淺析概率論的一些妙用

黃紹東

【摘 要】本文利用概率論的相關(guān)知識(shí)，或建立適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ停蚋鶕?jù)概率論的一些性質(zhì)和定理，或利用概率中性質(zhì)比較好的分布，解決了一些數(shù)學(xué)在其他學(xué)科上的一些問(wèn)題，如等式的證明、不等式的證明、一些廣義積分的計(jì)算。把概率論的知識(shí)和其他數(shù)學(xué)分支聯(lián)系起來(lái)，從而拓寬了解題思路，另外也從一個(gè)側(cè)面反映了學(xué)習(xí)概率的重要性。

【關(guān)鍵詞】概率模型；等式；不等式；正態(tài)分布；廣義積分

一、構(gòu)造概率模型證明恒等式

等式“A=B”的證明，一般方法是“A→B”，“B→A”，“A→C，B→C”三種代數(shù)類型，而運(yùn)用概率論的相關(guān)知識(shí)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)母怕誓Ｐ涂梢暂^方便地解決看似較難的恒等式的證明，具體的方法是將恒等式經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的變形，與一定的概率模型的概率值或期望值相聯(lián)系，構(gòu)造概率模型，這樣就可以由所構(gòu)造的概率模型來(lái)證明這些等式了，現(xiàn)舉例如下：

例1：證明等式

證明：可利用巴納赫問(wèn)題來(lái)證。設(shè)某人帶有兩盒火柴，每盒火柴有n根，每次取用時(shí)，在兩盒中任抓一盒，從中抽取一根。設(shè)從第一盒中選取為“成功”，從第二盒中選取為“失敗”，這種連續(xù)的抽取就構(gòu)成了一串p=1/2的伯努利實(shí)驗(yàn)，因?yàn)橹荒苓x擇這兩盒火柴，要么第一盒，要么第二盒，也就是要么“成功”，要么“失敗”。這時(shí)，“當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一盒火柴空了，第二盒火柴還有r根”這一事件等價(jià)于“從2n-r根火柴中抽取了n個(gè)成功”。該事件構(gòu)成了二項(xiàng)分布b（n；2n-r，1/2）。記“當(dāng)發(fā)現(xiàn)第一盒火柴空了，第二盒還有r根”這一事件為Ar，那么Ar的概率就是因?yàn)閞取0到n的各事件Ar之并為必然事件，所以，兩邊同乘以2n，即令n-r=k，則r從0到n，k從n到0，于是，有 ，即 。

二、利用概率知識(shí)證明不等式

有些不等式的證明看上去毫無(wú)頭緒，但如果仔細(xì)觀察，有些不等式和概率論中的一些知識(shí)是有關(guān)聯(lián)的，通過(guò)進(jìn)一步的分析也許就可以用概率論的知識(shí)來(lái)證明這些不等式。主要會(huì)用到概率論中的一些不等式或定理，有些不等式的證明需要構(gòu)造一個(gè)概率密度函數(shù)，再利用概率中有關(guān)不等式的性質(zhì)來(lái)加以證明。現(xiàn)分別說(shuō)明如下：

（1）利用馬爾科夫不等式，柯西施瓦茲不等式，切比雪夫不等式證明。現(xiàn)給出這些不等式，馬爾科夫不等式：設(shè)ξ是定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，P）上的隨機(jī)變量，f（x）是[0，∞）上非負(fù)單調(diào)不減函數(shù)，則對(duì)于任意x>0，有，柯西施瓦茲不等式：設(shè)Ci為常數(shù)，ξi為隨機(jī)變量，且則，切比雪夫不等式：若隨機(jī)變量ξ的方差D（ξ）存在，則對(duì)任意ε>0，有。

（2）利用以下這個(gè)定理證明一類不等式。

定理：設(shè)ξ為（Ω，F(xiàn)，P）上的隨機(jī)變量，若f（x）為定義在某區(qū)間I上的連續(xù)的下凸函數(shù)，則有f（Eξ）≤Ef（ξ）；若f（x）未定義在某區(qū)間I上連續(xù)的上凸函數(shù)，則有f（Eξ）≥Ef（ξ）（該定理參見(jiàn)[3]）。

（3）通過(guò)構(gòu)造密度函數(shù)，運(yùn)用期望以及一些概率性質(zhì)來(lái)證明一類不等式。

三、利用正態(tài)分布計(jì)算一類無(wú)窮積分

概率論中的正態(tài)分布是一個(gè)十分重要的分布，應(yīng)用非常廣泛。正態(tài)分布的密度函數(shù)、期望、方差都可以用積分來(lái)表示，大多數(shù)情況下是無(wú)窮區(qū)間廣義積分。而反過(guò)來(lái)，某些收斂的無(wú)窮積分就可以利用正態(tài)分布的相關(guān)概念方便的計(jì)算出來(lái)。

1.利用正態(tài)分布的概率密度計(jì)算無(wú)窮積分

正態(tài)分布的概率密度定義：若隨機(jī)變量ξ的密度函數(shù)由式給出，其中u，δ為已知參數(shù)，則稱ξ服從正態(tài)分布，簡(jiǎn)稱ξ服從正態(tài)N（u，δ），記做ξ～N（u，δ2）。概率密度具有規(guī)范性，即利用此式就可以計(jì)算形如的積分，其中a，b為常數(shù)，b>0.

例2：計(jì)算廣義積分

① ②

分析：這兩個(gè)積分用通常數(shù)學(xué)分析的方法是很難求的這時(shí)仔細(xì)觀察一下就可以發(fā)現(xiàn)可以把被積函數(shù)看成是兩個(gè)隨機(jī)變量的概率密度①可以看做隨機(jī)變量ξ～N（2，2），②可以看做隨機(jī)變量ξ～N（0，1），然后將被積函數(shù)變形后利用概率密度函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算該積分。

解：

①

②令

2.利用正態(tài)分布的期望定義計(jì)算無(wú)窮積分

隨機(jī)變量的期望定義：設(shè)ξ為隨機(jī)變量，其分布函數(shù)為則記并稱E（ξ）為ξ的數(shù)學(xué)期望。當(dāng)ξ為連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，。對(duì)于正態(tài)分布ξ～N（u，δ2），可以證明Eξ=u，既有：利用這個(gè)式子可以較方便地計(jì)算型積分，其中a，b為常數(shù)，b>0. 這類廣義積分一般利用換元法比較麻煩，而把被積函數(shù)看做服從某正態(tài)分布的隨機(jī)變量的期望表達(dá)式，則很容易求解。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏宗舒等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程.高等教育出版社，2002.

[2]周概容.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).高等教育出版社，1987.

[3]陳紀(jì)修.數(shù)學(xué)分析.高等教育出版社，2000.

[4]陳陵.概率方法與恒等式的證明.重慶工貿(mào)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008年第1期，29-30.