數形結合在數學中的重要應用

高艷軍

摘要：數學學習不單純是數的計算與形的研究，其中貫穿始終的是數學思想和數學方法.在數學里所接觸到的一些思想方法中，數形結合的思想方法無疑是比較重要的一種，著名思想家華羅庚指出：“數”與“形”是數學中最本質、最古老的兩樣東西，它們既分別發展著，同時又互相滲透、互相啟發，共同推動著數學科學的向前發展.

關鍵詞：數形結合；幾何圖形；數軸；方程；乘法法則

【分類號】G633.6

所謂數形結合，其實質是將抽象的數學語言與直觀圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀.數形結合主要有兩方面：其一，從形到數，揭示形中數的本質，數學的發展使許多幾何問題不再是單純的圖形研究，人們在透過形的外表觸及其內在的數量特征，探索由形到數的聯系與規律；其二，由數到形，利用形的直觀，加深對概念的理解記憶，開拓解題思路.形與數互相比較有著直觀上的優勢.對于學生相對于抽象思維，普遍更喜歡形象思維，對圖形的記憶也總強于對文字、數式的記憶，所以老師在講述有關數學知識時，都盡可能用數形結合、形數對照的方法，使學生對所學知識有更深刻的了解.

在小學學習中，用的最多的是前者，而且在應用題的分析求解中，通常是將數量關系轉化成線段圖.然而，這并不是唯一的方式.實際上，在不同的問題中，可將數量關系轉化為不同的圖形.其中有一個原則：能把數量關系最清晰、最直接地顯示出來的圖形，是我們最佳的選擇.例如下面這個例題

一色糖果平均分給三個小朋友，如果每人吃掉4塊，那么三人剩下的糖塊數之和恰好是原糖果數的1/3，問原糖果有多少塊？

分析與解答 當然上面的問題用方程來解決或許比較簡單，但是對于一個小學生來說方程也許對他們太抽象了，難于理解，所以這里我們用圖形來解決這個問題，我們希望選擇的圖形能夠一目了然地看出“三人剩下的糖果之和恰好是糖塊數的1/3”，就是說，能把“三個剩下的糖塊數之和”在圖形中連成一片，并且能夠直接看出它與原糖果數之間的關系，為此，我們畫一個大圓，并且大圓的面積表示原糖塊數，把大圓三等分，每份即表示每位小朋友分得的糖塊數，

在大圓中再畫一個小同心圓（小圓的半徑約等于大

圓半徑的0.6），用小同心圓的面積表示三人剩下的

糖塊的之和，于是圓環（陰影部分）的面積即表示三

人吃掉的糖塊數之和，如圖所示：這樣一來數量關系就

完全明了清晰了.

由此可見，在我們剛一接觸數學時，數形結合思想已扎根于我們的腦海中，給我們每個人留下了深刻的印象，下面我們就數形結合思想在數學中的幾點重要應用做一下歸納.

一 、從數軸上來看數形結合的重要性

步入小學六年級，我們要接觸一種新形式的數——“負數”，為了使學生易于理解什么是負數以及負數與我們以前所學的數的區別.就引進了數軸，即它是一條規定了原點、正方向和單位長度的直線，有了數軸，負數、相反數以及數的絕對值都可以通過數軸來描述出來，看下面的例子

例1 若 且 試用

分析 由已知條件直接從“數”的關系比較很抽象，比較大小有一定困難；若由已知條件借助于“形”（數軸）來解決，則較為方便.

解 由條件不難知道 ，并結合相反數的意義，依題意將 在數軸上的大致位置表示

如圖所示： .

例2[1] 觀察數軸

（1）求適合 的整數？它們的和是多少？

（2）求適合 的所有整數x.

解 （1）根據絕對值的意義整數x滿足 表示到原點的距離小于5的所有整數點，在數軸上作圖

易知滿足 的所有整數為±4，±3，±2，±1，0這九個數，它們的和是0

解 （2）根據絕對值的意義 表示數軸上對應x的點到對應1的點的距離，那么求 的整數x即求數軸上到表示1的點的距離大于1小于4的所有整數點，作出數軸圖.

∴所有整數x為-1，-2，3

以上幾個例題主要建立在對相反數、絕對值意義的理解，利用數軸，使用數形結合從而使問題變得直觀，進而易于解決.其數形結合思想是隱含在習題的解決過程中的，平時對問題及過程多琢磨，多挖掘，認真提煉，對于學好用好數學思想將是十分有價值和十分有意義的.

二、多項式乘法法則的圖示使學生對法則易懂易記

對于單項式乘以多項式、多項式乘以多項式的法則在介紹了代數推導法則后，都給出了幾何圖示，這種數形結合的表示方法，使學生易于接受，容易理解，便于記憶.下面以多項式的乘法為例加以說明.

例3[2] 求 ，第一次見到兩個多項式相乘往往無從下手，可是通過以下我們建立幾何圖形，就可以使同學們輕松的得到問題的答案，如圖所示

分析與解答：用S表示右圖中改造后綠化帶

的面積，則 ，這是利用

了長方形的面積公式. 如果分別求出每

個小綠化帶的面積同樣也可以得到改造

后綠化帶的面積即：

.由此我們得到結論：

，由此可見數形結合能幫助學生在和諧、輕松的氛圍中，不知不覺地完成對新知識的認識過程.

綜上所述，我們很容易的就會得到用數形結合法去解決一些問題比較直觀、形象，而且內容易于理解和記憶.所以我們說數形結合是一種極富數學特點的信息轉換，關于數形結合，華羅庚教授評價說：

數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛；

數無形時少直覺，形少數時難入微；

數形結合百般好，隔離分家萬事休；

切莫忘，幾何代數流一體，永遠聯系切莫分離.

由此可見，數與形之間有著多么重要的聯系，數形結合作為一種重要的思想方法把幾何、代數融為一體，所以，在今后的學習中，我們要牢牢地掌握住這種方法，用“數”的準確性澄清“形”的模糊，用“形”的直觀啟迪“數”的計算，抓住數形轉化的策略，溝通知識聯系，激發學生學習興趣，提高思維能力.

參考文獻

[1] 中國數學會.數學通報.北京師范大學出版社[J].2004，（8）：19-20.

[2] 中國數學會.數學通報.北京師范大學出版社[J].2006，（8）：28-29.