概念圖在評價數學概念性理解中的應用

金海月

（南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097）

概念圖在評價數學概念性理解中的應用

金海月

（南京師范大學 教師教育學院，江蘇 南京 210097）

概念圖能夠從概念間的相互關系以及知識組織結構等角度提供有關概念性理解的豐富信息．采用社會網絡分析法對概念圖進行數據處理，并對比分析概念圖與傳統評價方式在評價數學概念性理解上的異同，可以為相關數學概念的教學提供有價值的信息；對概念圖作為評價工具的應用性研究也將為新課程所倡導的發展性評價方式的探索與實踐提供參考．

概念性理解；初中數學；評價；概念圖；社會網絡分析法

概念性理解是數學教育的一個重要目標．關于數學學習的教育心理學研究充分肯定了概念性理解在數學學習中的重要性，認為概念性理解是學生靈活運用知識及在不同背景條件下恰當應用知識的前提條件[1]．教育工作者們在評價學生的概念性理解水平上投注了大量精力[2～5]．在眾多方法中，概念圖被認為是一種有效的評價方式，它能夠從概念間的相互關系以及知識組織結構等角度提供有關概念性理解的豐富信息[6～8]，并能在評價過程中促進學生對知識的整合．國內關于概念圖在評價學生數學概念性理解方面的實證研究較少，且現有的概念圖分析方法沒有充分發揮其圖式表征的優勢．下面的研究將致力于探討以下兩部分內容：（1）結合概念圖及傳統評價方式了解學生數學概念性理解的現狀；（2）采用社會網絡分析這一跨學科的方法對概念圖進行數據處理，并對比分析概念圖與傳統評價方式的異同．

1 核心概念

1.1 概念性理解

教育研究者們用概念性理解（Conceptual Understanding）來強調某知識領域概念間的關系，其表征一般為有聯系的層次網絡結構．Kilpatrick等人將數學中的概念性理解定義為“對數學概念、應用及關系的掌握”[9]．結合R. Skemp對數學概念形成的層次結構的刻畫[10]以及認知心理學領域對數學理解和概念性知識（Conceptual Knowledge）的描述[11～13]，將數學概念性理解細分為3個維度：① 單個概念：包括定義、例和反例以及不同的表征形式；② 概念間的相互聯系：包括等值抽象、弱抽象、強抽象和廣義抽象等邏輯關系，還包括包含、歸類、變換、類比等本體論關系；③ 應用：側重指對概念及其關系應用的原理性認識，不包括操作層面的程序性知識．

1.2 概 念 圖

概念圖指由J. D. Novak等人基于有意義學習理論開發的一種能形象刻畫某知識領域中概念及其關系的圖解[14]．在概念圖中，結點對應著代表各種概念的重要術語名詞，連線代表一對概念之間的關系，連線上的連接詞則表示該連線具何種關系，兩個結點與一個帶連接詞的連線共同構成一個命題．概念圖能夠有效地刻畫學生頭腦中的知識組織結構，它區別于其他評價方式的一個重要特征是其外顯的圖式結構．但現有的概念圖分析方法局限于對其中結點、連線、命題和整體結構的定性描述以及定量打分[15]，沒有充分發揮概念圖的圖式表征優勢．下面將借助社會網絡分析法對概念圖作進一步分析．

1.3 社會網絡分析法（Social Network Analysis，簡稱SNA）SNA是社會學中的一種研究方法，一般用以研究社會實體間的關系以及這些關系的模式和含義[16]．例如，用網絡觀點來充分理解和模擬公司間的業務往來，分析個體的受歡迎程度、影響、派系等．將社會實體間的網絡關系研究類推到數學概念領域，可以從學生認知角度研究概念的核心程度，不同概念間的從屬結構、緊密關系等．

2 理論基礎

關于數學概念學習的心理學研究中具有代表性的是R. Skemp的數學概念形成的層次結構模型[10]和喻平的CPFS結構理論[17～18]．R. Skemp將數學概念分為初等概念（primary concept）和高層次概念（higher-order concept）．初等概念指能夠從直接經驗中獲得的概念，如自然數；高層次概念指在概念關系或一組概念共有特性基礎上抽象出來的概念，如質數．除了初等概念，所有的數學概念都是在其他概念的基礎上抽象出來的，概念的形成過程決定了數學概念間的邏輯層次關系，這也是數學課程設計的主要依據．喻平的CPFS結構理論依據概念間的等價或抽象關系提出概念域和概念系的概念．概念域指某個概念的一些等價定義在學習頭腦中形成的知識網絡，概念系是指一組有著直接或間接抽象關系的概念在學習者頭腦中形成的概念網絡．類似的還有命題域和命題系．概念域、概念系、命題域和命題系一起簡稱為CPFS結構．二者的共同之處是認為數學概念（知識）是按層次網絡形式組織的．R. Skemp是從數學概念形成的客觀歷程角度對概念間的層次關系進行闡述；喻平的CPFS結構理論是從學習心理學的角度出發，認為學習者需要從多角度，在多背景下深入理解概念，在頭腦中形成完善的概念體系，才能及時、有效地調用適當的模式去解決問題．R. Skemp的數學概念形成的層次結構模型和喻平的CPFS結構理論為概念圖在評價數學概念性理解的應用提供了理論基礎．

3 國內外研究現狀

關于概念圖在評價概念性理解方面的應用，國外的研究主要集中在科學領域，例如物理、生物．研究者們利用概念圖探測學生的概念理解情況以及跟蹤學生頭腦中概念體系的發展（如文[19～20]）．國內有關概念圖的研究則主要是對國外文獻的綜述，缺乏實證性研究．盡管在數學領域的此類研究相對較少，概念圖的相關理論和研究方法同樣適用于評價數學概念性理解．Mansfield等人利用概念圖調查了澳大利亞幾個小學的學生關于平面圖形相關概念的理解情況[21～22]．他們認為概念圖能夠有效地反映學生概念性理解中的知識缺失和理解性錯誤，并且在構建概念圖的過程中，學生有機會反思概念間的聯系，從而加深對相關概念的理解．Afamasaga-Fuata’I在其編著的《數學中的概念圖：從研究到實踐》[23]一書中介紹了多個利用概念圖評價學習者數學概念發展的個案研究．研究顯示概念圖能夠很好地刻畫學習者不同階段的概念性理解情況，同時，也能夠反映不同學習者在概念性理解上的特征和差異．

現有研究中對概念圖的定量分析主要沿用了Novak的方法，即依據概念圖的概念、命題、分支、交叉連接和層級結構這幾個方面進行定量打分．此類定量打分的方法使得概念圖能夠應用在大規模的終結性評價中，但是它極大地限制了概念圖的圖式優勢；僅憑分數，尤其是累積分，很難反映出學生的概念性理解情況[24]．因此，部分研究者傾向于對概念圖作定性描述．但定性描述很難同時處理較多學生的概念圖．鑒于以上考慮，研究采用定量與定性相結合的方式，同時借助跨學科的社會網絡分析法對概念圖進行分析．

4 研究方法

研究旨在考查概念圖在評價數學概念性理解方面的應用，了解學生數學概念性理解的現狀．

4.1 研究對象

研究采用便利取樣的方法選取了江蘇省某初級中學二年級的一個班級，共計48名學生作為被試．在調查之前，先對被試進行了詳細的概念圖構圖培訓，旨在讓他們了解概念圖的定義和基本用途，并能夠掌握構建有意義的概念圖的步驟及方法．培訓之后，對被試的概念圖構圖技能進行測驗，結果顯示被試已基本掌握培訓內容，具備構建有意義概念圖的能力．

4.2 研究材料

概念性理解的測試材料由3類測試卷組成：概念定義測試卷、概念構圖測試卷以及傳統題卷．概念定義測試卷以表格的形式呈現，要求學生寫出所給數學概念的定義，并舉例及反例．概念構圖測試卷要求學生用所給的10個核心概念構建一個概念圖，呈現所給概念間的相互關系．該測試卷包括兩條提示語：（1）請盡可能多地構建概念間的有意義連接；（2）請盡可能使用完整準確的連接詞．傳統題卷則以傳統考試題的形式側重考查學生對相關數學概念及其應用的掌握情況．

4.3 數據收集

概念定義測試卷和概念構圖測試卷是一起施測的，給時45分鐘．首先要求被試在15分鐘內完成概念定義測試卷；之后是概念構圖測試卷，要求被試就概念定義測試卷中所給概念構建一個概念圖．傳統題卷則安排在上述測試的第二天，要求被試在45分鐘內完成．

4.4 數據分析

研究采用兩種方法對學生構建的概念圖進行分析．一種是源于Novak的傳統分析法：有效命題賦值計分，所有命題得分的總和即為概念圖的命題得分．另一種是社會網絡分析法，主要考慮單個概念的出度、入度，成對概念的連線情況，以及整體概念圖的組織結構．例如，圖1中A、B、C、D、E共計5個概念，從概念A出發有兩條連線（A→B及A→D），但圖中沒有連線指向A；因此，A的出度為2，入度為0. 概念E與另4個概念之間沒有連線，因此，E的出度和入度均為0. 在學生構建的概念圖中，若某概念的出度和入度均為0，則表示學生不能有效地建立它與其他相關概念之間的聯系，也即意味著學生對該概念的理解有所欠缺．

表1是上述A、B、C、D、E 5個概念的出度和入度情況統計；表2是圖1中成對概念的關聯情況．若A、C兩個概念間的關系是重要且需要學生掌握的（例如，等腰三角形和等邊三角形），但表2中“從A到C”或“從C到A”對應數據均為0，則表示學生不熟悉或沒有掌握這兩個概念間的關系．

圖1 概念圖舉例

表1 概念的出度、入度和度

表2 成對概念的關聯情況

圖1所示的概念圖中的連線數為3（包括A→B、A→D及C→D），相關概念數為5（A、B、C、D、E），該圖的密度則為3/5=0.6．密度與Novak的有效命題得分是刻畫概念圖整體屬性的不同指標，二者相關但不等同．

綜合Novak的傳統分析法以及社會網絡分析法可以更好地刻畫概念圖的相關屬性，詳見表3．

概念定義測試卷和傳統題卷的評分相對比較直接．

概念定義測試卷中每個正確定義給2分，部分正確的定義給1分，錯誤0分；正確的例子給2分，錯誤的0分；正確的反例2分，錯誤0分．因此，概念定義測試卷的滿分為(2+2+2)×10=60．

傳統題卷的滿分為100分，題型包括判斷題、選擇題、填空題和簡答題幾種類型，各種題型的給分及分布都較為接近于傳統試題．

表3 概念圖分析方法

5 研究結果與討論

5.1 單個概念

表4中的概念按照總連線數由大到小降序排列．其中“可接受命題比”的計算如下：設T為總連線數（忽略箭頭方向），C為標注正確連接詞的連線數，P為標注部分正確連接詞的連線數，則“可接受命題比”=(2C+P)/2T，反映了學生對某概念相關關系理解的正確程度．

表4 單個概念的連線均值

“方程”作為這10個概念的總括性概念，學生最易于從“方程”出發聯想到其他相關概念（出度3.02）．通過對比發現，“一元一次方程”、“二元一次方程”和“一次函數”的平均總連線數都高于它們對應的符號表征“kx+b=0”，“ax+by+c=0”和“y=kx+b ”．例如“二元一次方程”總連線數為2.96，而“ax+by+c=0”的總連線數僅為0.89．一方面，可能是學生更為熟悉這3個概念的文字表征；另一方面，由于所給的10個概念中，僅有3個是概念的符號表征，其余7個均為文字表征，學生可能更易于在相同表征間建立聯系．

表4中10個概念的可接受命題比介于60%（正比例函數）和89%（ax+by+c=0）之間，略低于預期．除了對概念的錯誤理解外，學生在連線上標注的不完整或僅部分正確的連接詞也是導致較低分值的一個原因．例如，學生在概念圖中僅標注“（正比例函數）是一種特殊的（一次函數）”，按照評分標準，這樣的命題屬于“部分正確”賦值1分，應說明如何特殊，如“（正比例函數）是圖像經過坐標原點的一類（一次函數）”．在前期概念構圖培訓中，已對培訓者強調要用詳細完整的連接詞標注關系，否則在評分時視作對概念關系理解不深刻．

5.2 成對概念

表5中每對概念所對應的單元格中有兩個數字，以斜線隔開．斜線前的數字代表所建連接總數，斜線后的數字代表所建連接中連接詞標注正確或部分正確的連線數．以從“一元一次方程”到“一次函數”的連線情況為例：12/7表示在48名學生的概念圖中，有12名學生畫出了從“一元一次方程”到“一次函數”的連線，其中7名學生在連線上標注了正確或部分正確的連接詞．由于在培訓中已強調連接詞的必要性，學生概念圖中的所有連線都有標注，因此12-7=5即為標注錯誤連接詞的連線數．

表5 成對概念的連線情況

表格的最后一行是各概念的入度合計，斜線前的數值除以學生數48即為表4中對應概念的入度．同樣，表中最后一列是各概念的出度合計，斜線前的數值除以48即為表4中對應概念的出度．表5右下角的547/479則表示48名學生建立的547條連線中，有484條標注了正確或部分正確的連接詞，547-484=63條連線標注了錯誤連接詞．通過表格中斜線前后的數字對比能在一定程度上獲知學生對某概念或某關系的熟識程度和掌握情況．

如表5所示，有50%左右的學生能夠較為正確地建立“一元一次方程”“二元一次方程”與它們相應表達式之間的聯系，但是在它們與其它概念的聯系中出現了或多或少的錯誤．例如，從“二元一次方程”到“未知數”的連線總數為20，但有4個的連接詞標注錯誤．學生將“二元一次方程”與“一元二次方程”混淆，認為“二元一次方程”中只有一個未知數且未知數的次數為2．在構建概念圖時，學生需要用自己的語言來描述概念間的關系．因此，通過學生構建的概念圖，研究者能收集到傳統測試中不常發現的概念性錯誤．

5.3 聚合概念圖（Collective Map）

聚合概念圖是在表4和表5數據的基礎上構造出的．圖中各概念的位置由研究者參照教材中體現出的各概念的數學邏輯層次安排，自上而下，由一般到特殊，整體到部分．

圖中代表概念的圓圈大小依據表4中對應概念的總連線數而定，總連線數越多，圓圈越大；代表連線的→分為粗線、細線和虛線3類．粗線表示超過50%的學生都建立了該聯系，屬強連接；細線代表少于50%但多于25%的學生建立了該聯系，屬中度連接；而虛線則表示少于25%的學生建立了該聯系，屬弱連接．

圖2 聚合概念圖（Collective Map）

如圖2所示，圖中僅有3條粗線標注的連線，大部分連線為細線或虛線，表示學生對所給概念的組織方式存在差異，交集較少．3條粗線和多數細線的方向都是自上而下，反映了學生習慣于由一般概念聯系到特殊概念，或是由整體聯想到部分．所給的10個概念被大致分為了左右兩個子群，右側子群中的一次函數、正比例函數以及y=kx+b與概念圖中其他概念的聯系較弱．兩個子群的聯系主要是通過“y=kx +b ”以及“kx+b=0”建立的，例如有學生標注“kx+b=0的解是y=kx+b與x軸交點的坐標”．研究者沒有采用教材中常見的表達式“ax+b=0”也是為了與一次函數表達式“y=kx+b”更為接近，進而暗示學生二者關系的存在．盡管如此，大多數學生還是不能建立起方程與函數的有意義聯系．該弱連接提醒教師在教學中需加強干預，幫助學生建立方程和函數間的有效聯系，以便于他們更好地理解抽象的函數概念．將同樣的方法應用于其他數學知識領域，獲知學生頭腦中概念組織規律或是認知結構中存在的缺陷，亦能為教材編制者提供信息，以便他們有針對性地改善教材．

5.4 三類測試卷的相關性分析

概念定義測試卷、概念構圖測試卷以及傳統題卷都檢測了學生數學概念性理解的一個或多個側面．概念圖得分與概念定義測試卷和傳統題卷的得分均呈顯著性相關，并且概念圖的命題得分與概念定義測試卷和傳統題卷的相關性明顯高于概念圖的密度與它們的相關性，說明與密度相比，概念圖的命題得分能夠更好地反映學生概念圖的質量．由于概念定義測試卷中，學生舉例及反例時的正確率較高，不能有效地區分學生對概念的理解情況，概念圖與這兩者的相關系數相對較低，介于0.382～0.582之間．

表6 三類測試卷的相關性分析（Spearman系數）

6 總 結

概念定義測試、概念構圖測試以及傳統題3類試題在評價數學概念性理解上各有優勢．概念圖所揭示的學生的概念性理解現狀與另兩類測試存在交集，但亦有不同．例如，概念圖中的一些連接詞是概念的定義，這是與概念定義測試卷相通的部分．但是，在概念圖中，學生很少提及相關概念的例或反例，也不涉及概念在解題中的應用；而概念圖所反映出的學生對概念的一些錯誤理解以及概念的組織結構是其他非開放性測試所不能揭示的．概念圖在評價數學概念性理解上優勢凸顯的同時，研究結果也發現學生會在概念構圖時規避一些自己不熟悉或不確定的內容，因此，概念圖也存在局限性，它不能全面地揭示學生對某領域內相關概念聯系的理解．結合不同類型的測試有助于教育研究者獲得有關學生概念性理解的更為完整的信息．

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Using Concept Map to Assess Conceptual Understanding in Mathematics

JIN Hai-yue
(College of Teacher Education, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China)

Concept map is a viable assessment technique that can provide rich information about students’ conceptual understanding especially about the connections between concepts and their organizational structure. This study employed a method，termed Social Network Analysis, from social science for analyzing student-constructed concept map and compared concept map with traditional measurements of conceptual understanding. The findings from this study about students’ conceptual understanding of certain mathematical concepts would provide research-based information for teaching. The use of concept map as an assessment technique would also be useful reference for the exploration of developmental evaluations in mathematics.

conceptual understanding; secondary mathematics; assessment; concept map; social network analysis

G420

：A

：1004–9894（2015）03–0055–05

[責任編校：陳雋]

2015–01–09

教育部人文社會科學研究規劃基金項目——我國農村中小學教師的TPACK及其教學表現研究（14YJA880054）；南京師范大學人文社會科學青年科研人才培育基金項目——職前教師學科知識的調查研究（14QNPY01）

金海月（1982—），女，江蘇海安人，博士，講師，主要從事數學課程與教學論及教育測量與評價研究．