如何利用中點(diǎn)巧作輔助線(xiàn)

奚雯燕

【摘要】 中點(diǎn)問(wèn)題是幾何問(wèn)題中一類(lèi)常見(jiàn)的問(wèn)題，與中點(diǎn)有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)也比較多.學(xué)生們常常不知該從哪個(gè)角度添加輔助線(xiàn)，從而影響了解題.事實(shí)上，與中點(diǎn)有關(guān)的常用輔助線(xiàn)有以下幾種：倍長(zhǎng)中線(xiàn)、斜邊中線(xiàn)是斜邊的一半、三線(xiàn)合一、中位線(xiàn)、垂徑定理及其推論.根據(jù)中點(diǎn)添出恰當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)，能夠簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】 倍長(zhǎng)中線(xiàn)；斜邊中點(diǎn)；底邊中點(diǎn)；中位線(xiàn)；垂徑定理

一、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（普通中點(diǎn)）

1. 倍長(zhǎng)中線(xiàn)或其一部分

如圖1，AD為△ABC中線(xiàn)，BE交AD于點(diǎn)F，AE = EF. 求證：BF = AC.

證明：如圖1，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G使DG = AD，連接BG，易證△GDB≌△ADC.

∴∠G = ∠DAC，BG = AC.

∵ EA = EF，∴∠CAF = ∠AFE.

∴∠G = ∠BFG.

∴ BG = BF. ∴ BF = AC.

證明二：如圖2，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)G使GD = FD，連接GC，易證△BDF≌△CDG.

∴ GC = BF，∠G = ∠BFD. ∵ EA = EF，

∴∠EAF = ∠EFA. ∴ ∠G = ∠GAC.

∴ AC = GC. ∴ BF = AC.

2. 倍長(zhǎng)類(lèi)中線(xiàn)

如圖3，在△ABC中，AB > AC，E為BC邊的中點(diǎn)，AD為∠BAC的平分線(xiàn)，過(guò)E作AD的平行線(xiàn)，交AB于F，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于G.求證：BF = CG.

證明：延長(zhǎng)FE至Q使EQ = EF，連接CQ，易證△BEF ≌ △CEQ. ∴ BF = CQ，∠BFE = ∠Q.∵ AD平分∠BAC，∴∠CAD = ∠BAD. ∵ EF∥AD，∴∠CAD = ∠G，∠BAD = ∠BFE. ∴∠G = ∠Q.∴ CQ = CG.∴ BF = CG.

點(diǎn)評(píng)：三角形中出現(xiàn)中線(xiàn)或類(lèi)中線(xiàn)，可以構(gòu)造全等三角形解題.

二、斜邊中線(xiàn)是斜邊的一半（斜邊中點(diǎn)）

如圖4，已知BE，CF是△ABC的兩條高，M，N分別為BC，EF的中點(diǎn).求證：MN⊥EF.

證明：如圖，連接MF，ME，∵ MF是 Rt△FBC斜邊上的中線(xiàn)，∴ MF = ■BC，同理ME = ■BC.

∵在△MEF中，MF = ME，點(diǎn)N是EF的中點(diǎn)，

∴ MN⊥EF.

點(diǎn)評(píng)：直角三角形中出現(xiàn)斜邊中點(diǎn)，通常構(gòu)造斜邊中線(xiàn)，利用直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半解題.

三、三線(xiàn)合一（等腰三角形底邊中點(diǎn)）

如圖5，矩形ABCD中，E為CB延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AC = CE，F(xiàn)為AE中點(diǎn).求證：BF FD.

證明：如圖5，連接CF，∵AC = CE，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)，∴CF ⊥AE.∵ F是Rt△AEB斜邊中點(diǎn)，∴ FB = FA，∠FBA = ∠FAB.∵矩形ABCD，∴∠ABC = ∠BAD，BC = AD.易證△FBC ≌ △FAD. ∴∠BFC = ∠AFD. ∴ ∠AFC = ∠BFD. ∴ BF⊥DF.

點(diǎn)評(píng)：等腰三角形中出現(xiàn)底邊中點(diǎn)，常作底邊中線(xiàn)，利用等腰三角形三線(xiàn)合一解題.

四、中位線(xiàn)（多個(gè)中點(diǎn)）

如圖6，四邊形ABCD中，AD = BC，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，AD，BC的延長(zhǎng)線(xiàn)分別與EF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于H、G.求證：∠H = ∠BGE.

證明：如圖6，連接AC，取AC中點(diǎn)M，連接ME，MF，則EM是△CDA的中位線(xiàn).

∴ EM∥AD，EM = ■AD，同理MF∥BC，且MF = ■BC.

∵ AD = BC，∴ EM = MF，∠MEF = ∠MFE.∵ EM∥AH，

∴∠MEF = ∠H.∵ FM∥BG，∴∠MFE = ∠BGF. ∴∠H = ∠BGF.

點(diǎn)評(píng)：圖形中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)，可構(gòu)造中位線(xiàn)，用中位線(xiàn)知識(shí)來(lái)解題.

五、垂徑定理（弦中點(diǎn)）

如圖7，在⊙O中，AB=CD，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn).求證：∠BMN = ∠DNM.

證明：連接MO，NO，由垂徑定理得OM⊥AB，ON⊥CD，由勾股定理得OM = ■，ON = ■.

∵ AB = CD，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴ OM = ON. ∴∠OMN = ∠ONM. ∴ ∠BMN = ∠DNM.

點(diǎn)評(píng)：圓里面出現(xiàn)弦中點(diǎn)時(shí)，可連接中點(diǎn)與圓心，利用垂徑定理來(lái)解題.

六、垂徑定理推論（弧中點(diǎn)）

如圖8，A，B，C為⊙O上三點(diǎn)，D，E分別為■，■中點(diǎn)，連接DE，分別交AB，AC于F，G.求證：AF = AG.

證明：連接DO，EO，∵ D，E分別為■，■中點(diǎn)，∴ DO⊥AB，EO⊥AC.∵ DO = EO，∴ ∠D =∠E.

∴∠AFG = ∠AGF.∴ AF = AG.

點(diǎn)評(píng)：圓里面出現(xiàn)弧中點(diǎn)時(shí)，可連接中點(diǎn)與圓心，利用垂徑定理推論來(lái)解題.

中點(diǎn)是圖形中的特殊點(diǎn)，中線(xiàn)、中位線(xiàn)是三角形中的特殊線(xiàn)段，在解題中，如果能靈活運(yùn)用與它們相關(guān)的性質(zhì)，巧作輔助線(xiàn)，可使許多問(wèn)題得到迅速解決.

練習(xí)：如圖，在Rt△ABC中，AB = BC，在Rt△ADE中，AD = DE，連接EC，取EC中點(diǎn)M，連接DM，BM.

（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖（1），猜想BM與DM的關(guān)系；

（2）如果將圖（1）中的Rt△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的角，如圖（2），那么（1）中的結(jié)論是否仍然成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王守團(tuán).巧作中點(diǎn)問(wèn)題的輔助線(xiàn)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2002，20-23.

[2]張建華.利用“中點(diǎn)線(xiàn)段倍長(zhǎng)”法解題[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2013，4-5.