[摘 要]數學分析是數學專業最重要的基礎課程之一。2003年頒布的《普通高中數學課程標準（實驗稿）》增加了一些數學分析中的內容，如定積分，零點存在定理等。但是高中增加的內容并不是大學內容的直接下放，經過了化簡，并且更注重數學思想的滲透。為此大學數學分析教學應該針對新課改的情況作出適當調整，以便更好的促進學生的學習。本文將結合極限、泰勒公式、導數的應用等具體內容的教學設計，分析如何在新課程背景下進行數學分析教學。

[關鍵詞]數學分析；教學；極限；泰勒公式；導數

[中圖分類號]00 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2015）08 — 0173 — 02

2003年《普通高中數學課程標準（實驗稿）》（一下簡稱《課標》）頒布以來，已經逐步在全國范圍內推廣，到2012年廣西壯族自治區也采用了課標版教科書，從此全國范圍內均采用課標版教科書。與之前的《全日制普通高級中學數學教學大綱》相比，課標增加了很多新的學習內容，如積分、合情推理、數學史等，同時對以往的內容，如導數、極限等進行了重新定位。這樣進入大學學習數學專業的學生已經對數學分析的有些內容有了初步了解，但是大學的數學分析教材并沒有改變，這就要求教師在教學中應當做適當調整，以更好的促進學生的學習，提高學習效果。

另外，《課標》非常強調數學思想方法的教學，數學模型的應用價值等。那么大學數學專業課程的教學中，教師要繼續發揚《課標》中的理念，不但教會學生知識，更要教會學生方法，這才是使得學生受益終身的內容。

本文將結合一些具體教學內容，如極限、泰勒公式、導數等，談談如何在新課程背景下進行大學數學分析教學。

1 極限教學

2000年頒布的《全日制普通高級中學數學教學大綱》已將極限內容下放到中學，雖然《課標》中又刪除了極限內容，但是在講導數時還要用到極限的概念，所以很多中學老師依然補充了這部分知識，很多中學生都會計算一些簡單的數列極限與函數極限。但是中學生所接觸的極限都是很直觀初等的。并沒有精確的給出極限的概念。而很多學生進入大學學習數學分析，就要接觸、語言，這是中學數學完全沒有接觸過的。學生往往感到困惑，為何要這樣定義極限，這是因為中學所學的都是從直觀角度入手，要引發學生的認知沖突，如果不向學生展示引出極限概念的必要性，而直接給出嚴格定義，學生陷于形式化的符號中，容易喪失學習的興趣。

學生經過計算討論后，自然可以發現有些數列隨著增大會趨于穩定，而有的則不是定值。但是對于最后一個數列學生會得出不同的結論，在教師引導下學生們自然會發下，以高中知識無法解決這個問題，引發了認知沖突，這樣就引出了精確定義極限概念的必要性。學生才會明白中學里沒有精確給出極限定義，這樣有些數列是否有極限是不能確定的。這樣的教學設計充分體現了學生在學習中的主體作用，由教師的教轉向學生的學，學生既感受到學習新知識的原因，同時也體會到了歸納在數學學習中的重要作用，這樣安排教學比直接給出極限定義要好得多。

2 實數連續性定理教學

實數連續性六大定理（閉區間套定理、確界定理、有限覆蓋定理、聚點定理、致密性定理、柯西收斂準則）歷來是教學難點。造成教學困難的有如下幾點。首先學生在初中就學習到了無理數，但是初中的無理數引入主要是通過“開方不盡數”的，這種引入很自然，符合學生的認知規律。但是這種引入方式雖然簡單，但是“開方不盡數”只有極為少數的無理數，是可數的，而我們知道無理數是不可數的。但是初中生還沒有接觸這些概念，他們就會認為無理數就是“開方不盡數”。而這時又從另外一個角度來定義無理數，學生在心理上是沒有準備的，因此很難理解。第二個原因在于這六大定理過于形式化，充滿了精確的數學語言，如確界、聚點等，又有大量抽象的符號等，學生在理解這些名詞符號上就好花費很多時間，自然也影響了對于定理所表達的實質內容的理解。因此教師在教學時，要進行學情分析，要清楚的了解學生學習的難點困惑所在。為次考慮到高中已經開設了數學史選講，并且“類比”這一重要的數學思想方法已經進入了教科書，結合這些特點，進行如下教學設計。

實數理論的奠基是與微積分的嚴密化緊密聯系在一起的。而中學已經簡單的介紹了數系擴充的歷史，并且簡要介紹了微積分的發展歷程。因此教師在教學時不妨先讓學生回顧為什么數系要擴充，學生很容易回答出是運算的封閉性要求數系要擴充。然后再引導學生考慮無理數是如何擴充的？學生自然會想到開方運算，但是教師還要引導學生去思考是如何計算出來的，還是利用開方運算嗎？這樣就引起了學生的認知沖突，教師再引導學生回憶重要極限，這樣學生會發現很多無理數其實是有理數列的極限，因此極限運算是無理數的重要來源。然后再指出，從運算角度來看，實數集關于極限運算是封閉的。而這個性質就是實數的連續性，因此要對實數集連續性的定理進行嚴格證明。

這樣進行教學設計，充分考慮了學生的認知特點與學習心理，有借助類比的方法，讓學生與以前所學內容進行比較，降低了學習難度，比一開始就講解定理的證明效果要好。

3 泰勒公式教學

泰勒公式在函數值的近似計算中有重要作用，是一個非常重要的數學工具。但在教學中，泰勒公式繁瑣的推導過程會占用大量的數學課堂時間，反而其重要的應用例子，教師可能簡單一帶而過，有心理學中的注意理論可知，學生一節課上的能集中注意力的時間一般為20分鐘左右，因此學生在復雜的推導論證之后，很可能難以去認真學習泰勒公式的應用價值了。因此教學時以問題為中心，通過問題來引出泰勒公式的重要性。可進行如下的教學設計。借助函數重要的函數模型。讓學生自己歸納出引出泰勒公式的必要性。

因此先以問題為引導，提出如下的問題。

要求學生計算分別取1， 1.2，1.21時候三個函數值，學生很快就可以發現，不利用計算器，也很容易求出第一個函數的值，但對于第二、三個函數不借助計算器是很難算出的。此時在要求學生觀察這3個函數的特點，學生很容易發現這3個函數分別是多項式函數、三角函數、對數函數，這些函數都是學生熟悉的。而且學生也知道對于后兩個函數，只能計算自變量為特殊值的函數值。這樣學生才會體會出多項式函數在計算上的優點。教師再進一步指出多項式函數是最簡單的函數，因為多項式函數的運算只有加、減、乘三種運算。〔1〕《課標》指出學習函數要掌握重要的函數模型，多項式函數就是一個重要的函數模型。再由此引導學生去思考是否能將無理函數和初等超越函數轉化為多項式函數，將一個要解決的問題轉化為已經解決的問題。這就是數學上重要的化歸思想。然后便是嚴密的推理論證過程。這樣的教學，不但傳授了知識，更重要的是給出了學習數學、研究數學的方法。

4 導數在研究函數上的應用

導數是研究函數性態的重要工具，在高中課程中增加了導數的內容，主要利用導數來判斷函數的單調性。但是并沒有給嚴格證明，而要證明則要用到微分學基本定理，由此引出學習本章內容的必要性。

另外，羅爾定理、拉格朗日定理的引出也要充分借助幾何背景。高中課程中已經增加了合情推理的內容，但是合情推理的能力不是一朝一夕形成的，要不斷地在教學中滲透。而微分學中值定理的發現就是一個很好的素材。教師教學時要引導學生對函數圖像進行觀察，進而得出猜想，猜想的過程更重要，只有提出猜想，數學才能進步。如果課上只是進行證明，那么學生學到的只是解決問題，而不是提出問題。

高考題中很多壓軸題都是要利用導數，并結合具體函數模型來討論解決的。例如2014年數學高考題大綱卷第22題第1問：函數，討論f（x）的單調性。該題思路很明顯，要對函數f（x）求導，得到f。可以看出導函數分母恒大于0，因此要討論分子的正負。而分子有事一個二次函數，并且是二次項系數為1，常數為0的二次函數。學生只要熟練掌握了二次函數模型，就會通過對參數a的討論得出導函數的正負，從而得出原函數的單調性。

因此在教學中，不防結合某些高考題，讓學生了解數學分析在解決初等問題中的強大作用，提高學生的學習興趣。

5 常用不等式

高中課程中增加了柯西不等式、琴生不等式等常用的不等式。而數學分析會對這些不等式進行進一步的深入研究和推廣。例如數學分析中的赫爾德不等式：

當p=q=2時，就是柯西不等式。可以看出赫爾德不等式就是柯西不等式的推廣。因此教學時教師可以從中學所學的柯西不等式入手，這樣既降低了教學難度，也使得學生理解了各個不等式之間的關系。同時也給出了學生創造新的數學結論的方法，即從已有結論出發，進行推廣。

不等式一直是中學教學的重難點，《課標》降低了不等式證明的技巧，但是更加突出不等式的幾何背景。所以在數學分析教學中，既要繼承幾何背景在學習不等式的作用，引導學生通過不等式的幾何解釋去理解不等式。

柯西不等式，琴生不等式經常在競賽和自主招生考試中出現，教師在教學過程中也可以結合具體的題目來幫助學生去理解應用這些不等式。

而這個是在數學分析中一個重要的內容，另外2010年湖北數學高考題，也是以此為背景命題的。在進行歐拉常數教學時，教師可以結合這類高考題來講解，這樣學生就可以體會到數學分析在指導中學數學教學中的應用，讓學生學以致用，不再認為數學是枯燥無味的。

總之，在數學分析教學中，要深入分析學生在高中學習的情況，精心進行教學設計，選取合適的材料，提高學生學習的興趣，提高其學習效果。

〔參 考 文 獻〕

〔1〕 劉玉璉.數學分析講義（上冊）.北京：高等教育出版社，2008：264.

〔責任編輯：侯慶海〕