簡約而不簡單

王敏

引言：欣賞、評析一道精妙的好題，是一種感官享受，也是一種思考和研判的過程.

一、背景與立意

1.原題呈現：如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點，AE=1，M為射線AD上一動點，AM=a（a為大于0的常數），直線EM與直線CD交于點F，過點M作MG⊥EM，交直線BC于G.

（1）若M為邊AD中點，求證：△EFG是等腰三角形；（2）若點G與點C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數值.

2.背景與立意：本題外觀簡約，但內涵豐富，涵蓋三角形、函數、四邊形等核心內容.考查知識有：直角三角形、全等三角形、相似三角形、中垂線性質、勾股定理、函數、面積等.

二、解法與變式

“基本圖形”助突破，“動點變化”是關鍵.

圖 11.對于第（1）問，易用“X型全等”的基本圖形解題.第（2）問中，對學生而言，解題的關鍵就是：能夠敏銳地觀察出點M和點G位置是相關的，并且能夠畫出相應的圖形（如圖1），此時要求線段MG的長就是求線段MC的長.

而求線段MC的長，學生自然會想到“數形結合”，建立方程來求.那么通過什么來建立方程呢？兩條路：“勾股定理”建立方程，“相似三角形對應邊成比例”建立方程.因此，我估計學生的思路至少有兩條，一條是直接把線段MC放在Rt△MDC或Rt△MEC中，用勾股定理來求MC，但此時MC肯定是用字母a表示的代數式（如方法1、2）；第二條路是利用相似三角形：K形相似或母子相似（方法3）.此時學生往往做到這里就停步了，沒有做到最后結果.如果平時解題有經驗，認真審題的話，發現是要求出線段MG的長度，也就是要求出字母a的值.當學生能意識到這點時，求a也不復雜，由“K形相似”，△MAE∽△CDM，建立方程，解出a的值，從而問題獲解.

另外，這一問還可以利用直角三角形的面積來建立方程，Rt△MCF中，FC·MD=MC·MF（方法4）.其實，這個知識點在平時教學中也經常提到.所以，第（2）問題目出得很好，可以拓展學生的思維，也檢驗了我們平時教學的效果.方法1：利用勾股定理，在Rt△MDC中表示出MC=（4-a）2+32.再由△MAE∽△CDM，得DMAE=CDAM，即4-a1=3a，解得a=1或3，代入MC中得MC=32或10.方法2：在Rt△AME和Rt△EBC中，利用“勾股定理”得：EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM=EC2-EM2=19-a2，方法3：利用“母子相似”，即“射影定理”結論，得MC2=CD·CF，而CF可以通過“X形相似”，△MAE∽△MDF，AMDM=AEDF，先求出FD=a4-a，所以CF=a4-a+3，接下來求a的值同方法1.方法4：利用面積，在Rt△MCF中，由FC·MD=MC·MF可表示出MC=FC·MDMF，而FC，FM可由“X形相似”，△MAE∽△MDF求得.

第（3）問中，點M為射線AD上的一動點，學生在審題時，粗心的同學會將第（2）問中求出的MG的長當作條件去用.第二種錯誤就是沒有分類討論.當學生弄清題意后，進行正確的分類：點M在點D的左邊或右邊，并畫出相應的圖形（如圖2、圖3）.

圖 2 圖 3

如圖2，由問題“用含a的代數式表示△EFG的面積S”，學生一般有兩條思路：一個是面積公式S=12EF·MG，另一個是“拼割法”.結合圖形，本題適合用第一種思路.而EF=EM+MF，由第（2）問的做題經驗，利用“勾股定理”和“X形相似”，△MAE∽△MDF，可表示出EM=a2+1，MF=4-aaa2+1，所以EF=4aa2+1，接下來，難點在于如何求MG.那就要充分地利用已知條件，AB的長還沒有用到，再結合要求MG，肯定要通過方程求解，想到構造相似三角形，添加輔助線：作MN⊥BC，交BC于點N，構造△MNG∽△MAE，得MG=3aa2+1，所以S=6a2+6，此時0

如圖3，同理分析，得S=6a2+6，當a>4時，S沒有整數值.綜上，S有最小整數值為7.

在這一小問中，難點一個是分類思想，一個是函數思想.最后的問題涉及最值問題，無外乎函數性質、非負數性質和整數性質，結合a的取值范圍，可獲解.

所以這條題目從知識的角度來看很綜合，三個問題體現了“特殊到一般，簡單到復雜”的數學思維過程，知識有機整合，問題遞進探究.從能力的角度來看，對學生有較高的要求，突出了數學的基本思想：化歸思想、函數思想、數形結合思想、分類討論思想……

2.變式研究

變式1：條件和結論互換，將第（1）問改為：若GE=GF，求AM的長.變式2：改變結論，將第（2）問改為：求線段FG的長或者求sin∠EFG；將第（3）問改為：討論S的最小或最大整數值.

三、價值與啟示

通過這道題目，對我們今后教學的啟示：重視知識與技能目標的達成，重視數學基本思想的滲透；尤其是對于幾何教學，重視數學基本圖形的掌握，重視數學建模的歸納與提煉.