小學數學思想方法談

趙玉龍

數學思想是人們對數學內容的本質認識，是對數學知識和數學方法的進一步抽象和概括，屬于對數學規律的理性認識的范疇，而數學方法則是解決數學問題的手段，具有“行為規則”的意義和一定的可操作性，同一個數學成果，當用它去解決別的問題時，就稱之為方法;當論及它在數學體系中的價值和意義時，則稱之為思想。因此，人們把它們統稱為數學思想方法。

一、符號思想

符號思想是用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號思想。符號思想是將所有的數據實例集為一體，把復雜的語言文字敘述用簡潔明了的字母公式表示出來，便于記憶，便于運用。把客觀存在的事物和現象及它們相互之間的關系抽象概括為數學符號和公式，有一個從具體到表象再抽象符號化的過程。

用符號來體現的數學語言是世界性語言，是一個人數學素養的綜合反映。在數學中各種量的關系，量的變化以及量與量之間進行推導和演算，都是用小小的字母表示數，以符號的濃縮形式來表達大量的信息，如乘法分配律（a+b）×c=a×c+b×c;數學廣角中用圖形來表示各種事物等。

二、化歸思想

化歸思想是數學中最普遍使用的一種思想方法，其基本思想是：把甲問題的求解，化歸為乙問題的求解，然后通過乙問題的解反向去獲得甲問題的解。一般是指不可逆向的“變換”。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡，化整為零，化曲為直等。如求組合圖形的面積時，先把組合圖形割補成學過的簡單圖形，然后計算出各部分面積的和或差，均能使學生體會化歸法的本質;學習圓的周長，先將圓的周長轉化成一條線段，再推導出它的周長，這就是化曲為直。

三、分解思想

分解思想就是先把原問題分解為若干便于解決的子問題，分解出若干便于求解的范圍，分解出若干便于層層推進的解題步驟，然后逐個加以解決并達到最后順利解決原問題的目的的一種思想方法。如在五年級《解決問題的策略》教學中“倒退著想”的解題策略就體現了這種思想。

四、轉換思想

轉換思想是一種解決數學問題的重要策略，是由一種形式變換成另一種形式的思想方法，這里的變換是可逆的雙向變換。在解決數學問題時，轉換是一種非常有用的策略。對問題進行轉換時，既可轉換已知條件，也可轉換問題的結論。轉換可以是等價的，也可以是不等價的。用轉換思想來解決數學問題，轉換僅是第一步，第二步要對轉換后的問題進行求解，第三步要將轉換后問題的解答反演成問題的解答。如果采用等價關系作轉換，可直接求出解而省略反演這一步。

如計算：2.8÷113÷17÷0.7，直接計算比較麻煩，而分數的乘除運算比小數方便，故可將原問題轉換為：28/10×3/4×7/1×10/7，這樣，利用約分就能很快獲得本題的解。

五、分類思想

分類思想方法不是數學獨有的方法，數學的分類思想方法體現對數學對象的分類及其分類的標準。如自然數的分類，若按能否被2整除分奇數和偶數;按因數的個數分素數和合數。又如三角形可以按邊分，也可以按角分。不同的分類標準就會有不同的分類結果，從而產生新的概念。對數學對象的正確、合理的分類取決于分類標準的正確、合理性，數學知識的分類有助于學生對知識的梳理和建構。

六、歸納思想

數學歸納法是一種數學證明方法，典型地用于確定一個表達式在所有自然數范圍內是成立的或者用于確定一個其他的形式在一個無窮序列是成立的。有一種用于數理邏輯和計算機科學廣義的形式的觀點指出能被求出值的表達式是等價表達式，這就是著名的結構歸納法。

七、類比思想

數學上的類比思想是指依據兩類數學對象的相似性，有可能將已知的一類數學對象的性質遷移到另一類數學對象上去的思想，它能夠解決一些表面上看似復雜困難的問題。類比思想不僅使數學知識容易理解，而且使公式的記憶變得順水推舟得自然和簡潔，從而可以激發起學生的創造力，正如數學家波利亞所說：“我們應該討論一般化和特殊化和類比的這些過程本身，它們是獲得發現的偉大源泉。

八、假設思想

假設思想是一種常用的推測性的數學思考方法.利用這種思想可以解一些填空題、判斷題和應用題.有些題目數量關系比較隱蔽，難以建立數量之間的聯系，或數量關系抽象，無從下手.可先對題目中的已知條件或問題作出某種假設，然后按照題中的已知條件進行推算，根據數量出現的矛盾，最后找到正確答案的一種思想方法。假設思想是一種有意義的想象思維，掌握之后可以使得要解決的問題更形象、具體，從而豐富解題思路。如：在求雞兔同籠的問題，可以假設全部是雞;或者全部是兔。

九、比較思想

人類對一切事物的認識，都是建筑在比較的基礎上，或同中辨異，或異中求同。俄國教育家烏申斯基說過：“比較是一切理解和一切思維的基礎。”小學生學習數學知識，也同樣需要通過對數學材料的比較，理解新知的本質意義，掌握知識間的聯系和區別。

在教學分數應用題中，教師要善于引導學生比較題中已知和未知數量變化前后的情況，可以幫助學生較快地找到解題的途徑，是用算術方法簡單還是用列方程的方法簡單，學生通過比較后可以選擇合適的方法。

十、極限思想

事物是從量變到質變，極限方法的實質正是通過量變的無限過程達到質變。

教學“圓的面積和周長”中，“化圓為方”“化曲為直”的極限分割思路，在觀察有限分割的基礎上想象它們的極限狀態，這樣不僅使學生掌握公式，還能從曲與直的矛盾轉化中萌發了無限逼近的極限思想。

現行小學教材中有許多處注意了極限思想的滲透：在“自然數”、“奇數”、“偶數”這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個，讓學生初步體會“無限”思想。在循環小數這一部分內容，在教學 1÷3=0.333…是一循環小數，它的小數點后面的數字是寫不完的，是無限的。

在直線、射線、平行線的教學時，可讓學生體會線的兩端是可以無限延長的。