改進灰色模型及其在變形預測中的應用

吳國昊 何川

摘 要：文章介紹了常用的變形預測[1]模型：GM （1，1） 模型[2]（即灰色模型），考慮背景值[3]對模型精度的影響。對其進行改進，獲得PGM（1，1）模型[4]。并通過編程加以實現。且通過實例比較，證明PGM（1，1）模型的預測效果更好。

關鍵詞：變形預測；灰色模型；背景值；加權灰色模型

1 概述

變形是指各種荷載作用于變形體，使其形狀、大小及位置在時間域或空間域發生的變化。變形預測就是根據對觀測數據進行后期處理，來揭示變形監測數據序列的結構與規律，以建立動態預測模型，反映變形特征，推斷變化趨勢，進而建立起正確的變形預報理論和方法[1]。由于灰色理論解決復雜系統的獨特優點，故而灰色模型在變形預測多有應用[5]。

2 改進灰色模型

2.1 GM（1，1）模型的建立

在灰色系統理論[2]中，利用較少的或不確切的表示灰色系統行為特征的原始數據序列作生成變換（如累加、累減）后建立的，用以描述灰色系統內部事物連續變化過程或其規律的模型，稱為灰色模型，簡稱GM模型。GM（1，1）模型是1階的，1個變量的微分方程型模型，是灰色預測的典型模型。GM（1，1）模型具體建立步驟如下：

（1） 設有原始等時間的數列 ，其中n表示觀測次序（t=1，2，…，n），對原始數據列中各時刻的數據依次累加，

得新的序列： 其中： （1）

累減生成： （2）

累減生成用于根據預測的數列還原出我們所需要的數列。

GM（1，1）模型的微分方程構成形式為： （3）

式中a，b為待識別的模型灰參數，對于變形系統來說，a為發展系數，反映變形發展態勢，b為灰作用量。

（2）確定數據矩陣B、Yn：

（4）

（3）求解參數列，可用最小二乘法解算：

（5）

（4）代入（3）得：

（6）

（5）作累減生成得：

（7）

式（6）和（7）即為灰色預測的兩個基本模型。當tn時，稱■（0）（t）為模型預測值。

2.2 改進后的PGM（1，1）模型

GM（1，1）模型采用緊鄰均值生成方法，以Z（1）（t-1）=（x（1）（t+1）+x（1）（t））/2作為背景值，這樣有一定的局限性，它不足以顯示各種因素對建模原始數據貢獻（即影響力）的大小。且認為在短時間？駐t=1內，從變量x（1）（t）到變量x（1）（t+？駐t）之間不會出現突變量，但？駐t只是相對短的時間。因此GM（1，1）模型不能反映短時間內的突變量對變形發展的影響，從而影響了模型的預測精度。且從式（5）、（7）可以看出，GM（1，1）模型的精度依賴于背景值的構造形式。

因此，針對背景值進行改進，引入P值[4]（即權值），賦予數據不同的權重，從而得到一種基于權的PGM（1，1）模型。在該模型中，以x（1）（t+1）和x（1）（t）的加權值作為背景值，即Z（1）（t+1）=px（1）（t+1）+（1-p）x（1）（t）。最佳權值P的取法基于誤差理論，即使原始值與模擬值之差的平均相對誤差達到最小。見下式：

殘差： （8）

文章采用搜索法確定最佳權值：P從0.01開始，每次按照0.01遞增（也可以精確到小數點3位以后或更小，如從0.001開始，0.001遞增），根據建模過程，依次求出對應的平均相對誤差，直至遞增至P=0.99，找出最小的平均相對誤差及其對應的權值，即為最佳權值。為了實現減少計算量并快速得出最佳權值。文章通過Matlab編制相關程序，限于篇幅原因，具體代碼不詳細列出。建立模型后，可采用殘差、平均相對誤差來檢驗，對模型精度進行評定。

3 實例分析

某高樓因一側城市道路改造，道路標高下降， 樓群因自重和載體使基礎出現斷裂，對裂紋進行了觀測，表1為采集的數據。

表1 原始觀測數據

取前6次數據分別建立GM（1，1）預測模型、PGM（1，1）預測模型（依據Matlab相關程序運算，得最佳權值P=0.43而建立的），比較它們的模型精度，并利用這兩個模型預測07、08、09月份的變形值，與相應的實際觀測值比較分析。

GM（1，1）預測模型：

PGM（1，1）預測模型：

具體結果見表2、表3：

表2 兩種預測模型結果對照

表3 兩種模型模擬值、預測值的平均相對誤差

從表2、表3可以看出PGM（1，1）模型的殘差絕對值偏小，平均相對誤差更小，PGM（1，1）模型的模型精度、預測精度較GM（1，1）模型更高。證明PGM（1，1）模型較GM（1，1）模型有更好的預測效果。據此，取前9次的觀測值建立PGM（1，1）預測模型（最佳權值P=0.39）為：■（1）（t+1）=4.2267e0.1778t-3.6867，在前后兩個PGM（1，1）預測模型中，發展系數a均小于0，說明裂紋將擴大，|a|增大，表明裂紋擴大的幅度將增加。根據后一模型預測的11月份變形值為3.4102mm。變形加大，與分析相符，應及早增加防護措施。

4 結束語

數據的可靠性越高，賦予的權重越大，則數據建模中的可信度越大，通過對GM（1，1）模型及PGM（1，1）模型理論分析、實例計算。可以看出，由于PGM（1，1）模型考慮了原始數據波動性的影響，因此不僅模型精度高，而且預測精度也比GM（1，1）模型好。從最佳權值的不同可知，PGM（1，1）模型預測受建模序列長短及其數據隨機變化的影響。可以推論，原始數據越多，預測越準確。

參考文獻

[1]陳永奇，吳子安，吳中如.變形監測分析與預報[M].北京：測繪出版社.1998.

[2]鄧聚龍.灰色系統理論教程[M].華中理工出版社，1985.

[3]譚冠軍.GM（1，1）模型的背景值構造方法和應用[J].系統工程理論與實踐，2000（9）.

[4]周世健，賴志坤，臧德彥，等.加權灰色預測模型及其計算實現[J].武漢大學學報，2002（10）.

[5]鹿利軍，杜子濤.灰色系統理論在建筑物變形分析中的應用[J].測繪與空間地理信息，2006（2）.