“弦圖”巧解題

岑妙

【摘 要】充分運用“弦圖”解題，發揮幾何圖形形象直觀、簡潔、明快、構圖優美等特有的功能，提高學生機智、敏捷、創造性地思考、分析和解決問題的能力，增強對數學學習的興趣。

【關鍵詞】基本圖形；弦圖；解題

在學習空間與圖形的過程中，我們經常會發現有一些圖形對解決相關的問題起著重要的作用。基本的圖形所呈現的數學語言具有確定性、簡潔性及抽象性等特點，具有其它語言不可替代的優越性。它們不僅跟文字一樣具有記錄作用，有利于形象記憶，也有思想交流的功能。豐富的表象，往往有助于我們清楚地分析題中的數量關系，起到化繁為簡、化難為易的良好效果，給我們解題提供一種有效思路。

2002年國際數學家大會在北京召開，大會的會徽就是我國古代數學家趙爽畫的“弦圖”。圖中包含的四個全等的直角三角形，一大一小兩正方形，我們曾借助正方形邊長與直角三角形三邊的關系來證明勾股定理。作為學生十分熟悉的基本圖形，在解決許多習題時，卻往往被忽視它的作用，不少幾何題直接運用條件去推導往往比較復雜，若將圖形進行適當的拼補，構造成一幅美麗而巧妙的“弦圖”，其解答就在圖中直接或間接地顯示出來了。

下面我們就通過幾個案例來看看“弦圖”是如何發揮巧妙的作用的。

【案例一】——“以形助數”：

如圖，一直角三角形的面積為6平方米，兩條直角邊的差為1米，問：直角三角形的斜邊長多少米？

設兩未知數列出一個二元二次方程組，是大部分學生會采取的方法，這樣的解法思路是比較簡單，但解方程的過程中運算量還是較大的。這里我們若用上“弦圖”，“以形助數”，斜邊就能很快地被求出來。構造“弦圖”后，直角三角形被補成一個大正方形，而大正方形的邊長顯然就是這個直角三角形斜邊的長，只要求出該大正方形的面積，所求的問題也就迎刃而解了。通過觀察，我們可以發現拼成的“弦圖”中間部分恰好是一個小正方形，這個小正方形的邊長正好是一直角三角形兩條直角邊之差，所以大正方形的面積為四個直角三角形的面積加上小正方形的面積，即S=6×4+1=25平方米，所以大正方形邊長為5米，即直角三角形的斜邊就是5米。與之前的列方程組相比較，這種構圖法既直觀又簡單，深得學生的喜歡。

【案例二】——“巧設坐標”：

如圖，正方形的A1B1P1P2的頂點P1、P2在反比例函數（x>0）的圖象上，頂點A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上，再在其右側作正方形A2B2P2P3，頂點P3在反比例函數（x>0）的圖象上，頂點A2在x軸的正半軸上，則點P3的坐標為 。

這是2011年寧波市中考卷填空題的最后一題，雖似曾相識，但又煥然一新，體現了數形結合的思想，重點考查了學生的數學綜合能力。把反比例函數與正方形的知識相結合，借助看似平實簡潔的問題設置，卻凸顯了數學思想方法在解題時的重要作用，學生必須牢固掌握數學的基礎知識，并且在不同的環境中能夠靈活地加以運用。此題首先考查應用反比例函數和正方形都關于直線y=x的軸對稱性得出P2坐標為（2，1），接下來我們對正方形A2B2P2P3作出“弦圖”的分割，如右圖，設較長直角邊為a，則通過觀察就能得出P3的坐標，可表示為（2+a，a），然后把P3的縱橫坐標代入反比例函數解析式即可求出a的值，繼而求出P3的坐標。此題正是應用了“弦圖”的結構特征，把原本傾斜的正方形邊長通過分割使之“改斜歸正”，繼而可以比較輕松的把線段的長度轉化為點的坐標。

【案例三】——“巧求邊長”：

如圖，以Rt△ABC的斜邊BC為一邊在△ABC的同側作正方形BCEF，設正方形的中心為O，連結AO，如果那么AC的長等于 。

此題圖形關系較復雜，而要把線段AB、AO轉接成線段AC，對學生來說還是有點困難的。通過觀察，要是能夠發現∠ABO=∠OCG的話，在AC上取一點G使CG=AB=4，連接OG，利用△OGC≌△OAB和等腰直角三角形的相關知識還是能解決此題的。可是這種證明思路對學生來講很難想到，往往一開始就“見題生畏”了，不過心中若有“弦圖”，根據圖形特征把“弦圖”補全，就會有意想不到的效果。這里的AH就是小正方形的邊長，而AO=，所以AH長度為12，又根據“弦圖”特征，AB=HC=4，所以AC的長等于12+4=16。本題補形后的“弦圖”不僅圖形對稱完美，而且對于此題的證明思路顯得更加清晰，證法更加簡潔直觀，使我們再次領會到“弦圖”的魅力和豐富的數學內涵。

【案例四】——“面積問題”：

在直線l上擺放著三個正方形。

（1）如圖1，已知水平放置的兩個正方形的邊長依次是a，b。斜著放置的正方形的面積S= ，兩個直角三角形的面積和為 ；（均用a，b表示）

（2）如圖2，小正方形面積S1=1，斜著放置的正方形的面積S=4，求圖中兩個鈍角三角形的面積m1和m2，并給出圖中四個三角形的面積關系；

（3）圖3是由五個正方形所搭成的平面圖，T與S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫出T與S的關系式，并利用（1）和（2）的結論說明理由。

此題選自2011年中考復習考試大綱的一道練習，對于第（2）小題的說理，事實上很多同學一開始找不到問題的切入口。我們可以把中間這個正方形作出“弦圖”的分割，直角三角形的長直角邊記為h，短直角邊記為n，顯然利用四個全等的直角三角形能理出四個三角形之間的面積關系：m1=a×h=m3，m2=a×h=m4。

【案例五】——“拼圖設計”：

如圖，有一個邊長為5的正方形紙片ABCD，要將其剪拼成邊長分別為a，b的兩個小正方形，使得a2+b2=52。

a，b的值可以是 （寫出一組即可）；

②請你設計一種具有一般性的裁剪方法，在圖中畫出裁剪線，并拼接成兩個小正方形，同時說明該裁剪方法具有一般性：

此題選自2009年天津市中考題，作為填空最后一題，旨在考查了學生分析、解決問題的能力，考查學生對“弦圖”的再認識及應用。一般性的裁剪方法再次利用了“弦圖”的特征，裁剪線及拼接方法如右圖所示，我們先把正方形ABCD劃分出“弦圖”結構，將圖中的△DCF繞D逆時針旋轉90°至△DAG，即△DCF≌△DAG，DF=DG，說明了四邊形DFIG是正方形；同理將△CEB繞B逆時針旋轉90°至△AHB，即△CEB≌△AHB，BE=BH，進而說明四邊形EBHI是正方形。

其實能用“弦圖”解決的數學題目還有很多，這些習題大凡有一個共性，涉及直角三角形或正方形，這時候我們選擇補全“弦圖”能更清楚地看到圖中的數量關系、位置關系。充分運用“弦圖”的特征解題，發揮幾何圖形的形象直觀、簡潔、明快、構圖優美等特有的功能，能提高學生機智、敏捷、創造性地思考、分析和解決問題的能力，增強對數學學習的興趣。事實上，數學基本圖形眾多，“弦圖”只是其中一個，不同的基本圖形有不同的性質，呈現的是不同的數學語言，體現的是各自特有的圖形功能。在數學解題教學中，從已知條件的數字特征、代數式的特點及特定的數量關系等角度去充分挖掘它們所具有的幾何意義，引導學生借助數學基本圖形的形象性、直觀性來解題，不僅有助于激發學生的學習興趣，提高學生的解題效率，而且對發展學生的數學思維能力、培養學生的創新意識也具有重要的現實意義。

參考文獻：

[1]何軍.淺談圖形語言在解題中的應用.數學通報.2008，（7）