淺談初中階段因式分解的常用方法

張宴鋒

【摘要】：本文對初中階段因式分解進行了歸納小結，剖析了重點、難點，并通過典型例題介紹了多種方法、技巧，以幫助學生掌握多項式的因式分解，形成方法的系統化，提高學生的解題能力。

【關鍵詞】：多項式 ?因式分解 ?例題 ?方法

因式分解是人教版八年級上班冊的教學內容，也是八年級下冊分式約分和通分及其后面延續內容的基礎，也是中考必然考察的知識點，故掌握好因式分解的方法至關重要。把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現將 初中階段因式分解的常用方法總結如下：

一、提公因式法.

如多項式 am + bm + cm = m（ a + b + c ），

其中m叫做這個多項式各項的公因式，m既可以是一個單項式，也可以是一個多項式.

提公因式法是因式分解的基礎方法，當拿到一個需要因式分解的多項式時，首先要觀察的多項式的各項中有沒有公因式，如有則提取公因式，一般提取的是最大公因式。而尋找最大公因式的方法是：取各項系數的最大公約數與各項中相同因式的最低次冪的積。提取完之后再看括號里面的多項式即上式中的（ a + b + c ）能否用其他方法繼續分解因式。

二、公式法

運用公式法，即用

a2-b2= （a + b）（a - b），

a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 ，

a 3 ± b 3 = （ a ± b）（a 2 ?ab + b 2 ）

寫出結果。

從以上公式可以看出，如果給出的多項式是二項多項式，且是平方差的形式則選取平方差公式a2-b2= （a + b）（a - b）進行因式分解。如果是三項多項式，式中含有平方和的形式a 2 + b 2而另外一項是兩平方項底數乘積的2倍（2ab），滿足上述特點的多項式采用完全平方公式a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 進行因式分解。

三、十字相乘法（拆分法）

（一）二次項系數為 1 的二次三項式

直接利用公式—— x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ） 進行分解。

特點：（1）二次項系數是 1;（2）常數項是兩個數的乘積;（3）一次項系數是常數項的兩因數的和。

這就是說，對于二次三項式，如果常數項b可以分解為p、q的積，并且有p+q=a，那么 x 2 + （ p + q ） x + pq = （ x + p ）（ x + q ）。這就是分解因式的十字相乘法。一般而言，如果一個多項式是一個二次三項式，并且其二次項系數為1，而常數項是負數時采用拆分法進行因式分解，而不能用完全平方a 2 ± 2ab + b 2 = （a ± b） 2 進行因式分解。

例1、因式分解。x 2 -x-56。

分析：因為 x7

x-8

7x +（-8x） =-x

解：原式=（x+7）（x-8）

例2、 因式分解。x 2 -10x+16。

分析：因為 ? x-2

x-8

-2x+（-8x）=-10x

解：原式=（x-2）（x-8）

（二）二次項系數不為 1 的二次三項式—— ax2 + bx + c

條件：（1） a = a1 a 2; ? ? ? ?a1 ? ? ? c1

（2）c=c1c2; ? ? ? ? ? a2 ? ? ? c2

（3）b=a1c2+a2c1 ? ? ? ? ? ? ? ? b=a1c2+a2c1

分解結果： ax2 + bx + c=（ a1 x + c1 ）（ a 2 x + c 2 ）

例3、 因式分解。6y2+19y+15

分析：該題雖然二次項系數不為1，但也可以用十字相乘法進行因式分解。

2y3

因為

3y5

9y+10y=19y

解：原式=（2y+3）（3y+5）

例4、 因式分解。14x2+3x-27

分析：因為2x3

7x-9

21x+（-18x）=3x

解：原式=（2x+3）（7x-9）

四、分組分解法.

（一）分組后能直接提公因式

例 5、分解因式： am + an + bm + bn

分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前 兩項都含有 a，后兩項都含有 b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯 系。

解：原式= （ am + an） + （bm + bn）

= a （ m + n） + b（ m + n ） ? -------------每組之間還有公因式！

= （m + n）（a + b）

思考：此題還可以怎樣分組？

此類型分組的關鍵：分組后，每組內可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提。

（二）分組后能直接運用公式

例6、分解因式： x 2- y 2 + ax + ay

分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續分解，所以只能另外分組。

解：原式= （ x 2 -y 2 ） + （ ax + ay ）

= （ x + y ）（ x -y ） + a （ x + y ）

= （ x + y ）（ x -y + a ）

例7、分解因式： a2-2ab + b 2 -c2

解：原式= （a2-2ab + b 2 ） -c2

= （ a - b） 2- c 2

= （ a- b+ c）（a - b -c） 注意這兩個例題的區別！

以上就是目前所學多項式因式分解的常用方法，此外還有配方法、立方和公式、立方差公式等等，方法眾多不唯一，有些題目可能需要多種方法才可完成，希望大家在學習的時候根據多項式的特點靈活運用，有所幫助。