基于一個初等不等式的思考

朱鵬

【摘要】本文通過一個初等不等式，從數學學習與數學研究的角度，用具體材料說明在大學數學基礎課程和現代數學研究成果中，探討了怎樣開展研究性教學.

【關鍵詞】Lagrange乘數法；樣本三階中心矩；超曲面；研究性教學

【中圖分類號】O151.21，G642.0

科技的飛速發展，對高等教育提出了新的課題：如何培養出合格的人才？高等學校正倡導開展研究性教學.我們迫切需要了解什么是研究性教學，怎樣開展研究性教學.本文以一個初等不等式的教學為例，探討如何結合大學數學基礎課程和自身的科學研究的心得，更好地服務于課堂教學.

1.初等不等式的描述

巴西數學家M.do Carmo等人在文獻[1]中給出了如下結果：

（3）式中取到等號情形的刻畫如下：左邊的等號情形成立當且僅當有（n-1）個ai非負且相等，右邊的等號情形成立當且僅當有（n-1）個ai非正且相等.

2.初等不等式與數學分析課程

該不等式屬于條件不等式.從數學分析課程來說，利用Lagrange乘數法容易得到（3）以及等號情形的刻畫.這里運用較高的觀點得到了一個看上去很初等的結果.正如F.克萊茵所說：“有許多初等數學的現象只有在非初等的理論結構內才能深刻地理解.”在教學時，如果能夠做到深入淺出，將有助于激發學生對數學的興趣和態度.

3.初等不等式與概率論與數理統計課程

在概率論與數理統計課程中，學生學習了樣本均值、樣本方差、樣本三階中心矩等概念.它們之間是否有聯系呢？結合定理1，我們可以給出解答： 如果樣本均值為零（即（1）式成立），樣本方差為定值a2（即（2）式成立），那么由（3）得到，樣本三階中心矩有上界和下界，并且只與樣本容量n和a2有關，同時達到上下界有具體的刻畫：有n-1個等值的樣本.在教學中，如果能將不同的基礎課程內容貫穿起來，這有助于培養學生發現問題、運用已學知識解決問題的能力，且能得到構思巧妙的方法.

4.初等不等式與現代微分幾何

在現代數學中，定理1已經被應用到現代微分幾何的研究領域：1974年，Okumura借助于定理1和Simon型方程刻畫totally umbilical 超曲面；1994年，H.Alencar，M.do Carmo運用不等式（3）及其等號情形的刻畫研究球面中的具有緊常平均曲率的超曲面，得到了關于第二基本形式和平均曲率的間隙定理.1996年，清華大學李海中教授探討空間形式中具有緊常純量曲率的超曲面，應用不等式（3）及其等號情形描述和特殊的自伴算子給出了的剛性定理.2013年新加坡國立大學徐興旺教授等借助于不等式（3）右邊的等號情形，得到了Rn+1中完備非緊的具有零Ricci曲率的超曲面有Bernstein型定理.教師要選擇合適的教學內容，銜接好教學知識和最新科學研究成果，讓學生從中了解適當的前沿成果，同時獲得思想和方法的啟迪.激發學生對現代數學學習和研究的興趣.

5.總 結

大學數學基礎課程與現代數學的前沿成果是一個整體，大學數學的研究性教學，可以交錯各門基礎課程中的內容，從中發現問題并給出解決問題的方法；也可以將科學研究的最新成果引入基礎課程中，幫助教師充實課堂教學內容，同時讓學生粗略地了解現代數學的發展.

致謝： 本文得到國家自然科學基金項目（11471145）和“青藍工程”資助.

【參考文獻】

[1]H.Alencar，M.do Carmo.Hypersurfaces with constant mean curvature in spheres.Proceedings of the Americian Mathematical Society，120（4）（1994）1223-1229.

[2]F.克萊茵.高觀點下的初等數學[M].舒湘芹等譯.上海：復旦大學出版社，2008.

[3]M.Okumura.Hypersurfaces and s pinching problem on the second fundamental tensor.Amer.J.Math.，96（1）（1974）207-213.

[4]H.Li.Hypersurfaces with constant scalar curvature in space forms.Math.Ann.，305（4）（1996）207-213.

[5]Y.Li，X.Xu，J.Zhou.The complete hypersurfaces with zero scalar curvature in Rn+1.Ann.Glob.Anal.Geom.44（4）（2013）401-416.