高等數學空間解析幾何教學動畫系統的構建與實踐

張敏　易正俊

【摘要】本文將Matlab軟件動畫程序設計引入高等數學中空間解析幾何的輔助教學，構建了形象生動的教學動畫系統，有利于培養學生的抽象思維能力、空間想象能力和自主學習能力。為學生學習多元函數微分學、重積分和線面積分、以及其它相關后續課程奠定了基礎，提高在實際中發現問題、分析問題和解決問題的應用能力，逐步培養學生的探索精神和創新能力。

【關鍵詞】空間解析幾何；教學動畫系統；Matlab；多元函數微分學；重積分和線面積分

1 引 言

長期以來數學都是一門以抽象、枯燥、深奧、邏輯性強、難以理解而聞名的學科，尤其是空間解析幾何是一門綜合運用知識性很強的學科，它要求學生具備一定的邏輯思維能力，空間想象能力以及解決實際問題的能力，特別是空間想象能力。空間解析幾何部分知識是高等數學下冊的多元函數微分學、重積分、線面積分等的基礎，這部分的知識沒有學好，幾乎不可能深刻地理解高等數學下冊的內容。高等數學是工科學生的必修基礎課程，關系到學生大學四年的學習質量；空間想象能力是工科學生必備的基本能力，關系到后續很多專業課程的學習效果，如機械類學生的機械制圖課程、土木類及建筑類專業的各種設計課程等。

空間解析幾何的特點是從想象圖形的空間形狀和位置關系，到想象動點如何描述；另一個方面，從一個抽象的方程想象出一個圖形再到想象出它的特點。基于上述特點，在傳統的解析幾何的教學過程中偏重于知識的講授，教師在黑板上邊板書邊講解邊繪圖，聲行并茂，教師還可根據學生的反應調整講解速度，這樣可以使學生跟著老師的思想，一步一步地接受和理解老師所講解的內容，彰顯了教師的親和力和感染力。但是教師在黑板上即興繪制復雜的空間幾何曲面，往往需要花費大量的課堂時間，即使如此，在黑板上隨手畫的圖形也不規則、不標準，使學生難以理解，達不到理想的教學效果。因此，筆者作為數學教師一直在探索一種高效、有效、直觀、能彌補少數空間想象能力差的學生的不足的教學方法。

多媒體技術的發展，為空間解析幾何的教學提供了新的方法和手段。國內外的一些教師把多媒體技術引入高等數學的教學中[1]，常見的是 Powerpoint、幾何畫板（The Geometer's Sketchpad）和Flash動畫，這些方法的應用僅僅是解決了授課時的作圖問題，提高了工作效力。

2 Matlab動畫技術

Matlab是由美國Mathworks公司發布的主要面對科學計算、可視化以及交互式程序設計的高科技計算環境。它將數值分析、矩陣計算、科學數據可視化以及非線性動態系統的建模和仿真等諸多強大功能集成在一個易于使用的視窗環境中。具有方便的數據可視化功能，可以將向量和矩陣用圖形表現出來，且可以對圖形進行標注和打印。新版的Matlab軟件增加了高層次的作圖功能，包括二維和三維的可視化、圖象處理、動畫和函數作圖[9]。可用于高等數學空間解析幾何的輔助教學。

在空間解析幾何教學中，Matlab不僅能將復雜的空間曲面方程以精準、直觀地用三維圖形表現出來，還能以動畫的形式將空間復雜曲面任意旋轉，使學生能直觀地、全方位地觀察、理解空間曲面方程所表示的曲面形狀、特征和性質，從而增強了學生的空間想象能力，為學生在后續內容重積分和線面積分的學習奠定良好的必要基礎，從而提高了學生學習的積極性。Matlab的動態輸出功能可將Matlab制作的動畫以Gif格式文件存盤，可直接拷貝到多媒體教室里給學生進行演示，不必在公共計算機上安裝Matlab專業軟件。

但是多媒體技術只是一種知識的載體，是一種工具，教學重點則是在知識內容的選取上和表現形式的研究上，明確該課程教什么和怎么教的問題以及知識的展現形式。作者結合Matlab技術的功能和學生的心理特點，力求從學生的頭腦中去建立概念，從概念中產生方法，最終形成一個完整的空間解析幾何教學體系。

作者在對教學內容和教學方法作了充分研究的基礎上，開發了基于Matlab的教學動畫系統，用Matlab技術制作空間曲面的動畫，并增加截痕，讓空間曲面旋轉起來，讓學生更加直觀地、全方位地理解空間曲面的方程所代表的幾何形狀，使學生在學習過程中處于一種不疲倦的狀態，在規定的時間內更加深刻理解空間解析幾何的知識，培養學生的空間想象力。

3 基于Matlab的教學動畫系統的構建

（1）基于Matlab的動畫輔助教學設計

為了探索有效的空間解析幾何教學方法，筆者探索把Matlab 動畫技術與高等數學中空間解析幾何的傳統教學法進行有機的融合，教師首先采用傳統的教學方法講授教材中出現的空間曲面方程的代數性質及采用相應的截痕法去了解方程代表的幾何曲面的大致形狀，再用Matlab動畫技術制作空間曲面的動畫給學生演示，讓學生了解空間曲面形成的過程和對整個空間曲面的形狀形成一個完整的印象，強化學生的空間想象能力。把這種以任課教師講解為主、適時插入Matlab制作的旋轉動畫進行輔助教學的教學方法稱之為Matlab動畫輔助教學。

（2）教學動畫系統的構建

應用Matlab 動畫技術，構建了高等數學空間解析幾何教學動畫系統，涵蓋了教學內容涉及的一系列典型動畫。

4 典型動畫案例

以Matlab軟件為開發平臺，根據空間解析幾何的教學特點，編寫了空間解析幾何教材中所有空間曲面旋轉的動畫制作通用程序，需要制作不同空間曲面的演示動畫時，只需要輸入該空間曲面方程、并對該方程所包含的參數賦值后運行該程序，就可以得到該空間曲面方程的圖形繞軸3600旋轉的演示動畫。下面列舉雙曲拋物面（馬鞍面）和橢圓拋物面的動畫演示效果。

（1）雙曲拋物面（馬鞍面）的動畫制作及效果

雙曲拋物面（馬鞍面）的方程為

（ 同號）， （1）

在Matlab軟件編寫的演示動畫通用程序中輸入雙曲拋物面（馬鞍面）方程式（1），參數取值 ， ，運行動畫程序得到雙曲拋物面（馬鞍面）的三維動畫效果，可將該動畫以gif格式輸出，其三維動畫的部分截圖如圖1所示。

（2）橢圓拋物面的動畫制作及效果

橢圓拋物面的方程為 （ 同號） （2）

同樣，在Matlab軟件編寫的演示動畫通用程序中輸入橢圓拋物面方程式（2），參數取值 ， 時，運行動畫程序可得到橢圓拋物面的三維動畫效果，同時將該動畫以gif格式輸出，其三維動畫的部分截圖如圖2所示。

教師在課堂上采用傳統的截痕法給學生介紹高等數學中所涵蓋的空間曲面的大致形狀基礎上，再用Matlab軟件制作空間曲面的動畫效果進行演示，學生學習的積極性得到極大的提高，課堂氣氛非常活躍，大部分學生還有興趣想自己編寫源程序，達到了培養學生自主學習能力的目標。

5 教學應用效果檢驗

為了檢驗Matlab動畫技術在空間解析幾何教學中輔助教學的效果，選擇筆者所在高校2010級同一個專業的兩個本科教學班（每班150人左右，且在高等數學上冊的期終考試成績幾乎無差異）進行對比教學實驗，其中一個班采用傳統教學法，教師分別對不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解方程的特點，同時用PPT投影該曲面方程的圖形，無空間動畫演示，這個班在下文的敘述中稱為普通班（簡稱A班）；另一個班是傳統教學法與Matlab動畫技術輔助教學相融合，教師分別對不同的空間曲面，先給出曲面方程，講解曲面方程的特點，同時用PPT投影該曲面方程的圖形，讓學生對空間曲面形狀有一個基本認識后，再播放一段事先制作好的該曲面方程對應的圖形的三維動畫視頻，加深學生對此曲面方程和它的圖形形狀的理解。播放完曲面方程的三維動畫視頻之后，對前面的講解和觀看視屏后的直觀感受進行總結，進一步強化學生對空間圖形的理解力和空間想象能力。這個班稱為實驗班（簡稱B班）。

經過一段時間的教學后，分別在兩個班對學生的學習情況進行了座談，A班的大多數同學認為很難想象出空間曲面的形態，對空間曲面方程難以理解，聽起課來感覺比較枯燥，學習興趣不濃厚，導致該班學生普遍對空間曲面的理解也不透徹，對后續有關知識的學習有不良影響。B班的大多數同學認為在傳統的教學法的基礎上增加了曲面的三維旋轉動畫演示，學生能直接觀看空間曲面的形態，加上老師的講解使學生全面理解該曲面方程的特性。由于三維旋轉動畫的視覺沖擊，使學生的大腦產生興奮感從而增加學生的記憶力。學生普遍感覺在空間解析幾何教學中增加空間曲面的三維動畫演示輔助教學環節能調節教學氣氛，加深對空間曲面方程的理解與運用能力，增強學生的空間想象能力，對后續知識的學習奠定了很好的基礎。

任課教師普遍反映空間解析幾何教學是高等數學教學中的重點、難點，在教學過程中往往費事費力、反復講解，教學效果還是不明顯，學生們還是反映難以理解曲面方程的圖形的空間形態與特征，嚴重影響高等數學后續有關章節的學習。通過一學期的試驗教學，我們深切感受到采用空間曲面的三維動畫演示輔助教學環節能很好地彌補學生初學空間解析幾何時對空間想象力差的不足，通過直觀的動畫演示，使學生一目了然，增強學生對復雜空間曲面的認識，提高學生分析問題的能力，同時還可以減少教師的講解工作量，達到事半功倍的教學效果。在后續有關三重積分和線面積分等內容的教學中也反映出A班的理解能力和接受能力不如B班的情況。為了檢驗A、B兩個班的教學效果，筆者針對與空間解析幾何有關的內容，將多元函數微分學（空間曲線的切線和法平面，空間曲面的的切平面及法線，條件極值），三重積分和線面積分等內容單獨命了一套單元測試試卷（百分制），考試成績分布如表2和圖3所示：

從上表的數據可以看出：

① B班的優良成績人數比A班高出25人。

② B班的平均成績比A班高出9.5分。

從以上學生考分統計表可以看出，采用Matlab動畫技術輔助教學的B班測驗成績明顯優于傳統教學的A班。從測驗試卷分析發現，A班學生的失分主要集中在不能正確理解曲面方程所表達的空間圖形的形狀，無法正確地確定出各變量的積分限所致。而B班學生具備良好的空間想象力，能正確認識各種曲面方程的圖形的形態，能正確地確定出各變量的積分限，從而在測驗成績單上反應出較好的成績。

該學期期末考試也反應出這兩個班學生考試成績的差異。期末考試題中涉及與曲面方程有關的三重積分、曲面積分和空間曲線積分考題，總分數22分。該兩個班學生針對這三道題的得分情況如表3所示。

從期末考試中相關成績的分布表3也可以看出：在與曲面方程有關試題的考試成績也是 B班成績明顯優于A班。從卷面分析來看，A班學生主要失分在三重積分考題：計算 ，其中 是由曲面 與平面 所圍成的閉區域。A班大多數學生因不能想象出該函數所表達的空間圖形的形狀，無法正確地確定出此題各變量的積分限，從而導致了在該題上失分，影響了考試成績。而B班在該題上失分的比例很小。

6 結束語

構建的高等數學解析幾何教學動畫系統，作為輔助教學資源，有利于增強學生的空間想象力和形象思維能力，激發學生的學習積極性，教學質量得到顯著提升。

參考文獻：

[1]林海濤等，常用軟件在《空間解析幾何》教學上的實踐，廣東輕工職業技術學院學報，2010，Vol.9，No.3，PP.33-37

[2]孔詳強，MATLAB軟件在空間解析幾何教學中的應用探索，計算機應用與軟件，2002，MATLAB，No.8，pp.297-300

[3]黃忠銑，MATLAB在高等代數與空間解析幾何教學中的應用，南平師專學報，2006，Vol.25，No.4， PP.22-23

[4]菅小艷，MATLAB在高等數學中的應用，計算機時代，2011，No.5，pp.51-53。

[5]李莉玲，基于MATLAT的高等數學圖形CAI的開發與利用，計算機與現代化，2003，No.9，pp.65-67。

[6]催秋珍，空間解析幾何二次曲面伸縮法的MATLAB的設計和實現，軟件設計，2012，No.8，pp.45-46。

[7]王兆飛，用MATLAB軟件討論馬鞍面的形狀，張家口師專學報，2002，Vol.18，No.48-50。

[8]度 巍，空間解析幾何中二次曲面截痕法的動畫演示，電腦知識與技術，2011，Vol.7，No.25，pp.6297-62930。

[9]張志涌，楊祖櫻，MATLAB教程，北京航空航天大學出版社，2010

[10]同濟大學數學教研室，高等數學（第四版），高等教育出版社，1999.