由蒲豐投針想到的數學教學問題

【摘要】本文從蒲豐投針問題說起，探討了當今大學數學教師所面臨的困惑和學生的無所適從。而作為一線的教師如何為激活大學數學課堂，提高課堂效率，培養學生的創新能力，學科交叉教學不能不說是一種行之有效的方法。

【關鍵詞】蒲豐投針；學科交叉教學；概率；創新

1 蒲豐投針問題

1777年法國科學家Buffon提出下列著名問題：

（投針問題）平面上畫著一些平行線，它們之間的距離都等于 ，向此平面任投一長度為 （ ）的針，試求此針與任一平行線相交的概率。

解：設 表示針落下后針的中點 到最近的一條平行線的距離， 表示針與平行線所成的角（見下圖1），則

.

而針與一直線相交的充要條件是 。

作一分別以 為橫軸和縱軸的平面直角坐標系，則所有基本事件可以用邊長為 及 的矩形 內的點表示出來（如圖2），而“針與直線相交”這一事件所包含的基本事件可以用圖2中 內的點表示出來，因而，所求概率

.

假設這一試驗總共做了 次，而針與平行線相交的次數是 ，則當 較大時，可以用相交的頻率 去近似概率 ，即。從而由上式又可以進一步得到。也就是說我們可以通過這樣的試驗得到圓周率 的近似值。

歷史上就有很多人曾做過這樣的試驗去推導 的值。不過直到目前為止，用這種方法得到最好的 值就是意大利人拉澤里尼（Lazzerini）作了3408次投針，給出 的值為3.1415929——準確到小數點后六位。他的試驗結果比其他試驗者得到的結果準確多了，甚至受到了美國韋伯大學的一位教授L·巴杰的質疑。

不過，蒲豐試驗的重要性并非是為了求得比其他方法更精確的 值，而在于它是第一個用幾何形式表達概率問題的例子。這種首次使用隨機試驗處理確定性數學問題，為概率論的發展起到一定的推動作用。計算 值的這一方法，不但因其新穎、奇妙而讓人叫絕，而且他開創了使用隨機數處理確定性數學問題的先河，是用偶然性方法去解決確定性計算的前導。這種方法被稱為蒙特卡羅方法（Monte Carlo method）。蒙特卡羅方法是在第二次世界大戰期間隨著計算機的誕生而興起和發展起來的。這種方法在應用物理、原子彈、固體物理、化學、生態學、社會學以及經濟行為等領域中得到廣泛應用。

2 由蒲豐投針引發的對大學數學教育教學的思考

長期以來，對我國中小學生在數學方面的成績，我們都有一種由衷的自豪感。然而，很多學生步入大學以后就對數學產生一種恐懼感，尤其是大一第一學期高數就掛科更是成為很多學生的夢魘。是因為我們教師教學的投入不足，還是因為我們從初高中知識到大學數學跨度太大？帶著這樣的疑問，北京師范大學數學科學學院郇中丹教授與王昆揚教授和劉永平教授一起將自己大部分精力投入到本科的教學工作中。

北京師范大學數學專業的學生都是經過十分嚴格選拔的，且有80%以上的學生表示他們熱愛數學，將來立志從事數學。真可謂是教師盡心，學生竭力的師生隊伍。郇中丹教授經過八年的潛心研究，他發現有五種令人困惑的現象很難糾正和克服。其中一條就是“學生只會背，不會甚至不敢去自己探索；沒有觸類旁通的能力，對于需要自己利用已有知識進行邏輯推理之類的問題，感覺十分吃力，難以承受。”

許多同行工作者又何嘗不是有這樣的困惑呢？對于這樣的問題，作為一線的任課教師，我們不妨可以好好回味一下蒲豐投針這個試驗。

蒲豐投針本身是一個要求概率的問題，可是卻用幾何知識巧妙地解決了，并且還由此產生了蒙特卡羅方法，在很多領域中都有廣泛的應用。這事實上就是知識交叉融合的力量！

大學數學知識本身有一定的深度，甚至比較抽象難懂。但對大多數理工科專業學生來說，數學是一門工具，只有學好了才能夠用這一工具解決自己的專業知識，所以數學又是一門基礎課。對這樣一塊必啃的硬骨頭學生如何去學，教師又如何去教呢？

由蒲豐投針試驗，我想到了學科交叉教學。學科交叉教學就是在對某單一學科教學的基礎上聯系其他不同學科領域、部門和分支學科進行相互理解、相互作用、彼此融合，從而達到對知識更加深入細致的理解和學習。

例如，在數學與應用數學專業的高等代數課堂上，時常會碰到求解 元齊次線性方程組最小二乘解的問題，教師引導學生至少可以結合兩門不同的學科去解決。一是代數與幾何的交叉融合，可以把問題轉化成尋求一個向量使得它到一個 維線性空間距離最短。二是代數與數學分析的交叉，又可以把問題轉化成多元函數求極值，利用數學分析中的相關定理一樣可以完美解決。再例如，無論是在高等數學還是在數學分析的課程中都會學到不定積分的運算，結合高等代數中線性變換的理論，可以用逆矩陣的方法求一個不定積分。像這樣的例子聽起來是不是又有了“蒲豐投針”的感覺，令人拍案叫絕呢？！

豈止這些？像這樣的例子在我們的大學數學中比比皆是。比如概率論中多維隨機變量的理論可以借助代數中矩陣這一工具高效的解決問題；數學和計算機的交叉融合使得這兩個學科的發展堪稱是“比翼雙飛”；數學借助各種軟件的力量使得問題程序化，圖形清晰化，抽象具體化等等。我們結合我們學生自身的特點，在大學數學課堂上進行這種教學嘗試后，發現課堂氣氛明顯活躍起來，學生的思維也更加積極，學習興趣更加濃厚，對知識的掌握也更加牢固，理解也更加全面。這樣的課堂是充滿活力的課堂，是具有創造力的課堂！

學科交叉不僅僅能夠讓學生有效地掌握所學課程的知識點，使他們對大學數學中的純理論不再恐懼，更重要的是能夠培養他們的發散性思維，激發他們的學習興趣和熱情，開發他們的探索精神，在潛移默化中培養他們的創新能力。

實踐經驗告訴我們，如果教師在課堂上帶領學生從不同學科解決同一個問題，或者是從不同學科的角度去理解相同的理論，一定能夠使學生領略到“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”之意境，不僅可以豐富自己的課堂教學，而且可以優化知識結構，培養學生的綜合素養。

3 結語

曾有耶魯大學校長理查德·萊文指出：跨學科的廣度和批判性思維的培養，是中國大學本科教育缺乏的兩個關鍵要素。微軟公司首席研究及戰略官科瑞格·蒙迪則認為：未來人類所面臨的問題將會越來越復雜，解決問題的辦法取決于跨學科的合作，企業界特別希望大學能培養出更多具有跨學科能力和合作能力的人才。

教師的教學方式是開啟學生智慧閘門的鑰匙，教學工作不僅僅是向學生傳授知識，更重要的是開發學生智力、鍛煉學生思維和培養學生能力。在大學數學的教學中，教師應注重學科交叉教學，使學生的學習能夠融會貫通，解決問題的能力得到提升。這就需要教師在教學過程中，多加留心，引導學生透過現象認識本質，挖掘更加深刻的內容。

參考文獻：

[1]同濟大學數學系編.概率統計簡明教程[M].第2版.北京：高等教育出版社，2012.

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[4]郇中丹，對我國師生數學學習和教學觀念的反思[J].數學通報，2009，7（48）：8-10.

[5]盧建飛，吳太山，吳書光，尹承梅.基于交叉學科的研究生創新人才培養研究[J].中國高教研究，2006（1）：46-48.

基金項目：重慶人文科技學院教改項目，名稱：《高等數學》課程教學改革的研究與實踐，項目編號：14CRKJ02。