排列組合教學(xué)中的一些問題的探討

黃君明

【摘要】在排列組合問題中題目種類繁多，涉及面廣.本文就一些最基本的問題，兩個

基本計數(shù)原理在解題過程中的正確運用以及若干元素分配的問題，如定量定點分配與定量

不定點分配，指定平均分配與不指定平均分配等一些問題在教學(xué)過程中的一些體會.

【關(guān)鍵詞】基本計數(shù)原理；元素分配

排列組合中的題目種類繁多，涉及面廣.而思考解題的方法各異，學(xué)生解題時容易產(chǎn)生疑惑或錯誤.下面談一點從教學(xué)中得到的一些體會.

（一）對兩個基本計數(shù)原理掌握不深

1.完成一件事情的方法分類不準(zhǔn)

例1 在A，B，C，D 四個元素的全排列數(shù)中，A不在首且D不在尾的排列有多少種？

誤解1 從4個元素的全排列數(shù)中，減去A在首的另三個元素的全排列數(shù)，再減去D在尾的另三個元素的全排列數(shù)，因此有P4-2P3種.

分析 為明了錯誤之處，列表分析，將4個元素全排列數(shù)分類如下：

A在首D在尾（1）D不在尾（2），

A不在首D在尾（3）D不在尾（4）.

由上表中看出：解1中P4-2P3，實質(zhì)上從4個元素的全排列數(shù)中減去（1）、（2）和（1）、（3）的情況，其中（1）A在首、D在尾的排列數(shù)減去了兩次，即多減了一個P2，所以答數(shù)變小，如改為 P4-2P3+P2=14 就正確了.

誤解2 從B，C，D 中任取1個排在首，余下3個元素在二、三、四的位置全排列，其排列數(shù)有 P13P3種.

分析 同上，列表分析：

A在二D在尾（1）D不在尾（2），A在三D在尾（3）D不在尾（4），A在尾（5）.

從表可知，這樣的解法，A分別在第二、第三位置時，B、C、D在另外三個位置上的全排列，包含了（1）和（3）兩種不合題意的情況，因此答數(shù)變大，多了2P2，所以改為P13P3-2P2=14也就正確了.

正確解法 按A的位置列表分類：

A在首位D在尾（1）D不在尾（2），A在二位D在尾（3）D不在尾（4）

A在三位D在尾（5）D不在尾（6），A在尾位（7）.

從分類表很明顯地可看出符合題意的是（4）、（6）、（7）的排列數(shù)，故有：

2P12P2+P3=14（種）.

從該例表明，完成一件事，如有幾類辦法，辦法的分類一定要正確.在分類過程中要保證不遺漏、不重疊，否則，必然造成錯誤，導(dǎo)致答數(shù)變小或擴大.在解題過程中，正確分類，能使我們清晰迅速地分析和判斷出正確解題方法.因此在教學(xué)過程中，對一些元素較少的排列，盡可能列表分類來分析說明，使學(xué)生更通俗易懂.

2.完成一件事情的方法分步不當(dāng)

例2 有各不相同的書籍6本，分給甲、乙、丙3個人，每人各得2本，有多少種分法？

誤解 因為每人各2本，所以6本書中取2本有多少組合數(shù)，就是該問題的解，從而有C26=15（種）.

分析 錯誤出在完成一件事應(yīng)分步進行，而誤作一步完成.顯然，C26只能說明6個元素中取2個元素的組合數(shù)，該問題的C26只能說明從6本書中取2本書出來（給某一個人）的方法種數(shù)，那么，其他2人就沒能分到書，因此答數(shù)變小.

正確解法 把6本書分給甲、乙、丙三人各2本，完成這一事情，應(yīng)分三步進行.首先把6本書中的任取2本給甲，有C26種；其次，把余下的4本中的任意2本給乙，有C24種；最后所剩下的2本給丙，有C22種，因此由乘法原理可以得出：C26·C24·C22=90.

例3 空間有10個點，其中任何三點不共線，任何四點不共面，以該10個點為頂點，一共可作多少個不同的四面體？

誤解 完成一個四面體分兩步進行.首先，確定一個四面體的底面，有C310種；其次，再確定一個頂點，有C17種，這樣一個三角形的底面的三個頂點和另一個頂點連接就組成了一個四面體，從而由乘法原理，可得C310·C17=840（個）.

分析 錯誤出在完成一件事，不需分步而分步.因為四個不共面的點，只能確定唯一的一個四面體（C44=1），從10個點中取出4個點，作為頂點，把它們連接起來，就成一個四面體，也就是說該任務(wù)一步即可完成.如同上分成兩步進行，則有C34·C11=4，這樣一個四面體可表示成4種不同形式，也就是說一個四面體可當(dāng)成4個四面體，因此，答數(shù)擴大了4倍.因此改成C310·C17÷4就正確了.

正確解法 從該10個點中任取4點，即可確定一個唯一的四面體，因此有C410=210（個）四面體.

從例2和例3可看出，完成一件事是否需要分步進行，搞清這個問題是非常重要的，應(yīng)分沒分，不應(yīng)分而分，都將造成答數(shù)的擴大或縮小.因此，在教學(xué)過程中，首先重點放在完成任務(wù)的方法，任務(wù)完成之后，再考慮完成任務(wù)方法的種類數(shù).

（二）對條件的微小差別辨別不清，容易混淆的問題

例4 把4件不同的商品分到兩柜臺銷售.

（1）若柜臺甲得1件，柜臺乙得3件，有幾種不同的分法？

（2）若一個柜臺得1件，一個柜臺得3件，有幾種不同的分法？

分析比較 （1）此題的特點是“定點定量”分配.

完成該任務(wù)分步進行，首先，從4件中任選1件給甲柜臺，有C14種方法；其次，再取余下3件，給乙柜臺有C33種方法，從而由乘法原理可得C14·C33=4（種）分法，見下表：

甲柜臺[]a[]b[]c[]d[]C14

乙柜臺[]bcd[]acd[]abd[]abc[]C33

（2）此題的特點是“定量不定點”分配.這一問題與前一問題的關(guān)鍵區(qū)別在一個不定點、一個定點.量定了，一個柜臺得1件，另一個柜臺得3件.但哪個柜臺得1件，哪個柜臺得3件沒有指定.故任何一個柜臺可得1件，也可以得3件，因此存在兩種情況交換問題，即順序問題.故有C14·C33·P2=8（種）.見下表：

甲柜臺[]a[]b[]c[]d[]bcd[]acd[]abd[]abd

乙柜臺[]bcd[]acd[]abd[]abc[]a[]b[]c[]d

例5 有4本不同的書，（1）分給甲、乙2個人，每人2本，有多少種分法？

（2）分成2組，每組2本，有多少種分法？

分析比較 （1）此題的特點是“平均”分配.該題與前面的例2類型一樣，首先，從4本書中任取2本給甲，有C24種方法；其次，把余下的2本給乙，有C22種方法.由乘法原理可得C24·C22=6（種）不同分法.見下表：

甲[]a b[]a c[]a d[]b c[]b d[]c d[]C24

乙[]c d[]b d[]b c[]a d[]a c[]a b[]C22

（2）此題的特點是“不指名的平均分組”.

在這類“不指名的平均分組”問題中，首先應(yīng)搞清楚，平均分成兩組，則相應(yīng)的兩組算一種分法；若平均分成3組，則相應(yīng)的三組算一種分法，依次類推.

從4本書中任取2本為一組，則有C24種取法.如下表：

（a b）[]（a c）[]（a d）[]（b c）[]（b d）[]（c d）

若取（a b）為一組，則余下的自然成一組，即[（a b）、（c d）] 為一種分法，故有下表：

（ab）（cd） （ac）（bd） （ad）（bc） （cd）（ab） （bd）（ac） （cb）（ad）

所以有C24·C22=6（種）分法.

就分組問題而言，可分兩類：指名和不指名.若指名分“甲、乙”兩組[如前（1）小題]，我們知道上表及答案C24·C22就是問題的所求；若不指名分“甲、乙”兩組，就說分成兩組，顯然從上表可看出：后三種分法是前三種分法的重復(fù)，因此，本問題的個數(shù)應(yīng)是C24·C22÷2！=3（種）.

像例4和例5這類問題，學(xué)生很容易混淆不清，在教學(xué)過程中，最好同時舉例分析比較，幫助學(xué)生找出問題差別的所在，從而正確熟練地掌握.

（三）綜合問題，無所適從

例6 用0、1、2、3、4五個數(shù)字組成多少個無重復(fù)數(shù)字的大于20134的自然數(shù)？

分析 這是一個難度較大的問題，可采取化整為零的分散難點的辦法，把它分成如下幾個小問題，借助圖表分析.

（1）大于30000小于50000無重復(fù)數(shù)字的五位自然數(shù)有多少？

3 P4

4 P4

共有2P4個

（2）大于21000小于25000的無重復(fù)數(shù)字的五位自然數(shù)有多少？

2 1 P3

2 3 P3

2 4 P3

共有3P3個

（3）大于20300小于20500的無重復(fù)數(shù)字的五位自然數(shù)有多少？

2 0 3 P2

2 0 4 P2

共有2P2個

（4）大于20140小于20150的無重復(fù)數(shù)字的五位自然數(shù)有多少？

2 0 1 4 P1

共有P1個

按上述分類，可看出比20134大的無重復(fù)數(shù)字的五位自然數(shù)共有2P4+3P3+2P2+P1=71（個）.

像這類問題，在教學(xué)過程中，要化繁為簡，各個突破，使學(xué)生了解一些復(fù)雜的、煩瑣的綜合性問題，其實就是一些簡單、容易的問題疊加.