淺析在線性代數中的反例和反證法

張少波

【摘 要】 線性代數是理工科最為基礎的一項基本學科，學習的進程中，反例法和反證法在一定程度上可以加深學生對某些知識的理解，從而降低學生對其掌握的難度，是一種比較具有說服力的方法。

【關鍵詞】 線性代數;反例法;反證法

【中圖分類號】G64.23 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）15-000-01

線性代數在高校教育中針對理工科學生是一門必修課，學好線性代數這一門課可以說是很重要的一件事情，而本文針對線性代數中的反例和反證法進行了討論，從而通過這種方式來幫助大家對學習中遇到的某些難題進行有效的解讀，進而提高學生學習線性代數的興趣。

一、反例在線性代數中的應用

1.反例的實質

反例就是滿足某個問題的已知條件，而又不滿足該問題結論的例子，可以明顯的判斷出該問題結論不成立，也就是說，反例是用來說明某個問題結論不成立的例子。在線性代數中，結合反例可以加深對某些結論、命題的理解。

2.反例的應用舉例

線性代數中有很多的結論與中學代數所學結論不同，學生在學習過程中對這些結論的理解不是很透徹，在此結合反例可以加深學生對這些結論的理解，使線性代數的學習變得更加有趣，更能拓展學生的思維。

例1.

該結論不成立。反例：設、，我們可求得，而，顯然，，所以該結論不成立。而我們不難驗證。

例2.若、均不可逆，則也不可逆。

該結論不成立。反例：設、，顯然與均不為零，所以，、均不可逆，而，，所以可逆，所以該結論不成立。

例3.與一個矩陣相似的矩陣是不是唯一的？

不唯一。反例：設、、，容易得出、都是可逆的，并且，，于是有：

，所以與相似，

，所以與相似，

可見，與一個矩陣相似的矩陣不是唯一的。

在反例法中，要明確自己所做的反例的目的，在做反例的過程中，也可以對所學知識進行加深和鞏固，培養學生的逆向思維，激發學習興趣，從而達到更好的教學效果。

二、反證法在線性代數中的應用

1.反證法的實質

反證法是一種從相反方向證明的方法，它是先假設在已知條件下所給的結論不成立，進而從假設推導出與已知條件或假設明顯矛盾的結果，從而得出原有結論成立過程。利用反證法可以使一些結論的證明簡單易懂，在唯一性、否定性等命題中，反證法的應用尤其多見。

2.反證法的應用舉例

線性代數學習的一大難點就是定理與結論較多，而對定理與結論的證明很多學生感到很難，與反例類似，從反方向入手，利用反證法來進行證明可以說簡單易懂，從而降低了證明的難度。

例4.若方陣可逆，則它的逆矩陣是唯一的。

證明：假設的逆矩陣不唯一，即、都是的逆矩陣，且，則由逆矩陣的定義可知：，，所以：，即，與假設矛盾，所以，的逆矩陣是唯一的。

例5.設3維向量組，，線性無關，試證在每個向量上添加一個分量，得到的4維向量組，，也線性無關。

證明：假設向量組線性相關，則存在一組不全為零的數，

，，使得，將它寫成分塊形式得：，于是有，因此線性相關，這與已知條件線性無關矛盾，所以向量組線性無關。

在日常學習中，我們經常遇到很多的定理和命題的證明，而反證法可以加深我們對命題的理解。反證法在邏輯學上的合理性，決定了反證法在線性代數上的使用的合理性，在簡要說明了論證的合理性的時候，將所要表達的問題進行有力的反向證明，從而對問題進行解釋。這種解題方法有著極其獨到的見解。

三、結語

結合線性代數教學可以很明顯的體現出反例和反證法對學生理解一些比較困難的知識點是有很大幫助的。正因為反例與反證法的種種優勢，在解題中的運用它們很輕松的就可以將問題進行解答。在恰當的應用反例和反證法中，學生和教職人員都可以利用其簡便性對線性代數中的各種問題進行抽象性的解答，其在教學中的針對性較為廣泛，對培養學生的創造性思維有一定的效果。

參考文獻

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