概率統(tǒng)計考點預(yù)測

鄧軍民

《考試大綱》（理科數(shù)學(xué)版）明確指出：對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的考查，要求全面又突出重點，對于支撐學(xué)科知識體系的重點知識，考查時要保持較高的比例，構(gòu)成數(shù)學(xué)試題的主體.《概率統(tǒng)計》是一門“研究偶然現(xiàn)象統(tǒng)計規(guī)律性”的學(xué)科，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，概率和統(tǒng)計這門學(xué)科在社會生活實際以及科學(xué)實驗和研究中都得到了越來越廣泛的應(yīng)用.基于以上原因，近幾年來，高考數(shù)學(xué)試卷也把概率統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識和方法----隨機事件、等可能事件、互斥事件、相互獨立事件、獨立重復(fù)實驗等概率及相應(yīng)的計算和離散型隨機變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念和計算列為考查的重點，作為必考內(nèi)容.因此高考數(shù)學(xué)就利用概率統(tǒng)計知識設(shè)計試題來考查考生的應(yīng)用意識、實踐能力；考查考生的分析問題與解決問題的能力、考查考生的分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及對背景新穎問題的理解中所表現(xiàn)出來的不同思維品質(zhì)與思維能力.

一、考點知識結(jié)構(gòu)及分析

概率與統(tǒng)計重點考查的內(nèi)容是利用等可能事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的計算，以進一步求某些離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差，用樣本方差去估計總體方差，用樣本頻率分布估計總體分布.

二、熱門考點預(yù)測

熱點一：隨機事件間的關(guān)系

例1. 從裝有5只紅球，5只白球的袋中任意取出3只球，判斷下列每對事件是否為互斥事件，是否為對立事件.

（1）“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”；

（2）“取出2只紅球和1只白球”與“取出3只紅球”；

（3）“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”；

（4）“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”.

解析：任取3只球，共有以下4種可能結(jié)果：“3只紅球”“2只紅球1只白球”“1只紅球2只白球”“3只白球”.

（1）“取出2只紅球和1只白球”與“取出1只紅球和2只白球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，但有可能兩個都不發(fā)生，故不是對立事件.

（2）“取出2只紅球1只白球”，與“取出3只紅球”不可能同時發(fā)生，是互斥事件，可能同時不發(fā)生，故不是對立事件.

（3）“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只白球”不可能同時發(fā)生，故互斥.其中必有一個發(fā)生，故對立.

（4）“取出3只紅球”與“取出3只球中至少有1只紅球”可能同時發(fā)生，故不是互斥事件，也不可能是對立事件.

點評：理解互斥事件與對立事件應(yīng)注意的問題：（1）對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不可能同時發(fā)生外，其并事件應(yīng)為必然事件，這可類比集合進行理解；（2）具體應(yīng)用時，可把試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪幾個試驗結(jié)果，從而判斷所給事件的關(guān)系.

變式1. 判斷下列每對事件是否為互斥事件？是否為對立事件？從一副橋牌（52張）中，任取1張，

（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”.

解析：（1）是互斥事件但不是對立事件.

因為“抽出紅桃”與“抽出黑桃”在僅取一張時不可能同時發(fā)生，因而是互斥的.同時，不能保證其中必有一個發(fā)生，因為還可能抽出“方塊”或“梅花”，因此兩者不對立.

（2）是互斥事件又是對立事件.因為兩者不可同時發(fā)生，但其中必有一個發(fā)生.

（3）不是互斥事件，更不是對立事件.因為“抽出的牌點數(shù)為3的倍數(shù)”與“抽出的牌點數(shù)大于10”這兩個事件有可能同時發(fā)生，如抽得12.

熱點二：隨機事件的頻率與概率

例2. 某射擊運動員進行雙向飛碟射擊訓(xùn)練，各次訓(xùn)練的成績?nèi)缦卤恚?/p>

（1）將各次擊中飛碟的頻率填入表中；

（2）這個運動員擊中飛碟的概率約為多少？

解析：利用頻率公式依次計算出擊中飛碟的頻率.

（2）擊中飛碟的頻率穩(wěn)定在0.81，故這個運動員擊中飛碟的概率約為0.81.

點評：概率和頻率的關(guān)系：概率可看成頻率在理論上的穩(wěn)定值，它從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小，它是頻率的科學(xué)抽象，當試驗次數(shù)越來越多時頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就近似地當作隨機事件的概率.

變式2 .某籃球運動員在同一條件下進行投籃練習(xí)，如下表所示：

（1）計算表中進球的頻率并填表；

（2）這位運動員投籃一次，進球的概率約是多少？

（2）由（1）知進球頻率穩(wěn)定在0.8，所以這位運動員投籃一次，進球時概率約是0.8.

熱點三：互斥事件、對立事件的概率

例3. 某戰(zhàn)士射擊一次，問：

（1）若中靶的概率為0.95，則不中靶的概率為多少？

（2）若命中10環(huán)的概率是0.27，命中9環(huán)的概率為0.21，命中8環(huán)的概率為0.24，則至少命中8環(huán)的概率為多少？不夠9環(huán)的概率為多少？

解析：（1）記中靶為事件A，不中靶為事件A，根據(jù)對立事件的概率性質(zhì)，有P（A）=1-P（A）=1-0.95=0.05.故不中靶的概率為0.05.

（2）記命中10環(huán)為事件B，命中9環(huán)為事件C，命中8環(huán)為事件D，至少8環(huán)為事件E，不夠9環(huán)為事件F.由B、C、D互斥，E=B∪C∪D，F(xiàn)=B∪C，

根據(jù)概率的基本性質(zhì)，有：

P（E）=P（B∪C∪D）=P（B）+P（C）+P（D）=0.27+0.21+0.24=0.72；

P（F）=P（B∪C）=1-P（B∪C）=1-（0.27+0.21）=0.52.

所以至少8環(huán)的概率為0.72，不夠9環(huán)的概率為0.52.

點評：求復(fù)雜的互斥事件的概率的一般方法：（1）直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率求和，運用互斥事件的概率求和公式計算.（2）間接法：先求此事件的對立事件的概率，再用公式P（A）=1-P（A），即運用逆向思維，特別是“至少”“至多”型題目，用間接法就顯得較簡便.

變式3. 某商場有獎銷售中，購滿100元商品得1張獎券，多購多得.1 000張獎券為一個開獎單位，設(shè)特等獎1個，一等獎10個，二等獎50個.設(shè)1張獎券中特等獎、一等獎、二等獎的事件分別為A、B、C，求：

（1）P（A），P（B），P（C）；

熱點十三：頻率分布直方圖的應(yīng)用

例13.（1）在樣本頻率分布直方圖中，共有11個小長方形，若中間一個小長方形的面積等于其他10個小長方形面積和的，且樣本容量為160，則中間一組的頻數(shù)為（ ）

A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25

（2）某區(qū)高二年級的一次數(shù)學(xué)統(tǒng)考中，隨機抽取200名同學(xué)的成績，成績?nèi)吭?0分至100分之間，將成績按如下方式分成5組：第一組，成績大于等于50分且小于60分；第二組，成績大于等于60分且小于70分；…第五組，成績大于等于90分且小于等于100分，據(jù)此繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.則這200名同學(xué)中成績大于等于80分且小于90分的考生有______名.

解析：（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可設(shè)中間一組的頻率為x，則x+4x=1，解得x=0.2.故中間一組的頻數(shù)為160×0.2=32.

（2）由題知，成績大于等于80分且小于90分的考生所占的頻率為1-（0.005×2+0.025+0.045）×10=0.2，所以這200名同學(xué)中成績大于等于80分且小于90分的考生有200×0.2=40名.

點評：頻率分布直方圖反映了樣本的頻率分布：

三、備考建議

概率與統(tǒng)計知識在高考的考查中，基本上都是1-2道客觀題（選擇題或填空題）加1道解答題，其中客觀題較容易，概率統(tǒng)計解答題逐漸取代了90年代興起的應(yīng)用題，其難度不大，但有一定的靈活性，對題目的背景和題意理解要求較高，要想把概率統(tǒng)計這類題做好，首先我們要學(xué)會借助課本，構(gòu)建主干知識網(wǎng)絡(luò).數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成和發(fā)展，是一個知識積累、梳理的過程.如果說高一高二新授課是抓知識點的落實，那么高三復(fù)習(xí)課的重點就是注重各部分知識在個自發(fā)展過程中的縱橫聯(lián)系，理清脈絡(luò)，抓住起支撐作用的主干，構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò)，所以在高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程當中，考生要學(xué)會以課本知識為出發(fā)點，重視教材的基礎(chǔ)作用，緊扣課本上的概念，深刻理解當中的內(nèi)涵，熟練掌握它的應(yīng)用.其次我們要學(xué)會借助典型習(xí)題，落實基礎(chǔ)，提高能力.高考對概率與統(tǒng)計部分的難度要求不高，所以更加突出基礎(chǔ)，要求同學(xué)們對基本概念要清晰，對于一些基本題型要熟練.對一些重要的數(shù)學(xué)例題和習(xí)題，能夠靈活變通，落實基礎(chǔ)，訓(xùn)練技能，提高綜合能力.最后要學(xué)會關(guān)注社會的熱點，重視實際問題的背景.設(shè)置情境，考查考生運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，是高考對概率統(tǒng)計這一部分知識的重點考查方式.從近幾年我省的高考概率統(tǒng)計題可以看出，高考題的立意新，并與社會的熱點問題聯(lián)系較多，所以要重視數(shù)學(xué)在生產(chǎn)，生活及科學(xué)中的應(yīng)用，要重視考生創(chuàng)新意識和實踐能力的培養(yǎng).

（作者單位：廣州市第二中學(xué)）

責任編校 徐國堅