不等式恒成立問題中的幾種求參方法

濮志強

不等式恒成立問題一直是高考的熱點，涉及恒成立問題中的求參變量的取值范圍更是一個難點.其中涉及一次函數、二次函數的圖像、性質，滲透著換元、化歸、數形結合、函數與方程等思想方法，有利于考查學生的綜合解題能力，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.基于此，下文試對此類問題的幾種方法做一下提煉總結.

1.構造函數法

所謂構造函數，就是構造適當的函數模型，然后利用函數的有關性質解題，轉化為函數的最值問題.這里，我們主要介紹如何通過構造一次函數、二次函數模型，并利用它們的性質來確定參數的取值范圍.

（1） 構造一次函數

例1對于滿足|p|≤2的所有實數p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范圍.

解由題意得x-1p+x2-2x+1>0對于|p|≤2恒成立，設f（p）=x-1p+x2-2x+1，則f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0，

f（2）>0.

即x2-4x+3>0，

x2-1>0，

解得：x>3或x<1，

x>1或x<-1.

∴實數x的取值范圍為x<-1或x>3.

注：本題對于一切p≤2不等式恒成立，因此應視p為主元，視x為參數，把不等式左邊變成關于p的一次函數型.

（2） 構造二次函數

例2對于θ∈0，π2，cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，求實數m的范圍.

解 原不等式變形為：-sin2θ+2msinθ-2m-1<0，

即sin2θ-2msinθ+2m+1>0.

令sinθ=t，t∈0，1，

∴t2-2mt+2m+1>0.

令ft=t2-2mt+2m+1，

∴ 題意為ft>0在t∈0，1上恒成立.

∴--2m2×1<0，f0=2m+1>0

或0≤--2m2×1≤1，Δ=-2m2-42m+1<0

或--2m2×1>1，g1=1-2m+2m+1>0.

解得：-121.

∴m>-12.

即m的取值范圍為：-12，+∞.

一般地，利用構造函數法來確定不等式f（x，λ）≥0，（x∈D，λ為實參數）恒成立中參數取值范圍的基本步驟：

（1） 構造函數，即化為f（x）≥0（或f（x）≤0）的形式；

（2） 求f（x）在x∈D時的最大（或最小）值，其中f（x）是一個含有參量的函數，求得的最值是一個含有參量的表達式；

（3） 解不等式f（x）min≥0（或f（x）max≤0）得λ的取值范圍.

用此種方法適用于易構造函數、含參函數的最值能求出的題型.

2.分離變量法

所謂分離變量法也就是將參量與變量分離于表達式的兩邊，然后根據變量的取值范圍情況決定參量的范圍.這種方法可避免分類討論的麻煩，使問題得到簡單明快地解決.

例3已知當x∈R時，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立，求實數a的取值范圍.

解原不等式即：4sinx+cos2x<5a-4-a+5.

令 f（x）=4sinx+cos2x，要使上式恒成立，只需f（x）max<5a-4-a+5.

∵f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2sinx-12+3≤3，

∴5a-4-a+5>3，即5a-4>a+2，

上式等價于a-2≥2，

5a-4≥0，

5a-4>（a-2）2，

或a-2<0，

5a-4≥0，

解得：45≤a<8.

一般地，利用分離變量法來確定不等式恒成立中參數取值范圍的基本步驟：（1）將參數與變量分離；（2）求函數在定義域上的最大（或最小）值；（3）解不等式，即得參量的取值范圍.這種方法首先要看能否分離，其次看分離后能否求最值，另外要注意分離變量并不一定是將變量單獨分離出來，有時候可以分離出僅含有參量的代數式.

3.判別式法

例4對于函數f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，則稱x0為f（x）的不動點，已知函數f（x）=ax2+b+1x+b-1，（a≠0）.若對任意實數b，函數f（x）恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍.

解由題意知，方程ax2+b+1x+b-1=x即ax2+bx+b-1=0恒有兩個相異的實數根，即Δ=b2-4ab+4a>0對于b∈R恒成立.

于是Δ=-4a2-16a<0，解得：0

判別式法主要用于解決與一元二次不等式有關或可以轉化為一元二次不等式在R上的恒成立問題.

4.數形結合法

例5設f（x）=x2-2ax+2，當x∈[-1，+∞）時，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范圍.

解設F（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a.

（ⅰ）當Δ=4（a-1）（a+2）<0即-2

（ⅱ）當Δ=4（a-1）（a+2）≥0即a≤-2或a≥1時，由圖可得以下充要條件：

Δ≥0，f（-1）≥0，

--2a[]2≤-1，

即（a-1）（a+2）≥0，

a+3≥0，

a≤-1.

解得：-3≤a≤-2.

綜合可得a的取值范圍為[-3，1].

例6當x∈1，2時，不等式x-12

解設y1=x-12，y2=logax，則要使得不等式y11，并且必須也只需當x=2時y2的函數值大于等于y1的函數值.

故a>1loga2≤1，解得：1

數形結合是解決函數問題的常見思想方法，故而我們可以將不等式問題轉化為函數問題來處理，通過圖像來求解.

確定恒成立不等式中參數的取值范圍需靈活應用函數與不等式的基礎知識，并時常要在兩者間進行合理的交匯.以上幾種確定參量范圍的方法各有其適用的條件，解題時應根據題設條件（主要是不等式的特征）選用恰當、有效的方法.