淺談小學(xué)數(shù)學(xué)模型教學(xué)“定模——建模——固模——破模”四步走操作模式的實(shí)踐與思考

鄒道亮

【摘要】 本文從小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展體系（教材）、教師具體的教學(xué)操作活動(dòng)和學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)發(fā)展的角度，對(duì)“如何實(shí)施有效的數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)”進(jìn)行了全面深入的思考，提出并系統(tǒng)論述了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)“定模——建模——固模——破模”四步走教學(xué)操作的觀點(diǎn).其中，“定模”通過課例分析，論述了準(zhǔn)確定模是實(shí)施建模教學(xué)的關(guān)鍵，并對(duì)教材中數(shù)學(xué)模型常見的呈現(xiàn)方式進(jìn)行了篩分.“建模”則著重從教學(xué)程序設(shè)計(jì)、教材使用、數(shù)學(xué)發(fā)展、算法優(yōu)化等四個(gè)方面論述了建模教學(xué)的注意問題.“固模”和“破模”論述了分層練習(xí)設(shè)計(jì)和教材習(xí)題的優(yōu)化利用、實(shí)現(xiàn)模型思想內(nèi)化并形成能力的做法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)模型；定模；建模；固模；破模

“模型思想”是課程標(biāo)準(zhǔn)中十個(gè)核心概念之一.2011年版《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在課程設(shè)計(jì)思路中提出：“要在呈現(xiàn)作為知識(shí)與技能的數(shù)學(xué)結(jié)果的同時(shí)，重視學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生體驗(yàn)‘從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程.”

什么是數(shù)學(xué)模型？張奠宙教授是這樣說的：就許多小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容來說，本身就是一種數(shù)學(xué)模型……我們每堂數(shù)學(xué)課都在建立數(shù)學(xué)模型.我非常認(rèn)同張奠宙教授的說法.數(shù)學(xué)模型就是一種抽象、簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)——概念、字母公式、數(shù)量關(guān)系、算理、算法、圖表、框圖、數(shù)理邏輯、方程等等，凡是用來描述某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的系統(tǒng)特征及其內(nèi)部聯(lián)系或與外界聯(lián)系結(jié)構(gòu)的都是數(shù)學(xué)模型.掌握數(shù)學(xué)模型思想，是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上可持續(xù)發(fā)展的重要保障.

有效的模型建構(gòu)教學(xué)，教師的教學(xué)思考不能僅僅停留在課堂教學(xué)的新授環(huán)節(jié)，應(yīng)該從小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展體系、學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、學(xué)習(xí)能力持續(xù)發(fā)展等角度全面考慮，從課前、課中、課后各個(gè)教學(xué)和訓(xùn)練環(huán)節(jié)去系統(tǒng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型思想.幾年的實(shí)踐研究，我總結(jié)了數(shù)學(xué)模型建構(gòu)教學(xué)“定模——建模——固模——破模”四步走的教學(xué)操作心得.

一、“定模”是實(shí)施有效建模教學(xué)的關(guān)鍵

“定模”，即準(zhǔn)確界定一節(jié)課的“數(shù)學(xué)模型”是什么. 這是建模教學(xué)的操作程序上首要解決的問題.教學(xué)重點(diǎn)≠數(shù)學(xué)模型，一節(jié)課的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是統(tǒng)領(lǐng)本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)內(nèi)容的一個(gè)具體的、有形的知識(shí)結(jié)構(gòu)模型.不同課時(shí)的教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)形式是不同的.一節(jié)課的“數(shù)學(xué)模型”是什么？需要教者從數(shù)學(xué)知識(shí)體系和教學(xué)發(fā)展系統(tǒng)等多角度去深入鉆研教材，準(zhǔn)確掌控教材的編寫意圖，作出恰當(dāng)?shù)呐袛?

【課例一】一年級(jí)下冊(cè)第六單元《100以內(nèi)的加法和減法（一）》P65例2“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”.

課本編排上出現(xiàn)了兩種不同的算法（上圖）：方法一是運(yùn)用學(xué)生已經(jīng)熟悉的“數(shù)數(shù)法”和“湊十法”獲得結(jié)果，重在突出“滿十進(jìn)一”和理解建立“進(jìn)位”的概念.方法二則是根據(jù)加法的計(jì)算法則，先把個(gè)位數(shù)相加，再算十位上的數(shù).兩種算法的建構(gòu)基礎(chǔ)和側(cè)重點(diǎn)都不相同.前者的意圖是引導(dǎo)學(xué)生利用已有的認(rèn)知和能力獲得結(jié)果，并在獲得結(jié)果的過程中建立新的認(rèn)知：什么是“進(jìn)位”？后者則在前者的基礎(chǔ)上回歸到加法法則的范疇，初步建立“加法法則”的基本認(rèn)識(shí)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)發(fā)展奠定基礎(chǔ).哪種才是本課需要學(xué)生重點(diǎn)掌握的“法型”？這里必須要作出準(zhǔn)確的判斷，不然教學(xué)就失去了主攻方向，造成學(xué)生認(rèn)知上的混亂.從教學(xué)的發(fā)展角度衡量，本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是“加法法則”的初步認(rèn)識(shí)和運(yùn)用，即方法二.認(rèn)識(shí)和處理“進(jìn)位”并正確算出得數(shù)，則是本課必須突破和建模的難點(diǎn).這樣，本課數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程就形成了“分層突破、逐步建構(gòu)”的教學(xué)思路.

【課例二】二年級(jí)下冊(cè)第四單元《表內(nèi)除法（二）》P42例3“解決問題”：

問題一：56元可以買幾個(gè)地球儀模型？

問題二：想一想：如果24元買了6輛越野車模型，一輛越野車模型多少錢？

教材在“怎樣解答”中明確指引：一個(gè)地球儀8元，求能買幾個(gè)就是求56元里面有幾個(gè)8元.從指引當(dāng)中，我們可以整理出問題一的解題模型：求54里面有（〓〓）個(gè)8（用除法計(jì)算）.而問題二則沒有出現(xiàn)指引.問題二的數(shù)學(xué)模型是什么呢？很多老師理解為這是一個(gè)平均分的問題：把24平均分成6份，每份是多少？還有的老師干脆引入了“總價(jià) ÷ 數(shù)量 = 單價(jià)”或“總數(shù) ÷ 份數(shù) = 每份數(shù)”的數(shù)量關(guān)系.如果把這些意見都融入到這節(jié)課的教學(xué)中去，本課就出現(xiàn)了三個(gè)數(shù)學(xué)模型：除法包含除的意義、平均分的意義和數(shù)量關(guān)系——“三國(guó)演義”的局面只有一個(gè)結(jié)局：學(xué)生無(wú)所適從的情況下，認(rèn)知混亂了！我們從教學(xué)系統(tǒng)發(fā)展的角度分析，不難發(fā)現(xiàn)：1.引入數(shù)量關(guān)系式是一種簡(jiǎn)單好用的方法，但對(duì)于二年級(jí)學(xué)生已有的認(rèn)知水平來說，是拔高了學(xué)習(xí)要求和有理解難度的，應(yīng)從例題教學(xué)中剔除（練習(xí)時(shí)可以適當(dāng)滲透）.2.而“包含除”和“平均分”同時(shí)教學(xué)，也會(huì)造成思維和方法運(yùn)用上的障礙.

本課的數(shù)學(xué)模型應(yīng)該是什么？設(shè)問一下：?jiǎn)栴}一和問題二有什么內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別？為什么問題一給出了解題思路的指引，而問題二沒有給出？仔細(xì)分析兩個(gè)問題，我們不難發(fā)現(xiàn)：?jiǎn)栴}一求的是“幾個(gè)8”的“幾”，問題二求的是“6個(gè)幾”的“幾”.找到問題一和問題二內(nèi)在的聯(lián)系與區(qū)別后，可以肯定：教材之所以沒有在問題二中給出解題指引，其意圖就是要老師放手讓學(xué)生運(yùn)用問題一的學(xué)習(xí)所得（解題思路）去解決問題二.這樣，本課要建構(gòu)的解決問題的“數(shù)學(xué)模型”就定位在一句話——求一個(gè)數(shù)里面有（〓〓）個(gè)（〓〓），用除法計(jì)算.教學(xué)過程也由此變得簡(jiǎn)單和高效：一個(gè)模型、兩種變化、準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用.（附：板書設(shè)計(jì)）

表內(nèi)除法（二）例3——解決問題

求56元里面有（ ）個(gè)8元 56 ÷ 8 = 7（個(gè)）求24元里面有6個(gè)（ ）元 24 ÷ 6 = 4（元）

從上面兩個(gè)課例“定模”的分析，可以得到這樣一個(gè)結(jié)論：“定模”是有效建模的關(guān)鍵，“定模”的準(zhǔn)確與否，決定了“建模”教學(xué)的具體操作設(shè)計(jì)和效果.

教材中數(shù)學(xué)模型的呈現(xiàn)方式，有以下常見的類型：

1. 文本模型 如：六年級(jí)下冊(cè)“正數(shù)和負(fù)數(shù)”，二年級(jí)下冊(cè)從除法意義過渡的解決問題數(shù)學(xué)模型：（1）把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每份是多少？用除法計(jì)算.（2）求一個(gè)數(shù)里面有（〓〓）個(gè)（〓〓），用除法計(jì)算.

2. 關(guān)系式模型 如：路程 ÷ 時(shí)間 = 速度、a × b × c = a × （b × c）、側(cè)面積 + 底面積 × 2 = 圓柱表面積等.

3. 公式模型 如：底 × 高 ÷ 2 = 三角形面積、本金 × 利率 × 存期 = 利息等.

4. 直觀圖模型 如：圓柱的表面認(rèn)識(shí)、條形統(tǒng)計(jì)圖等.

5. 表格式模型 如：四年級(jí)上冊(cè)“數(shù)學(xué)廣角”、五年級(jí)下冊(cè)“找次品”.

6. 圖解式模型 如：一年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)加一位數(shù)”、五年級(jí)下冊(cè)“打電話”.

7. 網(wǎng)絡(luò)圖模型 如：五年級(jí)上冊(cè)“多邊形面積”整理和復(fù)習(xí).

二、建模教學(xué)要“因材而異”，敢于創(chuàng)編，著眼發(fā)展

數(shù)學(xué)建模普遍采用集合、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比、符號(hào)化等數(shù)學(xué)思想及策略.具體的課堂教學(xué)操作，各類期刊雜志已經(jīng)發(fā)表了很多成功的經(jīng)驗(yàn)和案例，這方面本文不作贅述，僅談?wù)勛约旱囊恍┯^點(diǎn).——作者注

用數(shù)學(xué)建模的思想來指導(dǎo)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，對(duì)于不同的學(xué)習(xí)主體（年級(jí)）和教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)該體現(xiàn)出一定的差異，同時(shí)要關(guān)注其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)性.

建構(gòu)主義的理論認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個(gè)主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程.關(guān)于數(shù)學(xué)建模教學(xué)，課標(biāo)指出：“要從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程……”我認(rèn)為建模教學(xué)要注意四個(gè)方面：

1. 建模的教學(xué)程序要“依材施教”

不同的課型，模型的建立過程也不一樣.表象較為單一的知識(shí)點(diǎn)可以一步建模.如：概念的定義（自然數(shù)、公因數(shù)、正反比例等概念）、運(yùn)算定律（加法/乘法的交換律和結(jié)合律等）、圖形的面積公式等等，都可以直接從學(xué)習(xí)材料的表象特征分析中抽象、提取達(dá)到完整模型的建立.而一些表象較為復(fù)雜多樣的知識(shí)點(diǎn)，則要分層建模.如：四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”，例題的探究獲得的模型是a × （b + c） = a × b + a × c，這是一個(gè)不完善的數(shù)學(xué)模型，必須在接著的練習(xí)中進(jìn)一步完善成為：a × （b + c） = a × b + a × c，這就是一個(gè)分層建模的典型課例.

2.建模的教學(xué)要敢于創(chuàng)編教材

我們現(xiàn)行使用的教科書（包括新版），既是教本，又是學(xué)本，在編排設(shè)計(jì)上具有很明顯的“教案味”.但是，教材的編排設(shè)計(jì)（包括教學(xué)參考書的指導(dǎo)意見），在一些課程的編寫設(shè)計(jì)上是不完善的，存在與本地區(qū)學(xué)生的實(shí)際生活狀況、已有生活體驗(yàn)不相符，或過于簡(jiǎn)單化等情況.對(duì)此類教學(xué)編排，有必要對(duì)教學(xué)材料進(jìn)行大膽的創(chuàng)編和設(shè)計(jì)，使教學(xué)過程成為更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、通過學(xué)生自主的探究活動(dòng)“再創(chuàng)造”的過程.

例如：實(shí)驗(yàn)版教材第十二冊(cè)“比例尺”.

教材直接給出了比例尺的基本模型：圖上距離∶實(shí)際距離=比例尺，然后編列了相應(yīng)的例題學(xué)習(xí)“用模”解決問題.這個(gè)編排設(shè)計(jì)，是小學(xué)數(shù)學(xué)教材中典型的“知其然不知其所以然”的編排設(shè)計(jì)——如果按照教材的思路和程序施教，學(xué)生只有照樣子畫葫蘆，在解決問題中被動(dòng)地模仿應(yīng)用.所以，在解決縮小比例尺的實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生就出現(xiàn)了大面積的解答錯(cuò)誤.此類教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)行創(chuàng)編并使之更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是必要的.一句話經(jīng)驗(yàn)：不要被教材和教參完全綁架了.

數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)也必須立足于生活實(shí)際，把教學(xué)過程設(shè)計(jì)為學(xué)生自主探究獲取體驗(yàn)認(rèn)知的過程.我在“比例尺”的教學(xué)中，創(chuàng)編設(shè)計(jì)了“直觀感知——實(shí)驗(yàn)探究——抽象概括”三步走的建模活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷“比例尺”的“創(chuàng)造”過程：

第一環(huán)節(jié)：（欣賞交流：常見縮小圖、放大圖）感受縮小和放大的現(xiàn)實(shí)意義.

第二環(huán)節(jié)：小組合作，實(shí)驗(yàn)探究圖像不變形的規(guī)律，認(rèn)識(shí)比例尺的實(shí)際意義和建立比例尺的基本定義.（下為課堂學(xué)習(xí)卡：圖像不變形的秘密）

小組合作：一瓶350毫升的支裝怡寶純凈水的實(shí)物瓶身直徑是6厘米，高度是18厘米.學(xué)習(xí)卡上的是它的縮小圖像.（圖略）

（1）請(qǐng)你根據(jù)表格指引量一量、算一算，看能發(fā)現(xiàn)什么？

表一：圖像與實(shí)物各自的瓶身直徑、高的對(duì)比研究

表二：圖像與實(shí)物之間相對(duì)應(yīng)的圖上距離與實(shí)際距離的對(duì)比研究

（2）討論：比較表一、表二，哪一個(gè)比能反映出圖像與實(shí)物之間縮小或放大的關(guān)系？

第三環(huán)節(jié)：在學(xué)生通過研究獲得了“圖上高與實(shí)際高的比、圖上寬與實(shí)際寬的比一樣時(shí)，圖像不會(huì)變形”“圖上距離與實(shí)際距離的比能反映出圖像與實(shí)物之間縮小或放大的關(guān)系”的體驗(yàn)和認(rèn)知后，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象概括，歸納出比例尺的結(jié)構(gòu)性原理并揭示定義：圖上距離和實(shí)際距離的比叫作（一幅圖的）比例尺.

以上三個(gè)環(huán)節(jié)的活動(dòng)，學(xué)生經(jīng)歷了比例尺的探究發(fā)現(xiàn)過程，對(duì)比例尺的現(xiàn)實(shí)意義、類型和模型結(jié)構(gòu)，建立了深刻的體驗(yàn)和認(rèn)識(shí).

3. 建模教學(xué)要著眼數(shù)學(xué)發(fā)展

數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程，要以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)能力可持續(xù)發(fā)展為目標(biāo).每一節(jié)課建模過程的教學(xué)設(shè)計(jì)和操作，既要立足學(xué)生已有的學(xué)習(xí)水平和能力，又要著眼今后的學(xué)習(xí)發(fā)展.教學(xué)目標(biāo)既要基于建模又要高于建模，既要順著學(xué)生思維水平又要著眼學(xué)生思維的發(fā)展.建模的目的不僅僅是認(rèn)識(shí)和建立數(shù)學(xué)模型，更重要的是通過建模的學(xué)習(xí)活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生會(huì)學(xué)習(xí)和能自主發(fā)展的能力.

人的認(rèn)識(shí)過程是由感性到理性再到感性的循環(huán)往復(fù)、螺旋上升的過程.小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系是一個(gè)可持續(xù)發(fā)展的知識(shí)體系，在小學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)體系中，每一個(gè)數(shù)學(xué)模型都是整個(gè)知識(shí)體系中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)模型，當(dāng)學(xué)習(xí)發(fā)展到一定層級(jí)，相關(guān)聯(lián)的“點(diǎn)模型”會(huì)不斷地構(gòu)成線性模型、面模型.也就是說，模型會(huì)伴隨著教學(xué)體系和學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知的持續(xù)發(fā)展而循環(huán)發(fā)展和豐滿的，最終構(gòu)成一名學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的相對(duì)完整的認(rèn)知.例如：一年級(jí)下冊(cè)第六單元《100以內(nèi)的加法和減法（一）》P65例2“兩位數(shù)加一位數(shù)的進(jìn)位加法”.本課建立了口算進(jìn)位加法的基本模型思想，到了筆算加法時(shí)，才會(huì)演變成為加法計(jì)算的完整模型.又如：六年級(jí)學(xué)完分?jǐn)?shù)問題之后，又學(xué)習(xí)了“按比例分配”，兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間是存在轉(zhuǎn)化關(guān)系的，教學(xué)當(dāng)中必須要有模型轉(zhuǎn)化發(fā)展和整合提升的意識(shí).簡(jiǎn)而言之，就是教者在建模教學(xué)的過程中要帶有前瞻性的眼光策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的可持續(xù)發(fā)展.

4. 算法（解法）的優(yōu)化也是建模的一種重要方式

一些知識(shí)點(diǎn)的教學(xué)，會(huì)出現(xiàn)算法（解法）多樣化的現(xiàn)象，這時(shí)就需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思維，對(duì)不同的解題方法策略進(jìn)行優(yōu)化選擇，使優(yōu)化的算法（解法）與本節(jié)課要建構(gòu)的數(shù)學(xué)模型相一致.讓學(xué)生經(jīng)歷有思維沖突的算法（解法）優(yōu)選過程，也是數(shù)學(xué)建模的重要方式.

三、固模——強(qiáng)化體驗(yàn)，促進(jìn)內(nèi)化，形成能力

數(shù)學(xué)模型的建立，并不是學(xué)生認(rèn)識(shí)的終結(jié)，也不意味著能力的同步形成.數(shù)學(xué)模型只有回歸生活，變換情境，才能鞏固模型并拓展模型的外延.從具體的問題經(jīng)歷抽象、提煉，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型后，還要組織學(xué)生將數(shù)學(xué)模型還原為具體的數(shù)學(xué)直觀或可感的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)——即用模練習(xí)，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型不斷得以完善，幫助學(xué)生深化對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，形成基本的運(yùn)用能力.所以，有針對(duì)性和有目的性、呈現(xiàn)方式多樣化的分層練習(xí)，是實(shí)現(xiàn)模型思想內(nèi)化并形成運(yùn)用能力的必需途徑.

例如，“乘法分配律”固模部分練習(xí)設(shè)計(jì)：

1. （P36做一做）下面哪個(gè)算式是正確的？正確的畫“？菁”，錯(cuò)誤的畫“？菖”.

56 × （19 + 28） = 56 × 19 + 28 （〓〓）

32 × （7 × 3） = 32 × 7 + 32 × 3（〓〓）

64 × 64 + 36 × 64 = （64 + 36） × 64（〓〓）

2. （創(chuàng)編設(shè)計(jì)）根據(jù)乘法運(yùn)算定律填空.

49 × 13 - 3 × 49 = 49 × （ ○ ）

35 × 27 + 52 × 27 + 3 × 27 = （ + + ） × 27

3. 解決問題.（題略）

設(shè)計(jì)意圖：

習(xí)題1.目的是鞏固乘法分配律模型本質(zhì)意義和基本表象特征的理解.

習(xí)題2.填空題，突出了“幾個(gè)幾相減”和多個(gè)“幾個(gè)幾”相加的類型，進(jìn)一步完善模型：（a + b） × c = a × c + b × c，豐富模型的表象認(rèn)知，使學(xué)生體驗(yàn)到：運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)算的題目是多樣化的.

四、破模——拓展模型的外延，回歸本質(zhì)認(rèn)識(shí)，提升能力

模仿是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)普遍存在的現(xiàn)象.簡(jiǎn)單化的用模練習(xí)，容易造成解題的思維定式，成為思維和能力提升的障礙.因此，必須設(shè)計(jì)“破模”練習(xí)突破模型化的思維定式.教材在編排設(shè)計(jì)上已經(jīng)有這方面的體現(xiàn).

4.

（1）買6塊手帕，一共需要多少錢？

（2）用36元錢可以買幾個(gè)茶杯？

（3）你還能提出其他用除法解決的問題并解答嗎？

如：二年級(jí)下冊(cè)第四單元《表內(nèi)除法（二）》P43“解決問題”練習(xí)九的第4題.

問題（1）求的是幾個(gè)幾是多少，用乘法計(jì)算.這個(gè)設(shè)計(jì)，就是要造成學(xué)生思維認(rèn)知上的沖突，破解“用除法解決問題”例題教學(xué)和基本練習(xí)造成的簡(jiǎn)單模仿和思維定式，確立正確的解題觀念：具體問題具體分析.

對(duì)教材編列的“破模”練習(xí)進(jìn)行必要的再創(chuàng)造，分解難度，強(qiáng)化練習(xí)設(shè)計(jì)的目的性和針對(duì)性，能使之成為更利于破解模型化思維定式和提升數(shù)學(xué)能力的“利器”，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考從數(shù)學(xué)表象回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)思考上來.

如：我在“乘法分配律”破模部分練習(xí)設(shè)計(jì)中，依據(jù)P38第6題，改編設(shè)計(jì)為兩組乘法分配律顯性特征和表象不明顯的對(duì)比性題目：

1. （改編P38練習(xí)第6小題）先說說下面算式的意義，再用乘法分配律簡(jiǎn)便計(jì)算.

（1）24 × 99〓〓 24 × 101

（2）24 × 99 + 24〓〓24 × 101 - 24

2. 拓展練習(xí)：88 × 125可以怎樣算？

設(shè)計(jì)意圖：1.（1） 24 × 99，24 × 101是毫無(wú)乘法分配律顯性特征的算式；（2）24 × 99 + 24，24 × 101 - 24則是“三不像”——完全與交換律、結(jié)合律、分配律的模型表象不符合.這兩組題目，學(xué)生只有把握住算式的意義，才能找到簡(jiǎn)算計(jì)算的突破口.通過這個(gè)改編練習(xí)，既豐富了模型的外延，又突破了已經(jīng)形成的模型化思維定式，使學(xué)生的數(shù)學(xué)思考回歸到算式的本質(zhì)意義上來——正確理解算式的意義才是合理運(yùn)用運(yùn)算定律的關(guān)鍵.2.拓展練習(xí)：88 × 125可以怎樣算？這道開放性的典型題，用拆、分的方式，可以獲得兩種運(yùn)用不同運(yùn)算定律的簡(jiǎn)便算法：8 × 125 × 11和（80 + 8） × 125.一題多解，既拓展了學(xué)生數(shù)學(xué)模型應(yīng)用的思維，加深了對(duì)不同運(yùn)算定律的辨析理解，又提升了計(jì)算的能力.

通過破模練習(xí)，拓展了模型的外延，學(xué)生對(duì)分配律的運(yùn)用有了新的認(rèn)知，強(qiáng)化了簡(jiǎn)便計(jì)算的觀念，進(jìn)一步促進(jìn)了內(nèi)化，提升了能力.

總的說來，“定模——建模——固模——破模”四步走教學(xué)操作，是實(shí)施課時(shí)教學(xué)有機(jī)統(tǒng)一的整體：“定模”側(cè)重于教師對(duì)教學(xué)內(nèi)容本身的理解及對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平的把握，引領(lǐng)教學(xué)設(shè)計(jì)和開展；“建模”則是從學(xué)生已有的生活知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程；“固模”即模型的運(yùn)用練習(xí)，是數(shù)學(xué)模型內(nèi)化成為更高層次的認(rèn)知和能力的教學(xué)環(huán)節(jié)；“破模”旨在突破思維定式，舉一反三，強(qiáng)化解題意識(shí)，拓展模型運(yùn)用的思維能力，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深度發(fā)展.

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