基于數學三個世界的數學概念高效教學

吳 華，崔艷姣

（1．遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029；2．遼寧師范大學 教師教育研究中心，遼寧 大連 116029）

基于數學三個世界的數學概念高效教學

吳 華1，崔艷姣2

（1．遼寧師范大學 數學學院，遼寧 大連 116029；2．遼寧師范大學 教師教育研究中心，遼寧 大連 116029）

數學三個世界包括具體化世界、過程概念化世界和形式化世界3個認知發展方式，數學三個世界理論反映了人類學習數學的認知發展過程．并將數學分為3個發展階段：實用數學，理論數學，形式數學．根據數學三個世界的認知發展過程，從概念—具體化、符號—過程概念化、公理—形式化3方面探索基于數學三個世界理論的數學概念高效教學．

數學三個世界；認知發展；數學概念；高效教學

英國華威大學教授韜爾（Tall）2004年以認知主義、建構主義、新皮亞杰主義和認知科學等理論為基礎提出了數學三個世界理論．數學三個世界理論下的數學教學著眼于學生的認知發展過程，根據學生的年齡特點，考慮學生原有的經驗能力組織教學，促進學生對知識的內化過程．這里主要介紹韜爾近年來關于數學三個世界的研究成果，以及在數學三個世界理論支持下的數學概念高效教學．

1 數學三個世界理論

韜爾嘗試了解從兒童到數學家認知發展的基本特征，包括怎樣、為什么不同個體以不同的方式進行數學思考？他發現存在3個明顯的方式：

（1）現實世界中個體的感官知覺和自然活動，個體對這些知覺和活動進行思考．

（2）算術、代數和一般解析形式中符號的使用，個體通過計算和操作得到答案．

（3）數學的形式公理世界，利用量化集合論命題中的公理和定義進行邏輯證明．

隨著不斷地探索研究，這些方式已經具體成為一種理論：數學三個世界．不同的世界有不同的操作方式，判斷三個世界的有效性和真實性有不同標準．這里數學三個世界使用的“界”不是指范圍，是指不同的思維發展方式，它們的定義和特征如下[1～4]：

1.1 感知與活動的具體化世界

具體化世界是對客觀世界知覺和活動的反思，以對世界的感知為基礎．由對外部世界和精神世界的感知和認識組成，通過反思和使用日益豐富的語言，專注于感官體驗，形成對概念的理解．在這個世界中數學學習的對象是具體的、形象的、可見的，稱為“概念——具體化世界”，簡稱“具體化世界”．

1.2 符號的過程概念化世界

過程概念化世界是算法、代數及微積分等學科中估計和運算的符號世界，開始于概念概述（如數數），通過符號運用實現從操縱數學過程到數學思考的有效轉換．算術中的符號（如2+3）有雙重內涵：過程（加法）和概念（和），韜爾從“process”（過程）和“concept”（概念）中各取一部分創造了一個新詞“precept”（過程性概念），因此，將第二個世界稱為“符號——過程概念化世界”，簡稱“過程概念化世界”．

1.3 定義和證明的形式化世界

形式化世界以對象性質為基礎，根據形式化定義利用公理建立數學體系（如群、域、向量空間、拓撲空間等），這個世界稱為“公理——形式化世界”，簡稱“形式化世界”．

2 數學三個世界的認知發展過程

數學三個世界的認知發展順序：首先具體化世界來源于對自然的感知和活動．然后，過程概念化世界開始于具體的行動，如計數、加法、分組和分配，到發展數字的符號形式，如總和、乘積、除法等，這個世界以既是過程又是概念的雙重性符號的運用為特征．最后，個體會到達公理、定義和證明的形式化世界．

具體化包括感知和活動，對客觀對象進行活動操作引出它們的性質，然后在歐幾里得證明中發展它們的形式化方面．具體化和符號化的重疊部分主要是關于對象的具體活動，如計數，并發展為數的符號操作．代數運算依據算術法則發展得到符號的形式化證明．兩者都能從集合論定義得到形式化的數學證明，如圖1．

圖1 數學三個世界的認知發展過程

韜爾將數學分為3個發展階段：最初的階段涉及算術中空間、形狀和計算的實踐經驗，稱作“實用數學”，這一階段包括認識和描述圖形性質中的初始經驗；下一階段稱為“理論數學”，包括復雜的具體化和符號化水平，稱為具體的形式化和符號的形式化；第三個階段稱為“形式數學”，指代數學中基于集合論定義和推理的“形式體系”．

3 基于數學三個世界的數學概念高效教學

3.1 數學概念教學

數學概念有以下幾個方面的特征[6]：（1）概念發展的抽象性．數學本身的一個基本特點就是抽象性，數學概念的發展也是一個抽象的結果；（2）概念表征的多元性．表征是用某一種形式，將事物或想法重新表現出來，以達到交流目的，當表征的意義被熟悉以后，表征轉化為思維材料，進一步簡化過程；（3）概念理解的層次性．數學概念理解的層次性是由數學本身的特點有關，也與學習者個體的心理發展水平有關．（4）概念聯結的系統性．數學概念的前3個特征直接導致了它的第四個特征，那就是：數學概念具有廣泛的聯系．既包括概念與其背景的聯系，也包括概念之間的聯系；既有縱向的聯系，也有橫向的聯系．因此，數學概念的一個最重要的特征是他們都被嵌入到組織良好的概念體系中．

不同的數學概念有其自己的背景和內涵，概念之間的聯系也是錯綜復雜的．要理解和掌握這些概念，就是要理解和掌握這些概念的內涵和外延以及它們的表達形式（包括定義、術語、符號等），了解這些概念的來龍去脈（它們的實際背景，是如何產生和發展的），還要了解相關概念的區別和聯系，并逐步學會如何運用這些數學概念來分析和解決數學問題和實際問題，這必然是一個漫長而復雜的認識和實踐過程，而且這個認識過程還要受到學生的認識水平和能力的制約，因而對不同的教學對象和不同的教學階段就有不同的教學要求[9]．

3.2 基于數學三個世界的數學概念高效教學

高效教學要求在整個教學過程中，以學生為主體，教師引導學生探索發現，使新的知識得到充分內化，學生能力和認知水平得到充分發展．因此要根據學生的認知發展特點及過程組織教學活動，實施高效課堂．

韜爾通過多年研究發現學生在學習中存在兩種建立數學概念的方式：（1）關注特定對象性質，首先描述性質的特征，然后給出定義；（2）關注數學程序的過程和步驟，如將加法、減法、乘法、函數計算、求導等過程，壓縮為相應的可想象的概念如和、差、積、函數、導數．因此，數學概念教學應考慮學生學習數學概念的方式，結合數學概念的特征組織教學．

數學三個世界采用聯結主義的課堂方式，教師作為導師精心安排課堂活動，鼓勵學生沿著基本思路，進行小組討論，交流思想和挑戰問題建立對知識的聯結，進行快速高效的教學[5]．下面以橢圓、雙曲線的概念教學為例，探索基于數學三個世界的數學概念教學過程．

3.2.1 概念—具體化

在具體化世界，個體通過對外部世界的感知和操作認識事物，教學中要將概念與具體情境聯系在一起．具體化圖形演示可以促進學生對相關知識的認知，提高教學高效性．

根據概念發展的抽象性，教師可以利用動態幾何軟件分別演示橢圓和雙曲線的形成過程，并通過演示a＞c、a=c和a＜c時的圖形情況，幫助學生理解定義內容以及橢圓與雙曲線之間的聯系和區別．

因為概念表征具有多元性，隨著學生對橢圓和雙曲線概念的初步了解，之后的教學需要引入符號方程，但利用具體化圖形推導橢圓和雙曲線方程變得尤為困難，需要用具體的符號進行計算推導．因此可見，隨著數學內容變得越來越復雜，由具體化向符號化的轉化是必要的．

3.2.2 符號—過程概念化

在過程概念化層面，個體通過符號操得到概念的符號形式．通過具體化層面的教學，學生已經習得橢圓的定義：平面內到兩定點的距離的和等于定長的點的軌跡是橢圓．教師可以引導學生在直角坐標系中設軌跡上的任意點為P(x,y)，兩定點為F1(-c,0)、F2(c,0)（a＞c），根據橢圓定義PF1+PF2=2a，得到

推導得出橢圓方程

學生在掌握橢圓和雙曲線的定義和符號過程后，為拓寬學生對概念的理解，可引導學生思考：到兩定點距離的積和商為定值的點的軌跡是什么？學生通過推導，得出新的函數方程，并使用圖形計算器畫出函數圖像，探索函數性質．這一過程是由符號過程概念化回到具體化的過程，是符號的具體化．最后使學生得到圓錐曲線系統的相關概念，建立概念間的聯結．

上面的表達式

是完全不同的程序，但給出的是同樣的結果，可以看作是一個對象．知識的壓縮是從關注程序的步驟轉移到程序產生的結果．通過以上可以看到，等價的程序有同樣的結果，兩個程序代表的是同一個對象，并形成可想象的概念，最后達到對過程性概念中過程和概念的靈活轉換，從而促進學生對所學概念認知的高效性．

由活動（action）到結果再到可想象概念的轉換發生在具體化和符號化中，這給出了從關注常規程序轉移到建立日益復雜的數學思考上的基本途徑，一些學生屬于越來越熟練地使用程序，另一些則更善于進行靈活的思考．教師的主要作用是作為引導者鼓勵大多數學生一起通過復雜或簡單的方法將知識壓縮為可想象的概念．

3.2.3 公理—形式化

在形式化層面，個體改變大腦的先前經驗，運用量化集合論命題下定義，進而得到相關的概念．在橢圓和雙曲線概念教學中并沒有太多接觸形式化層面，在上一層面中，探索到兩定點距離的積和商為定值的點的軌跡的過程就是形式化推理過程，在此就不作贅述．

韜爾的同事和他的博士生Marcia Pinto（1998）跟蹤調查學生學習形式化數學分析的概念時發現，有兩種截然不同的學習方式[4]：一個是“自然的”方式，根據個體概念意象的前變量（包括具體和符號）解釋定義，另一個是“形式化”方式，提取概念定義的含義．自然思維建立在具體化和符號象征的基礎上，而形式化思維建立在概念定義的基礎上，如圖2．因此，教師應根據不同學生的思維方式組織安排教學活動，以達到高效教學的目的．

圖2 概念學習的途徑

4 結 束 語

數學三個世界理論給出了人類學習數學的認知發展過程，為認知發展研究提供了新的方向，為教育工作者進行數學教學研究和提高數學教學高效性提供理論基礎和框架．隨著對數學三個世界不斷深入的發展和研究，相信一定會帶來許多對學生認知方式和數學教學模式的新思考．

[1] David Tall. The Transition to Formal Thinking in Mathematics [J]. Mathematics Education Research Journal, 2008, 20, (2): 5-24.

[2] David Tall. Building Theories: the Three Worlds of Mathematics [J]. For the Learning of Mathematics, 2004, 24(1): 9-32.

[3] David Tall. Differing Modes of Proof and Belief in Mathematics [C]. International Conference on Mathematics: Understanding Proving to Understand, 2002.

[4] David Tall. Encouraging Mathematical Thinking That both Power and Simplicity [C]. APEC-Tsukuba International Conference, 2006.

[5] David Tall. Teachers as Mentors to Encourage Both Power and Simplicity in Active Mathematical Learning [C]. Plenaryat the Third Annual Conference for Middle East Teachers of Science, Mathematics and Computing, 2007.

[6] 鮑建生，周超．數學學習的心理基礎與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[7] 周士民，聶立川，王君．認知發展研究新成果——David Tall的“數學三個世界”理論[J]．數學教育學報，2013，22（3）：8-11．

[8] 索云旺，張啟華，廖爽，等．高效數學教學行為特征指導下的數學課堂教學設計——以“函數概念教學設計為例[J]．數學教育學報，2013，22（5）：91-96．

[9] 匡繼昌．如何理解和掌握數學概念的教學實踐與研究[J]．數學教育學報，2013，22（6）：74-78．

[10] 王光明．高效數學教學行為的特征[J]．數學教育學報，2011，20（1）：35-38．

[11] 楊田，王廣輝．透視高效數學課堂教學行為——基于優秀初中數學教師的個案研究[J]．數學教育學報，2011，20（2）：37-40．

[12] 李吉寶．數學概念教學應幫助學生形成七種數學觀念[J]．數學教育學報，2011，20（2）：88-89．

High Effective Mathematics Concept Teaching Based on the Three Worlds of Mathematics

WU Hua1, CUI Yan-jiao2
(1. Mathematics College, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China; 2. Teacher Education Research Center, Liaoning Normal University, Liaoning Dalian 116029, China)

The Three Worlds of Mathematics includes three methods of cognitive development: the embodied world, the proceptual world, and the formal world. The theory of the Three Worlds of Mathematics reflects the human cognitive development process of mathematics, and the development of mathematics can be divided into three stages: “practical mathematics”,“theoretical mathematics”, “formal mathematics”. According to the cognitive development process of the Three Worlds of Mathematics, we explore the high effective mathematics concept teaching based on the Three Worlds of Mathematics, from three aspects of conceptual-embodied, symbolic-proceptual and axiomatic-formal.

the three worlds of mathematics; cognitive development; mathematics concept; high effective teaching

G420

：A

：1004–9894（2015）03–0048–03

[責任編校：周學智]

2014–12–31

遼寧省高等教育教學改革研究項目——現代教育技術與學科課堂教學方式改革的研究與實踐——以數學學科為例

吳華（1964—），女，遼寧沈陽人，教授，碩士生導師，主要從事數學教學論和現代教育技術與數學教學整合的相關研究．