微分中值定理中命題結論只含一個中值的三種證明題型

劉立漢

摘 要：本文分析了微分中值定理命題結論只含一個中值的三種證明題型，總結了相對比較實用的思路及方法，從而為以后相關的證明提供了一個明確的方向或技巧.

關鍵詞：微分中值定理；一個中值；證明.

【中圖分類號】O172

微分中值定理是微分學的基本定理，包括羅爾（Rolle）定理（見[1]，[2]，[3]，[4]）、拉格朗日（Lagrange）中值定理（見[1]，[2]，[3]，[4]）和柯西（Cauchy）中值定理（見[1]，[2]，[3]，[4]），它是溝通函數與其導函數之間的橋梁，在數學分析和高等數學等數學課程中有著廣泛的應用.

一、所證命題形如

例1（見[5]，[6]） 設函數 在閉區間[0， 3]上連續，在開區間（0， 3）內可導.又 ， ，證明：至少存在一個 ，使得 .

證明 因為函數 在閉區間[0， 3]上連續，于是由最值定理可知：函數 在閉區間[0， 3]上存在最大值 與最小值 ，從而 ，根據題意 ，于是 ，又由介值定理可知：至少存在一點 ，使得 ；又根據題意 ，于是 ；再由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 .

例2（見[5]，[6]） 設函數 在閉區間[a， b]上連續，在開區間（a， b）內二階可導，連接點 的直線與 相交于點 ，證明：至少存在一個 ，使得 .

證明 根據題意函數 在閉區間[a， b]上連續，在開區間（a， b）內二階可導，于是由拉格朗日中值定理可知：至少存在一個 ，使得 ；又根據題意 、 、 三點位于同一直線上，于是 ；再根據題意函數 在開區間（a， b）內二階可導，由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 .

二、所證命題中函數導數差一階

例3（見[5]，[6]） 若函數 在閉區間[0， 1]上連續，在開區間（0， 1）內可導， ，證明：至少存在一個 ，使得 .

分析

證明 構造函數 ，根據題意 ，于是 ，由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 ；又由 ，于是 ，即 .

例4（見[5]，[6]） 若函數 在閉區間[0， 1]上連續，在開區間（0， 1）內二階可導， ，證明：至少存在一個 ，使得 .

分析

證明 構造函數 ，于是 ；又根據題意 在閉區間[0， 1]上連續，在開區間（0， 1）內二階可導， ，由羅爾定理可知：至少存在一點 ，使得 ，即 ，從而 ，再由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 ，又由 ，于是 ，即 .

三、所證命題中函數導數差二階及以上

例5（見[5]，[6]） 若函數 在閉區間[0， 1]上連續，在開區間（0， 1）內二階可導， ， ，證明：至少存在一個 ，使得 .

證明 根據題意 在閉區間[0， 1]上連續， ， ，由零點定理可知：至少存在一點 ，使得 ；先構造函數 ，于是 ，由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 ，又由 ，于是 ；再構造函數 ，于是 ，再由羅爾定理可知：至少存在一個 ，使得 ，又由

，即 .

參考文獻

[1] 歐陽光中， 朱學炎， 金福臨， 陳傳璋， 數學分析（第三版， 上冊）， 北京：高等教育出版社， 2006.

[2] 歐陽光中， 朱學炎， 金福臨， 陳傳璋， 數學分析（第三版， 下冊）， 北京：高等教育出版社， 2006.

[3] 同濟大學數學系， 高等數學（第六版， 上冊）， 北京：高等教育出版社， 2007.

[4] 同濟大學數學系， 高等數學（第六版， 下冊）， 北京：高等教育出版社， 2007.

[5] 湯家鳳， 高等數學輔導講義， 北京：中國原子能出版社， 2013.

[6] 錢吉林， 數學分析題解精粹， 武漢：崇文輸局， 2009.