探索，讓復習課堂更加精彩

駱迎生

【摘要】 平行線的性質學生比較熟悉，但是構造條件利用性質學生普遍感到棘手，輔助線的添加便尤為重要. 在短暫的一節課中，在教師的引領啟發下，學生們對一道題目展示了各種精彩解法，體現了數學思維的魅力.

【關鍵詞】 平行線；截線；內角和；外角和；輔助線

蘇科版七年級《數學》下冊第一章的內容是“平面圖形的認識（二）”，涉及的知識點非常豐富，其中主要有直線平行的條件與平行線的性質，三角形邊角關系及三個內角定理，多邊形的內角和、外角和公式. 教材中均設置觀察、操作、想象、說理等探索活動，注重學生的自主學習，自主探索，歸納建構自己的認識. 筆者在復習本章時，通過引導學生探索一道典型幾何題解法，上了一堂精彩的復習課.

例題：如圖 ，AB∥CD，探索∠B，∠D，∠E三個角之間的關系.

分析：本題中給出的條件只有AB∥CD，可以得到什么結論呢？

學生自然想到了兩直線平行的性質，可以得到角之間的關系，諸如同位角（或內錯角）相等或同旁內角互補，可是要構成這幾種類型的角，需兩平行線被第三條直線所截. 本題目正缺少這樣的一條直線，如何構造？

經教師啟發，學生已有所悟，一些學生躍躍欲試，紛紛舉手.

方法一：作一直線分別與AB交于M，與CD交于N，則B，E，D，N，M五點便圍成了一個五邊形，由多邊形內角和知：

∠B + ∠E + ∠D + ∠MND + ∠BMN = 180° × （5 - 2） = 540°.

又∵AB∥CD，

∴ ∠BMN + ∠MND = 180°.

∴ ∠B + ∠E + ∠D = 540° - 180° = 360°.

這是很聰明的一名學生提供的方法. 為了利用平行線的性質，作了一條輔助線與兩條平行線相截，還綜合運用了多邊形內角和知識，而且得出了∠B，∠E，∠D三個角之間的關系是和為360°.

方法二：在AB上任取一點M，連接MD.

∵ AB∥CD，

∴∠1 = ∠2.

∵ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠2 = 360°，

（四邊形的內角和為360°），

∴ ∠B + ∠E + ∠3 + ∠1 = 360°，

即∠B + ∠E + ∠EDC = 360°.

第二名學生的方法似乎也不錯，他把三個角分成了四個角，而這四個角恰恰可轉化為四邊形的四個內角. 同時AB與CD兩條平行線剛好被MD所截，又可以利用AB∥CD這一條件了.

教師總結了這兩種方法，指出他們都巧妙地添加了一根輔助線，即兩平行線的截線，充分利用了平行條件. 體現了同學們綜合運用所學知識的能力.

方法三：連接BD. ∵AB∥CD，

∴ ∠ABD + ∠BDC = 180°.

∵∠EBD + ∠E + ∠EDB = 180°，

∴∠ABE + ∠E + ∠EDC=180° + 180° = 360°.

第三名同學提出的方法更加簡單，通過連接BD，它既與平行線AB，CD相截又能利用三角形的內角和，很容易得出這三個角的和是360°.

方法四：延長DE交直線AB的延長線于F.

∵ AB∥CD，

∴ ∠D = ∠DFH，

∠ABE + ∠HFD + ∠BED = 360°，

（三角形的外角和為360°）.

∴ ∠ABE + ∠BED + ∠D = 360°.

不得不承認，學生作的這條輔助線就更巧妙了，需要探索的三個角剛好變成了三角形的三個外角了.

教師再次評價：前面幾名同學的發言中，都緊緊圍繞兩直線被第三直線所截形成的角之間的關系這一知識點進行思考的，還借助了多邊形的內角和公式知識. 但有關平行線的性質與判定中還有沒有與 “三線八角”相關的結論呢？

方法五：過點E作直線EF，使EF∥AB.

∵ EF∥AB且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一條直線的兩直線互相平行）.

∴∠B + ∠BEF = 180°，∠FED + ∠D = 180°.

∴∠B + ∠BED + ∠D = 360°.

該同學提出的解法思路是全新的，很有創造性，全班學生都露出驚奇的神情，發言的同學也感到異常興奮.

方法六：過點E作直線EF，如圖.

∵ EF∥AB 且AB∥CD，

∴ AB∥CD∥EF，

（平行于同一條直線的兩直線互相平行）.

∴∠B = ∠BEF，∠D = ∠FED.

∴∠B + ∠BED + ∠D = ∠BEF + ∠BED + ∠FED = 360°.

學生評價：第五種解法和第六種解法思路是相同的，只是前一種用的是二直線平行同旁內角互補這一性質，而后一種方法則用的是二直線平行內錯角相等這一性質來證明的.

又一學生評價：前面四種解法也有相同的地方，都可以看作是用一條直線去截兩條平行的直線，就截出了一個五邊形. 當N點與D點重合時，截出的是一個四邊形，這時當M點與B點重合時，截出的是一個三角形；當MN與DE重合時，截出的也是一個三角形. 所以，這幾種解法本質上是相同的.

教師評價：同學們能以動態的眼光看問題，那么一定能達到舉一反三、觸類旁通的境界.

不知不覺中，一堂精彩的復習課就這樣過去了，師生均沉浸在成功的喜悅之中. 通過一題多解與一題多變訓練，使學生在復習中探索，在探索中提高，在提高中升華.