從系統的高度探究求向量數量積的方法

曾松林

學生在學習數學的過程中，有一個很常見的問題，他們總是認為題目解出來就算了.他們喜歡憑著感覺和記憶做題，喜歡簡單的方法，他們不喜歡或者說根本不會從系統的角度去分析、去思考問題.然而當他們擅長的某種方法失敗后，除了放棄就沒有其他想法了.究其原因，筆者認為教師總是順著學生的思路，求解出題目就過去了，沒有從題目的系統高度去分析、去思考，是出現這個問題的癥結.這樣久而久之，學生對問題的認識是片面的.為了解決這個問題，就需要教師在講題的時候，能引導學生從系統的高度去思考問題，讓解題過程“慢”一會兒.

在復習向量的數量積時，筆者給學生留了個思考題：

師：這種思路的依據是平面向量的基本定理，它的關鍵是選擇合適的基向量.

生2：過點C作直線AD的垂線CE交直線AD于點E，則AC·AD=AD·AE=AE.而由△ABD～△CED，得BDCD=ADDE，容易求出AE=3.

學生分析：這種思路是因為想到AC·AD的幾何意義.

師：這個方法很簡便，但是添加輔助線是難點.這要求我們對這個方法有堅定的信念，同時也說明幾何意義（投影）是多么有用.

師：還有其他解法嗎？

學生思考，議論，似乎一點頭緒都沒有.于是筆者嘗試著和學生一起分析：學生1的方法是利用數量積的定義，學生2的方法是利用數量積的幾何意義，除此之外求數量積還有什么方法呢？

學生：建立坐標系？（有點不自信）

師：試試嘛！

通過巡視，發現學生雖然有了思維方向，也都在認真思考，但學生只能在建立（1）、（2）兩種坐標系后，望“圖”生嘆.

筆者意識到學生做不下去的原因，是本題要求設的未知數過多，學生不敢下筆.此時，筆者肯定了這兩種建立坐標系的方法的可行性，并鼓勵學生繼續探索.幾分鐘后，有幾位學生示意自己做好了.筆者讓一位學生到黑板上板演.

之后筆者與學生一起進行了總結：用坐標法解決問題，關鍵是用坐標體現出各種幾何關系.這樣問題就轉化為代數問題，我們就可以通過解方程等方法去解決它.

坐標法解題成功后，學生對自己的表現很滿意，對這種解題方法也表示了認可，臉上露出了微笑.同時筆者也建議學生在課后能用另一種建立坐標系的方法求解該題目，目的是讓他們去感受這種復雜的運算過程，逐漸消除其“畏煩”的心理，從而培養學生良好的解題習慣.此時我注意到有位學生有點激動地舉起了手.

生4：我不是這樣建立坐標系的！我覺得已知條件中已經有一個垂直關系了，為什么不直接建立直角坐標系呢.（教師打斷了他）

師：其他同學覺得呢？

班里頓時議論紛紛，有些已經開始這樣操作，去嘗試，但也有一些同學面露難色.我走過去，了解到他們認為這樣的圖看著很別扭，歪的！.然后我叫生4給出解釋.只見他面露微笑，然后把自己的草稿紙轉了一個角度.剛才有些糾結的學生，驚嘆一聲，豁然開朗，個個都躍躍欲試.幾分鐘后，絕大多數學生就解出了答案.

由于生4的回答正中教師下懷，很多教師會迫不及待地說“好！很好！非常好！”之類的話對生4表示肯定和贊賞.所以，我打斷生4的回答，目的是要去發現其他學生對這種處理方法的困惑.

在用坐標方法求解問題時，學生其實很困惑，這種方法這么復雜，而且很難想到.相對來說，前面兩種方法更簡單，更容易想到.為什么要用坐標方法呢？為此，筆者又舉了一個用坐標方法比較簡便的例子.

在日常教學中，教師要做一個有心人，如果上課能對一些問題多一點的系統分析，那么學生哪怕少做些題也能掌握系統的知識，同時能培養學生對解決問題的整體思考.