不謀而合 圓切相輝

雷敏乾

【摘要】“依據新課標，源于教材”是中考數學命題的一個重要風向標；2014年中考，多地命題專家對九年級數學上冊《圓的基本性質》的一道習題和一道例題直接引用或進行變式、拓展、提升、綜合，又層層推進地設置新的問題情景；這樣不僅了達到了源于教材，高于教材，活于教材的作用，又考查了學生的分析問題、解決問題的能力；同時又對我們廣大教師今后的教學無疑起了一個導向作用。

【關鍵詞】2014年中考試題 圓 課本習題、例題 引用、變式、提升、綜合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）06-0112-02

2014年中考塵埃落定，在中考數學試卷的浩瀚的題海里出現了一道亮麗的風景，心有靈犀一點通，多地競不謀而合地同時對九年級數學上冊《圓的基本性質》中教材第103頁綜合運用的習題第14題、第86頁的例2，進行了直接引用，或略作變式，并在第2問的基礎上進行了提升、推進、綜合運用其它的數學知識，設置新的問題情景，考查不同梯次學生的分析問題、解決問題的能力，讓所有的學生在解答此題時彰顯各自的數學才華。

原題呈現：

第14題 如圖1，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的切線互相垂直垂足為D，求證：AC平分∠DAB.

圖1 圖2

例2.如圖2，⊙O的直徑AB為10㎝，弦AC的長為6㎝，∠ACB的平分線交⊙O于點D，求BC、AD、BD的長.

此兩題是教材上的例、習題， 想必大家很熟習，好好回憶一下吧！

四題開屏：

圖形基本不變，已知條件基本不變，求證的結論不變，但是求證的結論在條件略作增加的情況下進行了提升、綜合、推進，即讓學生有似曾相識燕歸來的欣喜，又讓學生必須經過一番苦思冥想，并運用其它的數學知識來分析，從而解決問題。讓不同的學生有不同的發展。

題一：（2014年孝感市）如圖3，AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，AD與過點C的切線垂直，垂足為點D，直線DC與AB的延長線相交于點P，弦CE平分∠ACB，交AB于點F，連接BE，

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）求證：△PCF是等腰三角形；

（3）若tan∠ABC=

圖3 圖4

題二：（2014年咸寧市）如圖4，已知AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點C，AD⊥CD于點D.

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若點E為弧AB的中點，AD= ，AC=8，求AB和CE的長.

題三：（2014年十堰市）如圖5，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E.

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若AB=4，B為OE的中點，CF⊥AB，垂足為點F，求CF的長；

（3）如圖5⑵，連接OD交AC于點G，若 = ，求sin∠E的值.

圖5（1） 圖5（2） 圖6

題四：（2014年鄂州市）如圖6，以AB為直徑的⊙O交∠BAD的平分線于C，過C作CD⊥AD于D，交AB的延長線于E.

（1）求證：CD為⊙O的切線；

（2）若 = ，求cos∠DAB的值.

簡要思路：題一、二、三的第⑴問的求證與課本第14題的步驟相同，是對習題的一個熟練程度的檢測，這里只將題一和題四的解答作一個簡要的分析，題二和題三留給大家思考。

可參考金考卷2014年全國各省市中考試題匯編（湖北專用）。

題一的⑵要證明PC=PF，須證∠PFC=∠PCF，而

∴∠PFC=∠CAO+∠ACF，∠PCF=∠BCF+∠PCB.

由已知可知∠ACF=∠BCF，又由AB為直徑和PC為⊙O的切線，可證∠CAO=∠PCB，故得證。

（3）如圖3，連接AE，由已知得AE=BE=7 .由勾股定理得AB=14.又在Rt△ABC中，tan∠ABC= = = ，由⑵可知∠A=∠BCP，∠P=∠P，則△PAC∽△PCB，∴ = = .可設PC=4k，PB=3k，k≠0，這樣在Rt△POC中有PO=3k+7，再建模，從而求得k的值為6，則PC=24就呼之而出。

題四的⑴的證明連接OC.則易證得OC∥AD.又∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.故得證。

（2）如圖6，連接BC.由⑴可得tan∠CAB=tan∠CAD= = = = ，令CD=3k，AD=4k，得AD=5k. ∴BC= k. 由勾股定理得AB= k，∴OC= k.∵OC∥AD，∴ = ，易得AE= k，∴cos∠DAB= = .

命題意圖：這四道題共同考查了： 圓的切線的判定、性質，平行線的判定、性質，角的和差演變，等腰三角形的判定、性質，以及要綜合運用相似三角形、解直角三角形、勾股定理、引進參數來進行推理、計算，從而達到證題、解題的目的。

考題賞析：題一、二、三的已知條件的前面部分和求證⑴與課本習題、例題完全相同，就是題一、二、四的圖也與教材上的如出一轍，在緊張的考試環境下，給學生一種似曾相識燕歸來的欣喜，減輕了學生的壓力，激發了他們解題的興趣。題三將原圖形的下半部分有意省去，似乎要給學生一個陌生的感覺，讓學生熟而不知熟，故意迷惑他們，考查學生觀察問題是否細致入微，能否輕車熟路地達到目的，可謂巧妙布局。題四就別具一格，偷梁換柱，將教材的已知條件（CD為⊙O的切線）與結論（AC平分∠DAB）作了一個交換，但換湯不換藥，證明的思路與課本的思路也是互逆的，實謂匠心獨運。在短暫的興趣解完第一問后，后面設置的是新的問題情景，盡管有夢回教材的欣喜，但它不是簡單的就題論題，而是借題發揮，卻高于教材，活于教材，對題目進行了重新組合，改變了考查方向，增加了思維的難度和深度；這就要求學生站在一個新的高度，縱橫捭闔，全方位地運用所學的數學知識來分析問題，從而解決問題。考查了學生綜合運用知識的能力和創新思維能力。

路標指引：看了上面的幾個中考題：就啟示我們，在日常的數學教學中，要依綱（課標）據本（課本），立足于基礎，要注重引導學生對課本例、習題的學習和研究，同時要充分利用課本例、習題（含其圖形）的資源，對它進行變式、拓展、延伸、綜合，或重新組合，設置的問題情景，轉變題型，來訓練學生思維的靈活性、變通性、深刻性，這樣既發揮了課本例、習題所藴含的功能，讓源于教材，高于教材，活于教材的集團題取代“戰術題海”；又從更高層次上使學生的創新思維能力得到發展，從而達到“做一題、通一類、會一片”的效果。