矩陣相似對角化的一個充分條件

陳飛翔

【摘要】介紹了一種矩陣可相似對角化的充分條件——二次多項式法.

【關(guān)鍵詞】相似對角化；秩；基礎(chǔ)解系

矩陣的相似對角化，是線性代數(shù)中一個很重要的內(nèi)容，本文擬對這一問題給出一個判別法.

1.幾個基本概念和基本定理

定義1設(shè)A，B都是n階方陣，若有可逆矩陣P，使得P-1AP=B，則稱B是A的相似矩陣.

定理1n階方陣A與對角矩陣相似（即A能對角化）的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量.

定理2設(shè)Am×nBn×l=0，則R（A）+R（B）≤n.

定理3R（A+B）≤R（A）+R（B）.

2.主要結(jié)論

定理設(shè)二次方程f（x）=x2+ax+b=0有兩個不等的實根，A是n階方陣且f（A）=0，則方陣A可相似對角化.

分析：定理的條件是A滿足一個二次方程，且該二次方程有兩個不等的實根.為了證明A可相似對角化，可證A有n個線性無關(guān)的特征向量.

證明：若矩陣A是數(shù)量矩陣，則命題顯然成立.當A不是數(shù)量矩陣時，方程x2+ax+b=0有兩個不等的實根，則可將該方程分解x2+ax+b=（x-α）（x-β），其中α≠β，由于f（A）=0，即（A-αE）（A-βE）=0，α和β是方陣A的兩個不等的特征值，由定理2，R（A-αE）+R（A-βE）≤n.又由定理3，R（A-αE）+R（A-βE）=R（A-αE）+R（-A+βE）≥R（（β-α）E）=n，于是

R（A-αE）+R（A-βE）=n.設(shè)R（A-αE）=r，則R（A-βE）=n-r，于是對應(yīng)特征值λ=α的線性無關(guān)的特征向量有n-r個，設(shè)為ξ1，ξ2，…，ξn-r，對應(yīng)特征值λ=β的線性無關(guān)的特征向量有r個，設(shè)為η1，η2，…，ηr，因?qū)?yīng)于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的，所以上面兩組向量合起來得到的向量組η1，η2，…，ηr，ξ1，ξ2，…，ξn-r線性無關(guān)，即A有n個線性無關(guān)的特征向量，完成了證明.

3.定理的應(yīng)用

例1設(shè)n階方陣A是冪等矩陣，即滿足A2=A，證明：A可相似于一個對角陣.

證明因為矩陣方程A2-A=0，且對應(yīng)的二次多項式x2-x=0有兩個不等的實根，于是由本文的結(jié)論知，A可相似對角化.

例2設(shè)方陣A滿足A2+2A-3E=0，證明：A可相似于一個對角陣.

證明二次方程x2+2x-3=0有兩個不等的實根，結(jié)論成立.

【參考文獻】

同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2007.