逆向思維在解題中的重要性

宋應周

【摘要】在分析解題的過程中逆向思考，往往會收到化繁為簡、化難為易的效果。本文將利用逆向思維中分析法來解決一些常規思維無法完成的數學問題。

【關鍵詞】逆向思維 分析法

逆向思維是分析問題時，從問題的反面入手尋求解題方法的一種思維模式。對于某些數學問題，用常規方法解題比較麻煩時，若能打破常規，采用逆向思維思考問題往往會收到化繁為簡，化難為易的效果。因此用逆向思維是解決數學問題的一種有效方法。

逆向思維大致分為幾種：數學定義的逆用；數學公式的逆用；分析法—執果索因；反證法；結論代入與逆向排除法。這里我主要探討一下分析法的應用

一、分析法的定義

分析法是從問題的結論出發尋求其成立的充分條件的證明方法，即先假定所求的結果成立，分析使這個命題成立的條件，把證明這個命題轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都以具備，那么就可以斷定原命題成立，在數學方法中特指由結果追溯到產生這一結果的原因的思維方法，我們稱之為“執果索因”方法。

要證明命題“若A成立，則D成立”思考是可以由結論D出發向條件A回溯，先假定結論D成立，尋求D成立的原因，然后就各個原因分別研究，找出它們成立的條件逐步進行下去，最后達到條件A，從而證明了命題。

例：如圖 在等腰三角形ABC的兩腰AB及AC上分別取兩點D和E使AD=AE，F為BE與CD的交點，證明：FB=FC

分析：本題要證結論成立FB=FC

只需

只需

只需

而 和 中，

有 AB=AC，AD=AF， 為公共角 于是命題得證

二、分析法的種類：

在我們用分析法證明不同的題目時，可以用不同的類型來證明，其中這些類型有：追溯型，構造型，可逆型，混合型等。

追溯型分析法

追溯型分析法是將研究的對象看成一個整體，假設它存在或成立的前提下，將它分解成幾部分，再研究各個部分成立的原因或條件，從而得出整體事物存在的原因或原命題成立的條件

例：設x， y ， z 為互不相等的正數，求證：

分析：先將要證明的不等式 看成一個整體，并且假設它成立，然后通過變形，將它分解成一些適當的部分 在通過適當的組合，將不等式左端的各個部分進行結合而組成新的部分 再分析新的部分 ，（ ），（ ），由于 ， ， ， 因而根據題設條件，這三個部分顯然成立，所以原不等式成立。

追溯型分析法的關鍵是如何將整體分解的各個部分從先組合，并找出新等式中成立的條件，即部分條件，從部分成立，可以推出整體成立，即“以點代面”。

2.構造型分析法

如果在從結論向已知條件追溯的過程中，在尋找新的充分條件進行轉化的時候，遇到了困難，這時需要采取相應的構造措施，在構造時要找相關的已知條件和相應的定理或公理，從而追溯到原命題的已知條件（或稍作變形處理）。

例：已知 a+b+c， b+c-a， c+a-b， a+b-c 組成公比為q的等比數列，求證：q3+q2+q=1

分析：要證 q3+q2+q=1

只需 q3+q2+q+1=2

只需證 A（q3+q2+q+1）=2A （其中 A為首項）

只需 （顯然q≠1）

即 需證所給數列之和等于2A=2（a+b+c）

而 （a+b+c）+（b+c-a）+（c+a-b）+（a+b-c）=2（a+b+c）成立。

構造是一種重要的數學思想，它是創造能力較高的表現形式，沒有固定的模式可循，應用構造法解題需要敏銳的觀察、豐富的聯系、靈活的構思、及創造性的思維能力，在數學活動中教師應注意引導學生根據題目的特征類比相關知識，通過構造相關數學模型以達到解題的目的。

3. 混合型分析法

混合型分析法是從命題的充分性出發，從整體事物中成立的某一部分出發，尋找其他部分成立的條件到至中間的結果，再從命題的必要性出發，用追溯型分析法追溯至同一中間結果，進而獲得全過程的思維方法。

例：已知三角形的內角A、B、C成等差數列，求證：三角形的三邊滿足 可得

從而有

所以 即

由此 我們可以得到分析法證明的過程

要使 成立

只需 成立

只需 只需

由A、B、C成等差數列，可以得 從而 所以原命題成立。

分析法是辨證的思維方法，它是通過對事物內在矛盾進行分析，分析矛盾的主要方面和次要方面，它在不同發展階段有不同的特點，從分析過程中得出規律，從而得出解決這種矛盾的方法。

分析法對于每個人在探求數學解題思維過程中是極為有效的，同時，它還鍛煉、培養和提高學生的邏輯思維能力，由于分析法重在探索和發現在中學數學中，每位教師都應該重視分析法在解題中的重要性，使每個學生養成辨證、嚴密思考的好習慣，并提高他們的分析問題和解決問題的能力。

本文在這里主要講述了逆向思維中分析法在解題中的應用，關于其它幾種方法，在數學應用中也相當廣泛，我在這里不再介紹，讀者若有興趣可與我探討。

【參考文獻】

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分析：從已知出發 因為△ABC的內角A、B、C成等差數列，由此可得

于是由余弦定理可得

再從問題的必要條件出發