一道圓錐曲線題引起的研究

劉雙 湯強(qiáng)

【摘要】高考試題奇妙無(wú)窮，具有重要的研究?jī)r(jià)值.通過(guò)對(duì)一道圓錐曲線選擇題的解法、題源等的研究，發(fā)現(xiàn)日常教學(xué)有效性的提升需要做到“回歸教材、凸顯本質(zhì)、夯實(shí)基礎(chǔ)”.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線；題源；解題

一、考題演示

考題1：已知F為拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，OA·OB=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求△ABO與△AFO面積之和的最小值.

1.命題立意分析

本題是2014年高考四川卷理科類(lèi)選擇題第10題，屬于圓錐曲線類(lèi)題型.考查拋物線的幾何性質(zhì)、平面向量的數(shù)量積、基本不等式的運(yùn)用，考查考生的函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、邏輯推理等綜合能力，難度系數(shù)較大.

2.解法研究

本題求解面積的方法很多，大同小異，最終結(jié)果基本都可以轉(zhuǎn)化為均值不等式求最值.求解時(shí)需要注意以下幾個(gè)要點(diǎn)：一是處理此類(lèi)問(wèn)題的常見(jiàn)模式是設(shè)出直線方程，再聯(lián)立直線方程與拋物線方程，消元后建立一元二次方程，利用韋達(dá)定理和已知條件進(jìn)行消元；二是為使三角形的面積表達(dá)式更簡(jiǎn)單，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合選擇適當(dāng)?shù)牡缀透撸蝗抢镁挡坏仁綍r(shí)，應(yīng)注意“一正、二定、三相等”，不要漏掉任何重要步驟；四是未知量的假設(shè)方法不同可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.

3.思維推廣

求解圓錐曲線中的最值問(wèn)題，常見(jiàn)的解法有以下兩種：一是代數(shù)法，將圓錐曲線中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，即根據(jù)已知條件建立目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的特征選用有界法、均值不等式法、判別式法、配方法、函數(shù)單調(diào)性法等，求解最大、最小值問(wèn)題；二是幾何法，若題目中已知條件有明顯的幾何特征，可以結(jié)合圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)求解最值問(wèn)題.

二、題源研究

“題在書(shū)外，根在書(shū)中”是高考題的特點(diǎn)之一.仔細(xì)研讀每道高考題，均能在課本之中發(fā)現(xiàn)其“影子”.回歸教材，追根溯源，筆者將進(jìn)一步探討該考題在教材中的原型.

[原型一]（人教版A版選修2-3，P71，例6）已知拋物線C：y2=4x，直線l過(guò)定點(diǎn)P（-2，1），斜率為k，k為何值時(shí)，直線l與拋物線C：只有一個(gè)公共點(diǎn)、有兩個(gè)公共點(diǎn)、沒(méi)有公共點(diǎn)？

[原型二]（人教版A版選修2-3，P81，B組習(xí)題1）已知點(diǎn)P是橢圓16x2+25y2=1600上的一點(diǎn)，且在x軸上方，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓左、右焦點(diǎn)，lPF2的斜率為-43，求△PF1F2的面積.

教材中還有一些題目也是此考題1的題源，足見(jiàn)高考試題背景深刻公平，題目新穎靈活，關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，注重基礎(chǔ).總而言之，高考題是出自教材，又高于教材，考生應(yīng)重視對(duì)教材的研讀和總結(jié)，回歸教材，重視課本，避免題海戰(zhàn)術(shù).

三、相關(guān)考題研究

考生在擬定解題方案時(shí)，不得不思考一些問(wèn)題：“一道和此題有關(guān)的題目是什么？”、“一個(gè)和此題類(lèi)似的題目是怎樣的？”“一道更為普遍化的題目是如何的？”而這些相關(guān)題目、類(lèi)似題目、普遍化的題目就是解決問(wèn)題的輔助元素，即相關(guān)題目.以下筆者將通過(guò)相關(guān)考題對(duì)考題1進(jìn)行更進(jìn)一步的研究.

考題2：已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，直線y=2x-4與C交于A，B兩點(diǎn)，求cos∠AFB.

考題3：已知拋物線y2=2px（p>0），一條長(zhǎng)為4p的弦，其兩個(gè)端點(diǎn)在拋物線上滑動(dòng)，求此弦中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最小距離.

考題2和考題3綜合運(yùn)用了圓錐曲線與直線方程解題的常規(guī)模式和數(shù)形結(jié)合思想.作為考題1的相關(guān)考題，考題2和考題3在平時(shí)的訓(xùn)練中為考生提供了解決考題1的重要思路和方法.考題1的相關(guān)考題很多，這里就不再一一敘述.通過(guò)對(duì)相關(guān)考題的研究和討論，筆者總結(jié)出：高考題看似很平常，實(shí)際上卻蘊(yùn)意豐富，具有很廣闊的研究空間和研討價(jià)值.考生在平時(shí)的學(xué)習(xí)中應(yīng)著重提高自身的學(xué)習(xí)能力，學(xué)會(huì)一道題，掌握一類(lèi)題，善于歸納和總結(jié).通過(guò)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行歸類(lèi)處理，將數(shù)學(xué)知識(shí)和技能內(nèi)化，構(gòu)建完備的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，逐步改善自身數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

四、一點(diǎn)思考

1.回歸數(shù)學(xué)教材，培養(yǎng)知識(shí)歸納能力

通過(guò)對(duì)考題1的研究得出，高考復(fù)習(xí)要回歸基礎(chǔ)，從教材中尋找高考的蹤跡，在教材上深挖高考的脈搏，要有解題的歸納，從方法上歸納通用性質(zhì)和方法，思想上歸納解題意識(shí).如：本文中原型一與原型二就是考題1的“根”，只要把“根”牢牢掌握，解題思路就會(huì)逐漸清晰.

2.探尋輔助題目，訓(xùn)練知識(shí)遷移能力

解題的第一步是要弄清楚題目的已知數(shù)據(jù)、未知量，帶著目標(biāo)前進(jìn)，找出已知條件與未知量之間的聯(lián)系.如果解題過(guò)程中遭遇瓶頸，可以考慮探尋輔助題目，如：本文中考題2與考題3就是考題1 的輔助題目.通過(guò)對(duì)輔助題目的思考，有助于快速理清考題思路.在學(xué)習(xí)中考生應(yīng)該著重訓(xùn)練自己的知識(shí)遷移能力，融會(huì)貫通，運(yùn)用辯證思想進(jìn)行具體問(wèn)題具體分析，提高思維的靈活性.

3.推敲考題深意，提高數(shù)學(xué)解題能力

高考題蘊(yùn)意頗深，考生在做歷年高考真題時(shí)，要珍視命題人的“心血”，切記不能只是簡(jiǎn)單地知道解答過(guò)程就止步，要學(xué)會(huì)仔細(xì)推敲考題背后的深意，觸類(lèi)旁通.在解題時(shí)，要善于變通和調(diào)整思路，拓寬視野，打破界限，尋求問(wèn)題的本質(zhì).通過(guò)實(shí)踐探索，提煉出多種解題思維，激發(fā)和培養(yǎng)自身多種優(yōu)良的數(shù)學(xué)思維品質(zhì).

4.回顧問(wèn)題本質(zhì)，構(gòu)建數(shù)學(xué)思維體系

解題最重要的一步是解題回顧，通過(guò)回顧問(wèn)題本質(zhì)，考生要理清解題思路，弄明白以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）能檢驗(yàn)和論證這個(gè)結(jié)果嗎？（2）能以不同的思維方式解決這個(gè)問(wèn)題嗎？（3）還能在其他題目中運(yùn)用這個(gè)結(jié)果或這種解題思路嗎？考生要學(xué)會(huì)通過(guò)解題學(xué)解題，在實(shí)踐中獲得解題素養(yǎng)，建立良好的數(shù)學(xué)思維體系.