逆向思維在解題中的重要性

宋應(yīng)周

【摘要】在分析解題的過程中逆向思考，往往會收到化繁為簡、化難為易的效果。本文將利用逆向思維中分析法來解決一些常規(guī)思維無法完成的數(shù)學(xué)問題。

【關(guān)鍵詞】逆向思維 分析法

逆向思維是分析問題時，從問題的反面入手尋求解題方法的一種思維模式。對于某些數(shù)學(xué)問題，用常規(guī)方法解題比較麻煩時，若能打破常規(guī)，采用逆向思維思考問題往往會收到化繁為簡，化難為易的效果。因此用逆向思維是解決數(shù)學(xué)問題的一種有效方法。

逆向思維大致分為幾種：數(shù)學(xué)定義的逆用；數(shù)學(xué)公式的逆用；分析法—執(zhí)果索因；反證法；結(jié)論代入與逆向排除法。這里我主要探討一下分析法的應(yīng)用

一、分析法的定義

分析法是從問題的結(jié)論出發(fā)尋求其成立的充分條件的證明方法，即先假定所求的結(jié)果成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以斷定原命題成立，在數(shù)學(xué)方法中特指由結(jié)果追溯到產(chǎn)生這一結(jié)果的原因的思維方法，我們稱之為“執(zhí)果索因”方法。

要證明命題“若A成立，則D成立”思考是可以由結(jié)論D出發(fā)向條件A回溯，先假定結(jié)論D成立，尋求D成立的原因，然后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件逐步進(jìn)行下去，最后達(dá)到條件A，從而證明了命題。

例：如圖 在等腰三角形ABC的兩腰AB及AC上分別取兩點D和E使AD=AE，F(xiàn)為BE與CD的交點，證明：FB=FC

分析：本題要證結(jié)論成立FB=FC

只需

只需

只需

而 和 中，

有 AB=AC，AD=AF， 為公共角 于是命題得證

二、分析法的種類：

在我們用分析法證明不同的題目時，可以用不同的類型來證明，其中這些類型有：追溯型，構(gòu)造型，可逆型，混合型等。

追溯型分析法

追溯型分析法是將研究的對象看成一個整體，假設(shè)它存在或成立的前提下，將它分解成幾部分，再研究各個部分成立的原因或條件，從而得出整體事物存在的原因或原命題成立的條件

例：設(shè)x， y ， z 為互不相等的正數(shù)，求證：

分析：先將要證明的不等式 看成一個整體，并且假設(shè)它成立，然后通過變形，將它分解成一些適當(dāng)?shù)牟糠?在通過適當(dāng)?shù)慕M合，將不等式左端的各個部分進(jìn)行結(jié)合而組成新的部分 再分析新的部分 ，（ ），（ ），由于 ， ， ， 因而根據(jù)題設(shè)條件，這三個部分顯然成立，所以原不等式成立。

追溯型分析法的關(guān)鍵是如何將整體分解的各個部分從先組合，并找出新等式中成立的條件，即部分條件，從部分成立，可以推出整體成立，即“以點代面”。

2.構(gòu)造型分析法

如果在從結(jié)論向已知條件追溯的過程中，在尋找新的充分條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化的時候，遇到了困難，這時需要采取相應(yīng)的構(gòu)造措施，在構(gòu)造時要找相關(guān)的已知條件和相應(yīng)的定理或公理，從而追溯到原命題的已知條件（或稍作變形處理）。

例：已知 a+b+c， b+c-a， c+a-b， a+b-c 組成公比為q的等比數(shù)列，求證：q3+q2+q=1

分析：要證 q3+q2+q=1

只需 q3+q2+q+1=2

只需證 A（q3+q2+q+1）=2A （其中 A為首項）

只需 （顯然q≠1）

即 需證所給數(shù)列之和等于2A=2（a+b+c）

而 （a+b+c）+（b+c-a）+（c+a-b）+（a+b-c）=2（a+b+c）成立。

構(gòu)造是一種重要的數(shù)學(xué)思想，它是創(chuàng)造能力較高的表現(xiàn)形式，沒有固定的模式可循，應(yīng)用構(gòu)造法解題需要敏銳的觀察、豐富的聯(lián)系、靈活的構(gòu)思、及創(chuàng)造性的思維能力，在數(shù)學(xué)活動中教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目的特征類比相關(guān)知識，通過構(gòu)造相關(guān)數(shù)學(xué)模型以達(dá)到解題的目的。

3. 混合型分析法

混合型分析法是從命題的充分性出發(fā)，從整體事物中成立的某一部分出發(fā)，尋找其他部分成立的條件到至中間的結(jié)果，再從命題的必要性出發(fā)，用追溯型分析法追溯至同一中間結(jié)果，進(jìn)而獲得全過程的思維方法。

例：已知三角形的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：三角形的三邊滿足 可得

從而有

所以 即

由此 我們可以得到分析法證明的過程

要使 成立

只需 成立

只需 只需

由A、B、C成等差數(shù)列，可以得 從而 所以原命題成立。

分析法是辨證的思維方法，它是通過對事物內(nèi)在矛盾進(jìn)行分析，分析矛盾的主要方面和次要方面，它在不同發(fā)展階段有不同的特點，從分析過程中得出規(guī)律，從而得出解決這種矛盾的方法。

分析法對于每個人在探求數(shù)學(xué)解題思維過程中是極為有效的，同時，它還鍛煉、培養(yǎng)和提高學(xué)生的邏輯思維能力，由于分析法重在探索和發(fā)現(xiàn)在中學(xué)數(shù)學(xué)中，每位教師都應(yīng)該重視分析法在解題中的重要性，使每個學(xué)生養(yǎng)成辨證、嚴(yán)密思考的好習(xí)慣，并提高他們的分析問題和解決問題的能力。

本文在這里主要講述了逆向思維中分析法在解題中的應(yīng)用，關(guān)于其它幾種方法，在數(shù)學(xué)應(yīng)用中也相當(dāng)廣泛，我在這里不再介紹，讀者若有興趣可與我探討。

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分析：從已知出發(fā) 因為△ABC的內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，由此可得

于是由余弦定理可得

再從問題的必要條件出發(fā)