一道高考題的另解與探究

毛建軍

一、高考題呈現

（江蘇·2014·17）在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.

（1）若點C的坐標為43，13，且BF2=2，求橢圓的方程；

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

二、解法探究

由解法二可知：第1小題中的條件BF2=2是多余的，但因解法二中涉及高次方程的解法，而高次方程的解法是超綱的，故此題中出現條件BF2=2的目的是降低難度，但無法避免學生會想到此法來解題.

筆者對此題作如下重新設計，可將解法一、二融入其中，也可避免了高次方程的解法.

三、試題重設及解法探究

設計一：在平面直角坐標系xOy中，F1，F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點，頂點B的坐標為（0，b），連接BF2并延長交橢圓于點A，過點A作x軸的垂線交橢圓于另一點C，連接F1C.

（1）若點C的坐標為43，m，且BF2=2，求橢圓的方程；

（2）若F1C⊥AB，求橢圓離心率e的值.

解 （1）由題意得：a=2169a2+m2b2=1b=3m，c=a2-b2=2-9m2.

解得：m=13.即：b=1.故橢圓方程為x22+y2=1.

設計二：（1）若點C的坐標為m，13，且BF2=2，求橢圓的方程.（解法同上）

設計三：（1）若點C的坐標為（4m，m），且BF2=2，求橢圓的方程.（解法中涉及無理方程與高次方程的解法）