關于IIR數字濾波器的設計

李凈 楊振平

【摘要】濾波器在實際信號處理中是非常重要的。任何被檢測的信號都含有噪聲，而濾波器是去除這種噪聲的。數字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數字信號處理裝置。數字信號的輸入與輸出是一個線性時不變的離散系統。它是利用離散系統特性對輸入信號進行加工處理，讓有用信號通過。數字濾波器和模擬濾波器都是用來濾波的，根據頻率響應特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型；數字濾波器按單位脈沖響應的性質可分為無限長單位脈沖響應濾波器IIR和有限長單位脈沖響應濾波器FIR兩種。本文主要介紹IIR數字濾波器的設計。

【關鍵詞】數字濾波器 IIR 沖激響應不變法 雙線性變換法

一、引言：

隨著信息學科的快速發展，數字信號處理技術正在飛速發展，并且滲透到其它技術中。數字濾波技術是數字信號分析、處理技術的重要分支。它對信號安全可靠和有效靈活的傳輸是至關重要的。

二、IIR數字濾波器的設計方法

一個數字濾波器可以用系統函數表示為：

由這樣的系統函數可以得到表示系統輸入與輸出關系的常系數線性差分方程為：

由此可知數字濾波器的功能就是把輸入序列x（n）通過一定的運算變換成輸出序列y（n）。不同的處理方法決定了濾波器實現結構的不同。無限沖激響應濾波器的單位抽樣響應h（n）是無限長的，其差分方程是遞歸型的，在結構上存在著輸出信號到輸入信號的反饋，所以在z平面的有限區間（0<︱z︱<∞）有極點存在。

目前，IIR數字濾波器的設計最通用的方法是借助于模擬濾波器的設計方法。模擬濾波器設計已經相當成熟了，給數字濾波器的設計帶來了很大的方便。

IIR數字濾波器的設計步驟如下（間接法）：

（1） 按任務需要將給出的數字濾波器的性能指標轉換為模擬濾波器的技術指標；

（2） 根據轉換后的性能指標設計模擬低通濾波器H（s）；

（3） 再按照一定的規則將H（s）轉換為H（z）。

（4） 若所設計的數字濾波器是低通的，那么上述設計工作就可以結束了，若所設計的是高通，帶通或帶阻濾波器，那么需要把它們的性能指標轉化為低通濾波器的技術指標，然后按照步驟（2）設計出模擬低通濾波器H（s），在利用沖激響應不變法或雙線性變換法將H（s）轉換為H（z）。

間接法s – z映射的方法有沖激響應不變法，階躍響應不變法和雙線性變換法三種方法。下面分別討論沖激響應不變法和雙線性變換法。

采用沖激響應不變法設計數字濾波器就是使單位樣值響應h（n）與相應的模擬濾波器的沖激響應 在抽樣點的量值相等，即 其中T為抽樣周期。

因此用沖激響應不變法設計IIR數字濾波器就得首先根據設計要求來確定相應的模擬濾波器的傳遞函數 ，經過拉普拉斯的反變換求出沖激響應 后，對它進行抽樣得到的 等于數字濾波器的單位樣值響應h（n），在經過z變換得到的H（z）就是數字濾波器的傳遞函數。如果模擬濾波器的 的分母階次大于分子的階次，則可將 展成部分分式形式

那么經過拉普拉斯反變換求出的模擬濾波器的沖激響應 則為

相應的數字濾波器的單位樣值響應為

對h（n）進行z變換，得到數字濾波器的系統函數

由上述推導公式可知，只要模擬濾波器的傳遞函數 的N個極點 都是單極點，當已經求出各個極點的值 和部分分式的系數 后，則可以從模擬濾波器的傳遞函數的表達式（ ）直接得到數字濾波器的傳遞函數H（z）的表達式（ ）。

雙線性變換法是使數字濾波器的頻率響應與模擬濾波器的頻率響應相似的一種變換，它將s平面整個變換到一個中介的s1平面的一個水平窄帶 Ω：-π/T到

π/T之中，然后經過 的變換，將s1平面的映射到z平面。這樣s平面就與s平面一 一對應，消除了多值變換性，避免出現混疊現象。

S平面到z平面的變換可利用

令 jΩ=s， jΩ1=s1得：

從s1平面到z平面的變換即 ，代入上式，得到：

為使模擬濾波器的某一頻率與數字濾波器的任一頻率有對應關系，可引入待定系數c，則Ω=c*tan（Ω1T/2）由此得到

這種s平面與z平面之間的單值映射關系就是雙線性變換，模擬濾波器的數字化只須用上述方法置換。

沖激響應不變法與雙線性變換法的比較分析：

沖激響應不變法的模擬頻率到數字頻率的轉換是線性的但是它在一定條件下會出現混疊失真，雙線性變換法雖然可以克服多值映射的關系和消除頻率混疊的現象，但是它是非線性的，在高頻處有較大的失真。所以沖激響應不變法的數字化和雙線性變換法的數字化要根據實際情況運用。

三、結束語：

本文主要介紹了IIR濾波器的性能指標，設計方法和特點。通常IIR濾波器的設計過程如下：首先根據濾波器的參數要求設計對應的濾波器（如巴特沃斯濾波器、切比雪夫濾波器等等），然后通過映射（如沖激響應不變法、雙線性變換法等等）將模擬濾波器變換為數字濾波器，從而確定IIR濾波器的參數。IIR數字濾波器的最大缺點在于反饋的穩定性不能得到保證。

【參考文獻】

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