關于若干個不同形式的極限性質及其相互等價性質的證明

楊兆蘭?楊榮

摘 要：對數列和函數極限的保號性給出了一個等價的形式，并證明了其與若干個極限性質的相互等價性，對各種形式的極限性質給出了它們之間等價的本質關系，便于初學者更好地學習和理解極限及其性質。

關鍵詞：極限；保號性；保不等式性；等價性

極限理論是微積分的理論基礎，而極限的保號性是極限理論中重要的性質，因此深刻理解這些性質，對學好極限理論起著十分重要的作用。本文給出了數列和函數極限保號性等價的一種結論，并證明了各種極限性質之間的等價性。

一、數列極限保號性及與其他極限性質的等價性

性質1

（1）若liman=a，則對任何a′

存在正數N，使得當n>N時有an>a′。

（2）若liman=a，則對任何a′>a，存在正數N，使得當n>N時有

an

證明（1）：設a′

（>0），存在正數N，使得當n>N時有—an-a—<ε=a-a′=an>a-ε=a′。結果得證。

對（2）的情形可類似證明。

命題1：性質1與下列數列極限的性質是等價的。

性質2 （數列極限的保號性）

（1）若liman=a>0，則對任何a′∈（0，a），存在正數N，使得當n>N時有an>a′。

（2）若liman=a<0，則對任何a′∈（a，0），存在正數N，使得當n>N時有an

性質3（數列極限的保不等式性）

設an，bn均為收斂數列，若存在正數N0，當n>N0時有an≤bn，則存在liman≤limbn[1]。

性質4

（1）若liman=a>0，則存在正數N，使得當n>N時有an>0。

（2）若liman=a<0，則存在正數N，使得當n>N時有an<0[2]。

性質5

若liman=a，limbn=b，aN時有an

性質6

（1）若存在正數N，當n>N時有an≥0，且liman=a存在，有a≥0。

（2）若存在正數N，當n>N時有an≤0，且liman=a存在，則a≤0[2]。

證明：性質1=性質2：設liman=

a>0，對任何a′∈（0，a），即有

a′N時有an>a′。同理可證a<0的情況。

性質2=性質3：反設結論不成立，即有liman>limbn，則對數列an-bn有，lim（an-bn）=有liman-limbn=c>0，由性質2（2）可知，對任何a′∈（0，c），存在正數N0，使得當n>N0時有an-bn>a′>0，即有an>bn矛盾，原結論成立。

性質3=性質4：設liman=a>0。若結論不成立，即對任意的正數Nk，都存在nk>Nk，但有an ≤0，由性質3可知，liman≤lim0=0，但an又為an的子列，所以有liman =liman=a>0，矛盾， 同理可證a<0的情況。

性質4=性質5：設cn=an-bn，則limcn=lim（an-bn）=a-b<0，由性質4（2）存在正數N，使得當n>N時有cn=an-bn<0，即an

性質5= 性質6：若存在正數N，當n>N時有an≥0，且liman=a存在，而a<0，則由性質5，取bn=0時，存在正數N，當n>N時有an

性質6= 性質1：設liman=a，及任何a′Nk，但an ≤a′（k=1，2，…），則數列an -a′≤0，由性質6（2）可知，lim（an -a′）=a-a′≤0，但又由數列an-a′可知，lim（an-a′）=a-a′>0。矛盾，同理可證a′>a的情形。

二、函數極限保號性及與其他極限性質的等價性

性質1

（1）若limf（x）=A，則對任何rr。

（2）若若limf（x）=A，則對任何r>A，存在U0（x0），使得對一切x∈U0（x0）有f（x）

證明（1）：由r0），存在δ，使得對一切x∈U0（x0；δ），有—f（x）-A—<ε=A-r=

f（x）>A-ε=r。

對（2）的情形可類似證明。

命題2：性質1與下列函數極限的性質是等價的。

性質2 （函數極限的局部保號性）

（1）若limf（x）=A>0，則對任何正數rr>0。

（2）若limf（x）=A<0，則對任何正數r<-A，存在U0（x0），使得對一切x∈U0（x0）有f（x）>-r>0 [3]。

性質3（函數極限的局部保不等式性）

設limf（x）與limg（x）都存在， 且在某鄰域U0（x0；δ）內有f（x）≤

g（x），則limf（x）≤limg（x）[4]。

性質4

設limf（x）存在，若limf（x）=

A>0（或A<0），則存在U0（x0；δ），有limf（x）>0（或f（x）<0）[5]。

性質5

若limf（x）=A，limg（x）=B，若A

性質6

設limf（x）=A存在，且在某鄰域U0（x0；δ）內有f（x）≥0（或f（x）≤

0），則A≥0（或 A≤0）[7]。

可仿照命題1的證明方法證明如下：

性質1=性質2：若limf（x）=

A>0，則對任何正數rr>0，同理可證A<0的情況。

性質2= 性質3：反設結論不成立，即有limf（x）>limg（x），則對函數f（x）-g（x）有，lim（f（x）-g（x））=limf（x）-limg（x）=C>0，由性質2（1）可知，對任何正數rr>0，即有f（x）>g（x），矛盾。

性質3=性質4：設limf（x）=A>

0，若結論不成立，即對任意的δn=—，

都存在xn>δn，但有f（x）≤0。由性質3可知，A=limf（xn）≤lim0=0，但由歸結原則，有limf（xn）=limf（x）=A>0，矛盾。同理可證A<0的情況。

性質4=性質5：設c（x）=f（x）-g（x），則limc（x）=lim（f（x）-g（x））=

A-B<0。由性質4，存在U0（x0；δ），有c（x）<0，即f（x）

性質5=性質6：若limf（x）=A存在。且在U0（x0；δ）內有f（x）≥0，而A<0，則由性質5，取g（x）=0時，則存在U0（x0），有f（x）

性質6=性質1：設limf（x）=A，

及任何rδn，但有

f（xn）≤r，則f（xn）-r≤0，由歸結原則及性質6可知，a-a′=lim（f（x）-r）≤0。但又由函數f（x）-r可知，lim（f（x）-r）=A-r>0，矛盾。同理可證r>A的情形。

在《數學分析（第四版）》中給出了數列極限性質1、3、5（函數極限性質2、3、5），但未給出它們之間相互等價的證明；同濟大學應用數學系編的《高等數學》中給出了數列極限性質4、6（函數極限性質4、6）。也未給出它們之間相互等價的結論；相關論文也證明了數列極限性質2、3、4、6（函數極限性質2、3、4、6）的相互等價性，但未證明數列極限性質1、5（函數極限性質1、5）和其他極限性質的等價性。這些極限性質相互等價關系的證明，旨在幫助學習者更好地理解和掌握極限的性質。

參考文獻：

[1][3][4][6]華東師范大學數學系.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2007：29—30.

[2][5][7]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2001：23—30.

（作者單位：楊兆蘭 蘭州文理學院師范學院；楊 榮 西北師范大學數學與統計學院）