主動強化命題在數學歸納法中的應用

杜奎

在運用數學歸納法時，有時要證明比原命題更強的命題，看起來似乎增強了證題的難度，其實不然.事實上，命題越強，相應的歸納假設也就越強，因而能有減少歸納過渡的難度，從而達到化難為易的目的.俄羅斯數學家辛欽曾說過：“在數學歸納法的證明中，假設當n=k時成立，再來證明它當n=k+1時也成立，因此，命題越強，在n=k的情況下，所給的條件也越多，而對n=k+1要證明的東西也就越多，但在許多問題中，條件越多對證明問題顯得 更為重要.”請看以下幾個例題.