直線的另一種定義方法

郎林華

【摘要】本文利用空間圓點的定義給出了直線的另一種定義方法，并作出了相應的證明.

【關鍵詞】空間圓點；直線；旋轉

一、空間圓點的定義及證明

1.空間圓點的定義

在空間內任取兩個不重合的定點O1，O2，取一條過O1，O2的線a，并在線a上任取一點A，使線a繞O1，O2做定形旋轉，當點A形成的軌跡是空間圓時不必再算，當點A的軌跡是點時，這個點A就叫作空間圓點，也叫作O1，O2的空間圓點A.如圖，定點O1，O2，線a以及線a繞O1，O2做定形旋轉時產生的線a′，線a上的點B，C和點B點、C分別產生的空間圓B0，C0.

2.證明：因為空間圓是有大小的，所以O1，O2的空間圓A0是可以大于O1，O2的空間圓B0的.根據空間圓的性質，線c是可以通過O1，O2，A，B的，這樣便形成另一種圖形，那么線c繞O1，O2做定形旋轉時，線c上的點A，B分別產生的空間圓與A0，B0是相同的.

這樣當空間圓一直小下去時，最終會有過O1，O2，A，B的線d上的一點D，在線d繞O1，O2做定形旋轉時生成一個D點的軌跡是D0，這樣點D0就叫作點O1，O2的空間圓點D0.并由證明可以看出O1，O2的空間點是無窮多個.

3.空間圓點的性質

（1）線a是過O1，O2的線，A是線a上的點，A0是O1，O2的空間圓點.如果再有一條線b過點O1，O2，A，那么當線a和線b同時繞O1，O2做定形旋轉時，A點所形成的空間圓點A0只有一個.

（2）因為O1，O2的空間圓點是根據O1，O2的空間圓一直變小形成的，所以O1，O2的空間圓點是O1，O2的空間圓的中心部分.

二、直線的另一種定義及性質

1.直線的另一種定義：在空間內任取不重合的兩定點O1，O2，只過所有O1，O2的空間圓點的線a叫作直線.

2.證明：根據空間圓點的性質（1），過空間內任意不重合的兩定點O1，O2和給定的O1，O2的空間圓點A的線，繞O1，O2做定形旋轉，則給定的O1，O2的空間圓點A不變.所以當線只過所有O1，O2的空間圓點時，線上所有的空間圓點在線繞O1，O2做定形旋轉后所有O1，O2的空間圓點不變，也就是線不變.這樣，只過所有O1，O2的空間圓點的線叫作直線.

3.直線的性質

（1）根據空間圓點的性質（1）（2）可知，過O1，O2的直線有且只有一條，也就是兩點可確定一條直線.

（2）根據直線的定義可知，直線上的每一點都是O1，O2的空間圓點，所以，當直線a繞O1，O2做定形旋轉時，直線上的每一點都會與O1，O2做同樣的旋轉，這樣我們可以任取直線上不重合的兩點，并以兩定點為定點，使直線繞其做定形旋轉，直線不變.

（3）根據直線的性質（2）和空間圓點的定義可知直線是直的.

（4）直線是無限延伸的.

（5）如果一條直線上的不重合的兩點可與另一條直線上的不重合的兩點重合，根據直線的性質（1）可知，兩直線重合.

三、直線的其他延伸定義

1.線段的定義及性質

（1）線段的定義：直線上任意兩個不重合的點，以兩點之間的部分叫作線段，線段上的兩點叫線段的端點，兩點之間的部分叫線段的長度.

（2）線段的性質：

①根據直線的性質（2），當線AB繞A點、B點做定形旋轉時，線段不變.

②根據直線的性質（1）可知點A與點B之間的線段有且只有一條.

③任取兩線段AB，CD，讓兩線段一端點重合，并且使一條線段的另一端在另一條線段上，根據線段的性質（2）可知，一條線段的全部與另一條線段的部分是重合的.

④因為直線是直的，所以線段也是直的.

2.射線的定義及性質

（1）射線的定義：直線上任意一點及一側的部分叫射線.

（2）射線的性質：

①根據直線的性質（5），任意兩射線是可以重合的.

②根據直線的性質（2）可知，射線繞射線上的任意不重合的兩點做定形旋轉，射線不變.

③根據直線的性質（3）可知射線是直的.