有理系數多項式在Q上的可約性研究
2015-05-30 02:18:03舒偉前
數學學習與研究 2015年15期
舒偉前
【摘要】有理系數多項式在有理數域Q上的可約性判別是一個比較復雜的問題.本文從有理系數多項式的次數n出發，利用Eisenstein判別法及其推廣形式，例談了有理系數多項式在Q上的可約性問題.
【關鍵詞】有理數域多項式；Eisenstein判別法；素數；可約性
一、引言
多項式是大學線性代數課程中不可缺少的重要內容之一，有理系數多項式在有理數域Q上的可約性問題更是多項式這部分的重點，也是學生學習的難點.原因其實很簡單： 在有理數域Q上，一方面存在任意次數的不可約多項式，另一方面沒有一個統一有效的方法來研究Q上有理系數多項式的可約性.本文將以Q上有理系數多項式的次數為主線，借助Eisenstein判別法及其推廣形式，針對不同的情形，通過若干具體的例子，來闡述Q上有理系數多項式的可約性問題.
有理數域上次數大于等于1的多項式f（x）稱為Q上的不可約多項式，如果它不能表示成有理數域Q上的兩個次數比f（x）的次數低的多項式的乘積.否則，則稱多項式f（x）在有理數域上可約.眾所周知，對有理系數多項式f（x），如果其系數不全是整數，那么以f（x）的系數的分母的一個公倍數k乘以f（x），就得到一個整系數多項式f（x）.顯然，多項式f（x）與f（x）在Q上同時可約或同時不可約.因此，我們只需討論整系數多項式在Q上的可約性問題.
