構建模式直觀揭示數學本質

朱明俠

【摘要】模式直觀是理解數學概念、原理、方法的本質的有效途徑，本文給出了構建模式直觀的五種具體方法.

【關鍵詞】模式直觀；生活實例；圖形；運動狀態；情景；實驗

西南大學張廣祥教授曾就中學代數教學中如何揭示、把握數學本質做了深入的探討，提出了“模式直觀”的概念.筆者認為，“模式直觀”不僅對于改變目前中學代數教學過于強調運算而忽視對其本質揭示的傾向有著重要的引領作用，而且對中學數學教學中存在的“去數學化”現象也是一劑良藥.下面筆者就“模式直觀”的理解和想法談一點體會，與同行交流.

1.用生活實例構建模式直觀

數學中的許多概念、原理，若僅從純數學角度講授，學生一時很難理解，這時，教師可靜心思考、推敲，尋找學生身邊熟悉的，與所學知識的結構、哲理類同的生活實例，借以啟迪學生思維的閘門，引爆思維的火花，誘發其頓悟，以幫助其理解，把握所學數學知識的本質.如對于三垂線定理，由于涉及三條直線，學生往往無所適從，很難理解，這時可借助學生熟悉的削鉛筆過程構建模式直觀，展示其原理.先將可折疊小刀的刀刃略打開（使刀刃與刀把不在一條直線上），這時鉛筆（平面內的一條直線）與刀把（斜線在平面內射影）垂直時，很明顯這時鉛筆就和刀刃（平面的斜線）垂直；反之，若鉛筆與刀刃垂直，鉛筆也就自然和刀把垂直.實際上，數學知識中的許多原理都是從實踐中歸納總結出來的，只要我們去認真挖掘，就一定能夠找到合適的生活實例去構建相應的數學模式直觀，疏通制約學生思維的瓶頸，幫助學生真正理解所學知識的本質.

2.用圖形構建模式直觀

圖形具有較強的直觀性，若將數學原理能用圖形表示出來，這對于幫助學生理解知識，把握本質是非常有益的.如對于證明不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）的證明過程，語言表述學生都覺得沒有問題，但對其反映的兩正數間基本規律的實質卻感到朦朧，導致在解題中難以靈活應用.針對這一情況，我們可構建一長方形，使其長為a，寬為b，則其面積為ab，而ab表示與其面積相等的正方形的邊長，這樣不等式a+b2≥ab就表示以長為a，寬為b的矩形兩相鄰邊長度的一半不小于其等積的正方形的邊長，這樣學生便依托圖形加深了對這一不等式本質的把握.用同樣的方法，可構建長方體幫助學生理解不等式a+b+c3≥3abc的實質.

3.用運動狀態構建模式直觀

數學中的許多原理與某些運動中所固有的規律是類同的，對于這些數學知識，我們可構建某些運動狀態來展示其規律和實質.數學歸納法證題兩個步驟的實質學生往往不理解，他們做題只是形式上的模仿.為了幫助學生理解證題中各個步驟的原理，我們可用磁帶盒做實驗.數學歸納法證題第一步（證明n=1或第一個自然數成立），就相當于證實第一個磁帶盒是能夠倒下的，而第二步（假設n=k成立時再去證n=k+1時也能成立）就相當于證實當前一個磁帶盒倒下時要保證緊隨其后的這個磁帶盒也能倒下.顯然，如果我們能做到這兩點，不論豎立的磁帶盒有多少就一定會全部倒下.正是基于這一有序傳遞原理，用數學歸納法證有關自然數的命題就必須經過這兩個步驟才能完成.

4.用情境構建模式直觀

數學中許多概念、原理看似難以信服，不可想象，但若使學生置于創設的情境中去聯系，去思考，便可眼前一亮，馬上產生頓悟.極限的概念與思想學生理解有困難，因為它是從常量數學向變量數學過渡的第一個明顯的拐點，這時我們可用“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”情境誘發學生去思考.將一根粉筆用小刀進行切割，第一次切割后剩余總長的12，第二次切割后剩余量為12×12=122，第三次切割后剩余量為12×12×12=123，這樣繼續下去，第n次切割后剩余量顯然為12n，當切割次數不斷增加時，粉筆剩余長度顯然不斷減少（即趨近于0），但這一切割活動是可以永遠進行下去的（而學生看到的是到一定階段后由于粉筆太短不能再繼續切割，但這只是切割技術層面上的問題），每切割一次，剩余長度便向零接近一步，但無論經過多少次切割，剩余長度是永遠不會等于零的.從這一切割情境中，學生便會意識到，極限的本質只是有規律變化趨勢的一種預測和描述，但其永遠不會到達預測的結果（穩定點）.

5.用實驗構建模式直觀

初等數學中有許多概念、原理由于受知識限制，沒有辦法向學生加以有理有據的論證和說明（如數學歸納法證題原理、球的表面積與體積公式、球面兩點間的距離等），對這類知識，為了使學生消除疑慮，我們可通過實驗來展示和驗證結論的正確性，從而使他們從思想上認可和接受它.對于球面兩點間距離的概念，學生往往很難接受，他們認為球面兩點間的距離應是過這兩點的小圓的劣弧長，而不應當是過這兩點大圓的劣弧的長，其理由是小圓半徑小，故對應劣弧短，而大圓半徑大，故對應劣弧較長.為了使同學們能夠接受這一概念，我們可在籃球表面的縫合線（大圓）上用粉筆任意取兩點，讓學生再過這兩點畫出他們認為最小的圓，并用線繩量出所畫圓被這兩點分成的劣弧的長，再用線繩量出過這兩點的大圓（縫合線）上被這兩點分成的劣弧的長，并把二者加以比較后，從中發現無論過兩點怎么去畫小圓，其對應劣弧的長總大于過這兩點的大圓的劣弧的長，在反復實驗的基礎上，他們便會信服這一結論并樂于接受，在實驗的基礎上也掌握了如何求球面兩點間距離的方法.

以上所列僅是構建數學模式直觀常用的幾種方法，在教學中，我們應細心體會，反復琢磨，大膽聯想，尋找和構建合適的數學模式直觀，借以暴露和展示數學概念、原理的本質，以幫助學生真正理解所學的知識，提高數學課的學習質量和效率.