區間數運算法則的研究

董媛媛

【摘要】區間數作為一類特殊的模糊數，其性質和運算法則在很多文獻中進行了討論，根據前人所做的大量的有關區間數運算法則的基礎的研究在此對其運算法則做了系統的研究.

【關鍵詞】區間數；運算法則

【中圖分類號】O159 【文獻標識碼】A

一、引 言

區間作為實數的集合在經典數學中已有明確的含義.近年來隨著模糊數學這門新學科的興起，在其理論完善的諸多方面都用到了有關區間模糊數的四則運算，如利用區間數的排序進行的模糊決策，還有在模糊規劃中將模糊規劃轉化為區間規劃來解決等等，而目前對區間數的運算法則描述種種，很多學者提出了廣義區間數、正區間數、負區間數、零區間數、標準區間數、虛區間數等等不同的概念，以便使有關區間數的運算表達式更為簡潔實用.本文將諸多學者對有關區間數的運算法則做一個系統的研究.

二、區間數的運算法則

在文獻[1]中給出了區間數的定義：I=[a，b]={x|a≤x≤b，a，b∈R}叫作一個區間數，并且給出了區間數的運算公式：

這里對0[c，d]時[a，b]÷[c，d]沒有定義，而且在一般情況下分配律是不成立的，加法與減法、乘法與除法不再像實數的四則運算那樣是互逆的運算.

文獻[2]在區間數加法、減法、乘法、除法運算的基礎之上推導出了區間數的乘方與開方運算，并給予了嚴格的證明，從而豐富了區間數的運算性質.文獻[2]中關于區間數的加法、減法、乘法、除法同文獻[1].下面直接以兩個定理的形式給出區間數的乘方與開方運算：

定理1（區間數的乘方運算）：n∈N，[a，b]n=[min{an，bn}，max{an，bn}]，特別的，當a≥0時，n∈N，[a，b]n=[an，bn].

定理2（區間數的開方運算）：n∈N，n[][a，b]=[n[]a，n[]b]，a>0.

定理的證明可以參考文獻[2]，在該文獻中還給出了區間數乘方與開方運算的應用.

文獻[3]給出了廣義區間數的定義：將實數集b]，[a，[a|b]和[a，b]稱為廣義區間數，其中[a=limb→+∞[a，b]，b]=lima→-∞[a，b]，[a|b]=b]Y[a，且有當a≤b時有[a|b]=R，以及定義了同符號的廣義區間數、不同符號的廣義區間數、有限的廣義區間數和無窮的廣義區間數，在此基礎上給出了廣義區間數的四則運算，由于廣義區間數的加法、減法的運算較簡單，故在此結合文獻[4]直接以幾個定理的形式給出廣義區間數的乘、除法的直接表示法：

定理3（廣義區間數的乘法運算）：

1）若A為一個同符號的廣義有限區間數，則：

交換A，B的位置即可得b≤0，c≥0時的情況以及采用取極限的方法便可以得到無窮時的情況，其他結論可以參考文獻[3]的兩個推論.

2）若A，B為不同號廣義區間數時，則

定理4（廣義區間數的除法運算）：

文中還定義了廣義逆元，用四個定理給出了廣義區間數的逆運算，這也大大豐富了區間數的運算為解區間數方程奠定了理論基礎.

在上述提到的有關區間數的運算法則中我們發現其加法與減法不是互逆的，乘法與除法也不是互逆的，為了適應實際應用的需要和更加完善區間分析理論及模糊數學理論，因此我們就有必要提出一種更適宜的運算規則，基于此文獻[5]引入了虛區間、區間模以及廣義區間數的概念，文中將虛區間和實區間統稱為廣義區間.它以幾個命題的形式給出了區間數的運算性質并給予了證明.文中還定義了區間數的另外一種運算：區間數的取大取小運算以及區間數的模運算.

文獻[6]在回顧了泛灰數的四則運算法則的基礎上給出了區間數的標準表示，并論述了標準區間數的四則運算法則與泛灰數的內在聯系及其應用前景.在此就直接給出標準區間數的標準計算方法：

容易證明標準區間數的標準計算方法與一般區間數的運算法則是等價的，而且其加法與減法、乘法與除法分別是互為逆運算的，這又大大擴大了區間數的運算功能.

文獻[7]鑒于許多有關區間數的運算的性質中加法與減法、乘法與除法都不是互逆的運算，故在此以定義的方式給出了區間數的逆運算定義分別為：第二類加法運算、第二、三類減法運算、第二類乘法運算以及第二、三類乘法運算，并將這些運算性質應用于求解一些簡單的區間數方程.

【參考文獻】

[1]賀仲雄.模糊數學及其應用[M].天津科學技術出版社， 1984：76-94.

[2]歐伯群.Fuzzy數中區間數的乘方與開方[J].廣西教育學院學報，2000（4）：95-97.

[3]周俊健，張志海，劉紹英.廣義區間數的四則運算[J].河北煤炭建筑工程學院學報， 1996 （2）： 51-55.

[4]劉紹英，張志海，周俊健.廣義區間數的四則運算（續）[J].河北建筑科技學院學報， 1997， 14（3）：58-62.

[5]蘇連青，李法朝，仇計清.廣義區間數及其運算[J].河北輕化工學院學報， 1997， 18（1）：11-14.

[6]王清印，呂瑞華.區間數的標準表示及其四則運算法則與泛灰數的內在聯系[J].數學的實踐與認識， 2005， 35（6）：216-221.

[7]謝季堅，劉承平.模糊數學方法及其應用[M].武漢：華中理工大學出版社，2000：169-254.