當(dāng)前估算教學(xué)：存在問題與解決策略

鄭慶全

（1．齊魯師范學(xué)院，山東 濟(jì)南 250013；2．山東省基礎(chǔ)教育課程研究中心，山東 濟(jì)南 250013）

當(dāng)前估算教學(xué)：存在問題與解決策略

鄭慶全1，2

（1．齊魯師范學(xué)院，山東 濟(jì)南 250013；2．山東省基礎(chǔ)教育課程研究中心，山東 濟(jì)南 250013）

當(dāng)前的估算教學(xué)引起了廣泛關(guān)注，存在著諸多困惑．通過調(diào)查梳理出內(nèi)容理解和教學(xué)認(rèn)識(shí)方面存在如下問題：本體性內(nèi)容的邏輯關(guān)系認(rèn)識(shí)不明確、與其它內(nèi)容之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清、應(yīng)用條件認(rèn)識(shí)不足、估算結(jié)果的科學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不清楚、教和學(xué)的認(rèn)識(shí)模糊，教學(xué)的階段要求不明確．針對以上問題提出了“把握估算課程價(jià)值，確保育人價(jià)值實(shí)現(xiàn)；正確定位估算課程內(nèi)容及其教學(xué)；堅(jiān)持估算的特殊教學(xué)原則；把握估算課程內(nèi)容特征，采取針對性的教學(xué)策略”的解決策略和“深入研讀課標(biāo)及其解讀，把握課程的基本要求；整體梳理估算課程內(nèi)容，有序逐步實(shí)現(xiàn)達(dá)標(biāo)”的建議．

估算教學(xué)；問題；策略

自20世紀(jì)70年代以來，世界各發(fā)達(dá)國家開始把估算作為數(shù)學(xué)基本修養(yǎng)的一部分而引入中小學(xué)數(shù)學(xué)課程[1～2]．在國內(nèi)，估算內(nèi)容是在20世紀(jì)90年代以后的小學(xué)數(shù)學(xué)大綱和教材中首次作為選學(xué)內(nèi)容引入的．在新一輪課程改革中的義務(wù)階段數(shù)學(xué)課標(biāo)實(shí)驗(yàn)版把估算作為必學(xué)內(nèi)容，在2011年修訂版中又進(jìn)行了調(diào)整以進(jìn)一步明確和清晰．在針對2011年課標(biāo)修訂版的山東省小學(xué)數(shù)學(xué)教師全員遠(yuǎn)程研修中，估算教學(xué)作為突出的困惑問題被廣大教師提了出來，這里擬在對這些困惑初步梳理的基礎(chǔ)上，明確存在的問題，進(jìn)一步提出解決的策略建議．

1 當(dāng)前估算教學(xué)中存在的問題

通過借助2012年山東省小學(xué)數(shù)學(xué)教師全員遠(yuǎn)程研修的網(wǎng)上在線平臺(tái)調(diào)查了解到，估算教學(xué)在實(shí)踐中存在著許多困惑．

1.1 現(xiàn)象描述

估算雖在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中所占比重不大，但一線教師和學(xué)生存在的困惑卻不少．比如，

（1）為了“估算”而“估算”．如教學(xué)中常要求學(xué)生估算“325+186≈、234-75≈”．感受必然是：教師在帶著孩子“走教案”，讓學(xué)生做什么學(xué)生就做什么，幾乎沒有體驗(yàn)與參與；學(xué)估算只是老師讓學(xué)生估學(xué)生就估，只在課堂上有用． 由此，學(xué)生的估算學(xué)習(xí)必然是“教師讓‘估’就‘估’，教師讓精確計(jì)算就精確計(jì)算”，對“為什么要估算”“什么時(shí)候需要估算”，學(xué)生很茫然，他們體驗(yàn)不到“估算”的必要性，也不能正確選擇何時(shí)估算何時(shí)精確計(jì)算．顯然，這種“估算”教學(xué)的實(shí)際與課標(biāo)的要求相去甚遠(yuǎn)．

（2）估算方法的多樣化使教師不知如何評(píng)價(jià)．如262+173+208+145，262可估成300，也可估成200；145可估成150，也可估成100，所以估算結(jié)果莫衷一是．于是，“那么多的估算方法，到底哪個(gè)對啊？”這樣的問題經(jīng)常見到．

（3）僅把“估算”看作一種具體的技能教給學(xué)生．如，常讓學(xué)生解決這樣的問題：“電話機(jī)（148元）比自行車（350元）大約便宜多少元？”要求學(xué)生不能精確到百位，要精確到十位進(jìn)行估算，以追求比較精確的結(jié)果．這樣“估算的結(jié)果最接近精確數(shù)就是最好的估算嗎？”的問題就出現(xiàn)了．

（4）如何表征估算成為困惑的問題．如，當(dāng)估算以“解決問題”形式出現(xiàn)的時(shí)候，要不要列算式呢？怎么列算式？而參考書和課本上都沒有，教師由于自身理解的不同，就出現(xiàn)了比較混亂的教學(xué)現(xiàn)象．

因此，估算教學(xué)的現(xiàn)狀被教師們形象地描述為“三很”：教材很重視、教師很為難、學(xué)生很迷惑．

1.2 問題梳理

上述現(xiàn)象暴露出了當(dāng)前估算教學(xué)中存在的一些問題，這些問題集中在對估算課程內(nèi)容的理解和教學(xué)的認(rèn)識(shí)及要求等方面．

1.2.1 內(nèi)容理解

（1）本體性內(nèi)容的邏輯關(guān)系認(rèn)識(shí)不明確．

雖然估算的課程目標(biāo)和內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)在課標(biāo)中已經(jīng)比較明確，但是具體的知識(shí)層面內(nèi)容則需要通過教材來呈現(xiàn)，由于教材版本較多，許多教材在編排上沒有很好體現(xiàn)估算，導(dǎo)致估算的邏輯體系不太明確，教學(xué)素材有些混亂．從教學(xué)素材內(nèi)容角度來講，主要有3類估算：一是純數(shù)學(xué)類估算，主要是直接給出數(shù)據(jù)來估算運(yùn)算結(jié)果，要根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)來估算，這在教材中主要安排在各種運(yùn)算內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，表現(xiàn)為要求估算；二是應(yīng)用類估算，常見形式是在應(yīng)用題中，這種情況的最大特點(diǎn)是情境；三是計(jì)算時(shí)的估算，即檢驗(yàn)結(jié)果是否正確，這種情況是應(yīng)用估算監(jiān)控筆算，此時(shí)估算通常表現(xiàn)為兩種形式，先估算再筆算和先筆算再估算，這樣就可通過估算來檢驗(yàn)筆算，有助于學(xué)生養(yǎng)成檢驗(yàn)習(xí)慣．其中，前兩者是常見估算情境，這些情境本身可能就對估算提出了精確度要求；而計(jì)算時(shí)的估算目的是預(yù)估計(jì)算結(jié)果或者檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果．這3類估算在教材中分散編排在各章節(jié)中，而且又需要根據(jù)不同具體情況靈活選擇，從而導(dǎo)致師生對它們本身邏輯關(guān)系不明確．

（2）與其它內(nèi)容之間的關(guān)系認(rèn)識(shí)不清．

對于估算，有許多內(nèi)容與其有密切關(guān)系，理清這些關(guān)系，能夠反映數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和教學(xué)的整體聯(lián)系思想，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解．比如，估算與數(shù)感的培養(yǎng)以及實(shí)際生活的情境有密切關(guān)系，這是課標(biāo)培訓(xùn)比較重視的方面．在國培課標(biāo)培訓(xùn)中，有專家明確指出，估算是與具體情境聯(lián)系在一起的，脫離具體情境不談估算，估算是解決問題的一種策略．通過培訓(xùn)，教師們在這些方面是比較明確的．然而，對于估算和口算、精算、以及近似計(jì)算的區(qū)別和聯(lián)系則比較困惑．在現(xiàn)實(shí)中的表現(xiàn)是，估算學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生在精算基礎(chǔ)上再進(jìn)行四舍五入得到估算結(jié)果，而評(píng)價(jià)中只關(guān)注結(jié)果卻忽略了估算過程，從而導(dǎo)致學(xué)生的估算學(xué)習(xí)完全違背了課標(biāo)要求的估算教學(xué)的要義．

（3）應(yīng)用條件認(rèn)識(shí)不足．

教學(xué)中經(jīng)常見到的一種情況是：學(xué)生不知道在什么情況下選擇用估算，而這時(shí)通過老師的教學(xué)傳遞給學(xué)生的信息是：一看見有“大約”“大概”等字樣，就開始用估算來解決．例如這道題：

一個(gè)小型企業(yè)每月大約產(chǎn)生35千克垃圾，某村有3個(gè)小型企業(yè)，一年大約要產(chǎn)生多少垃圾？

對這個(gè)問題，許多學(xué)生是這樣解答的：35×3=105，105 ×12=1 260，此解答顯然是精算而不是估算，雖然本題中出現(xiàn)了“大約”字樣．特別需要指出的是，“大約、夠不夠、能不能”這類表述的詞語并不是要求估算的標(biāo)志，不要一看到這些詞就誤認(rèn)為是要求估算．其實(shí)，估算僅是解決問題的輔助策略之一，是為解決問題提供參考的．那么，這道題用估算來解答可不可以？單就數(shù)學(xué)題目的解決來講，這是不合適的．但是作為解決這一問題的輔助手段是可以的：一個(gè)小型企業(yè)每月大約生產(chǎn)35千克垃圾，3個(gè)小型企業(yè)一個(gè)月大約100千克，這樣的話一年就大約生產(chǎn)垃圾1 200千克，然后就可以對問題有一個(gè)初步結(jié)果，但這個(gè)結(jié)果是不能作為這一問題的答案的，這一問題的答案只能是精算的結(jié)果．雖然學(xué)生將35×3的結(jié)果自動(dòng)地看作100是一種良好數(shù)感的體現(xiàn)，但這里的估算僅是一種解決問題的輔助手段而已．因此下面的認(rèn)識(shí)是不妥的：認(rèn)為這一問題有兩種解決方法，一種是估算，一種是精算，只是精確度不同，由于估算的精確度低一些，所以兩種方法相比較而言，精算比估算的方法要好．

（4）估算結(jié)果的科學(xué)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不清楚．

由于估算結(jié)果的特點(diǎn)是不精確，因此會(huì)有多個(gè)結(jié)果，這些結(jié)果雖然沒有對錯(cuò)之分，但是有精確度高低之分，所以這給估算的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)造成了困難．有相當(dāng)一部分教師簡單地用精算的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)去評(píng)價(jià)估算的結(jié)果，導(dǎo)致出現(xiàn)許多困惑．比如，若要求估算192+219的結(jié)果，有如下一些解答：

這些解答中，有的是估兩個(gè)數(shù)，有的是估一個(gè)數(shù)，有的以百為單位，有的以十為單位．教師如何評(píng)價(jià)呢？首先必須肯定，這6種估算方法都是對的．其次，本題目涉及到量級(jí)的選擇問題．課標(biāo)中第一學(xué)段要求是“能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單的估算”，怎么理解適當(dāng)?shù)膯挝唬繉挝粊碇v，主要有兩方面：一是計(jì)量單位，一是計(jì)數(shù)單位．這個(gè)題目涉及到計(jì)數(shù)單位的選擇問題．這里的適當(dāng)指的是要結(jié)合具體情境．對本題來講，計(jì)數(shù)單位選擇十或者百都是正確的，只不過精確度不同．因此，評(píng)價(jià)估算的好壞，雖然可以把精確程度作為標(biāo)準(zhǔn)之一，但不是唯一標(biāo)準(zhǔn)，有時(shí)問題情境發(fā)揮著重要作用，比如限制時(shí)間等．

1.2.2 教學(xué)認(rèn)識(shí)和要求

（1）教和學(xué)的認(rèn)識(shí)模糊．

什么是估算？它與精算（筆算）有何聯(lián)系？為什么學(xué)估算？學(xué)估算有什么用處？在什么情況下用精算、什么情況下用估算？這些問題在學(xué)生和教師中比較常見，反映了很多一線教師和學(xué)生對估算的認(rèn)識(shí)比較模糊，加之估算方法多樣，估算學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不明確，而其它內(nèi)容的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)不能簡單地移植適用，這導(dǎo)致學(xué)生認(rèn)為估算“只在課堂上有用”，而何時(shí)估算取卻決于教師讓估就估，缺乏對估算需要情境的認(rèn)識(shí)．其實(shí)，估算的主要目的是做出一種判斷或決定；就估算與精算的關(guān)系而言，估算是高于精確計(jì)算的一種綜合能力，它與口算和數(shù)感具有密切的關(guān)系，估算課程內(nèi)容主要涉及估算策略和估算方法．

（2）教學(xué)的階段要求不明確．

估算的課程內(nèi)容是有難度的，主要由3個(gè)因素決定：一是數(shù)字的特點(diǎn)，比如整十和整百要容易一些；二是所用的運(yùn)算種類決定的，比如，一般來講，乘法要比加法難一些，除法比乘法難一些；三是要求的精確度決定的，要求的精確度越高，越需要進(jìn)行多次調(diào)整，這樣就增加了難度．從難度上可以看到對于估算教學(xué)的階段性要求，調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，許多老師對估算的階段教學(xué)要求不明確．如以下問題（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)上冊第70頁的估算教學(xué)）就是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)：

每張門票8元，29個(gè)同學(xué)參觀，帶250元夠嗎？

教材中呈現(xiàn)的解法是：“因?yàn)?9接近30，30×8=240．所以29×8≈240（元）”．教材設(shè)計(jì)這個(gè)題目的目的是讓學(xué)生結(jié)合具體情境進(jìn)行估算并解釋估算過程，使學(xué)生體會(huì)到估算的必要性，進(jìn)而找出可以把這個(gè)數(shù)看成最接近的整十、整百的數(shù)來估算的方法．即把29×8估算成30×8，剛好可以解決問題．這樣，題目出得好，數(shù)字選得也好，讓學(xué)生體驗(yàn)到了估算的價(jià)值，也就達(dá)到了教學(xué)的目的．因此，估算教學(xué)中，設(shè)計(jì)好的題目，斟酌好的數(shù)據(jù)，提出好的問題，對于在解決問題過程中培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)很重要．

但是，在教學(xué)中，許多老師則又把數(shù)據(jù)29改成32，這時(shí)仍用剛才的方法估算，取估算值240進(jìn)行判斷，就會(huì)造成估算結(jié)果與實(shí)際相矛盾的情況，這表明估算在這里暫時(shí)失效，但這是正常的．然而，對問題解決來講還沒有最終完成，還需要進(jìn)一步思考：32比30多還是少？多多少或者少多少？仍然可以做出判斷：在多2的情況下，會(huì)比估計(jì)值多2 ×8=16元，再考慮到240元，帶250元顯然是不夠了．這里其實(shí)涉及到估算的二次調(diào)整問題，對三年級(jí)的學(xué)生來講，難度就增加了，因此把這樣需要二次調(diào)整能夠有效解決的問題應(yīng)放在更高的年級(jí)（對原題來講，由于是把29×8估算成30×8，因此沒必要考慮二次調(diào)整的問題），而對三年級(jí)學(xué)生就沒必要，這里重要的是三年級(jí)學(xué)生估算意識(shí)的培養(yǎng)問題．本來題目是好題目，數(shù)據(jù)是好數(shù)據(jù)，一個(gè)題目解決一個(gè)問題，對三年級(jí)學(xué)生來講，這樣的問題就可以不講，但是對個(gè)別學(xué)生的疑問應(yīng)該耐心地給他們解答，如果聽不懂的話，就告知題目的結(jié)果，要他們在課下或者查找相關(guān)材料進(jìn)行學(xué)習(xí)，切不可非要一股腦把所有問題都集中到一起，這樣由于集中了難點(diǎn)給學(xué)生的估算學(xué)習(xí)帶來了更大的困難，因此估算的教學(xué)有個(gè)階段性和發(fā)展性，不能一蹴而就．

2 解決策略

仔細(xì)研究問題出現(xiàn)的原因?qū)⒂欣趩栴}的解決，下面將在分析原因的基礎(chǔ)上尋求解決問題的策略．

2.1 原因分析

雖然估算內(nèi)容占數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的比重很小，但是卻為什么會(huì)出現(xiàn)這么多的問題？其原因是多方面的，這里把主要原因歸結(jié)如下：

（1）課程標(biāo)準(zhǔn)中對估算的課程內(nèi)容界定不明確，系統(tǒng)性不強(qiáng)．

盡管2011版的義務(wù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對估算內(nèi)容和要求做了進(jìn)一步的修訂、明確和深化，但是對于估算來講，這些內(nèi)容還是顯得比較單薄．如，2011版的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)在學(xué)段課程目標(biāo)和學(xué)段課程內(nèi)容中分別對估算提出的要求是：

學(xué)段課程目標(biāo)：第一學(xué)段：（知識(shí)技能·1）在具體情境中，能選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單的估算；（數(shù)學(xué)思考·1）在運(yùn)用數(shù)及適當(dāng)?shù)亩攘繂挝幻枋霈F(xiàn)實(shí)生活中的簡單現(xiàn)象，以及對運(yùn)算結(jié)果進(jìn)行估計(jì)的過程中，發(fā)展數(shù)感[3]．第二學(xué)段：（知識(shí)技能·1）理解估算的意義[3]．

學(xué)段課程內(nèi)容：第一學(xué)段：（數(shù)與代數(shù)·數(shù)的運(yùn)算·6）能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會(huì)估算在生活中的作用（參見例6）[1]．第二學(xué)段：（數(shù)與代數(shù)·數(shù)的運(yùn)算·9）在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算（參見例26、例27）[3]．

由以上可以看出，盡管課標(biāo)中對估算課程內(nèi)容和要求有些界定，但是對教師來講仍顯得不明確，系統(tǒng)性不強(qiáng)．比如，在加、減、乘、除等各種計(jì)算中如何利用估算預(yù)估或者檢驗(yàn)結(jié)果正確性等內(nèi)容則在課標(biāo)中的相關(guān)部分中都沒有涉及．

（2）教師對估算課程內(nèi)容理解不深且缺乏相應(yīng)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)借鑒．

“教師對估算內(nèi)容不熟悉、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)積累單薄以及過分追求估算解決問題的結(jié)果”也導(dǎo)致以上問題的出現(xiàn)．由于估算內(nèi)容是在新一輪（第八次）基礎(chǔ)教育課程改革中新添加的必學(xué)內(nèi)容，所以教師在這方面缺乏成功的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)借鑒，而且易把以往一些關(guān)于精算的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)不適當(dāng)?shù)剡w移到估算教學(xué)內(nèi)容中．比如，許多老師認(rèn)為估算的結(jié)果有唯一答案，當(dāng)面對學(xué)生的許多答案時(shí)不知如何評(píng)判；當(dāng)估算對解決問題無效時(shí)不知如何評(píng)判甚至對估算結(jié)果感到無法接受，等等．

（3）缺乏關(guān)于估算教學(xué)的專題性系統(tǒng)參考材料和針對性系統(tǒng)性的指導(dǎo)．

關(guān)于估算教學(xué)雖然已有許多研究，如有一些集中在估算能力、估算策略和估算意識(shí)方面[4～6]．從中國基礎(chǔ)教育期刊全文數(shù)據(jù)庫（1994—2012）中精確搜關(guān)鍵詞“估算”共有5 616條記錄，精確搜關(guān)鍵詞“估算教學(xué)”共有349條記錄；精確搜篇名“估算”共有1 540條記錄，精確搜篇名“估算教學(xué)”共有222條記錄．但是對于估算及其教學(xué)的專題性系統(tǒng)性研究和對估算及其教學(xué)的針對性系統(tǒng)性指導(dǎo)的研究明顯不足，尚需作進(jìn)一步研究和探討．

（4）以往精算教學(xué)的思想根深蒂固地影響了估算的學(xué)習(xí)和教學(xué)．

在教學(xué)中經(jīng)常見到，很多學(xué)生在做估算的題目時(shí)，會(huì)先把準(zhǔn)確值算出來，再利用準(zhǔn)確值來估算．究其原因，一是有些學(xué)生對估算的意義不理解，以為用正確值來估計(jì)是一個(gè)高明的辦法，實(shí)際上是不明白為什么要估算；二是有些題目用筆算也很簡單，學(xué)生覺得不需要估算就直接可以得出正確值，沒必要用估算；三是教學(xué)時(shí)一般先學(xué)計(jì)算準(zhǔn)確值，這樣就使得學(xué)生有了先入為主的印象，影響了估算的學(xué)習(xí)．這樣的估算教學(xué)，顯然是與課標(biāo)的要求是背道而馳的．事實(shí)上，課標(biāo)中的估算是指在一定的范圍內(nèi)對計(jì)算結(jié)果的大致估計(jì)，它是在不要求準(zhǔn)確值或者難以求出準(zhǔn)確值的情況下，在允許范圍內(nèi)迅速找出的計(jì)算結(jié)果，目的是及時(shí)做出決策．因此，估算要比一般的計(jì)算要求更高，它更加挑戰(zhàn)思維，要求學(xué)生要有良好的數(shù)感和靈活綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)的能力．

2.2 策略建議

針對當(dāng)前估算教學(xué)中的問題，結(jié)合原因分析，提出如下策略建議：

2.2.1 解決策略

（1）把握估算教學(xué)價(jià)值，確保育人價(jià)值實(shí)現(xiàn)．

估算的重要性日益突出，“隨著社會(huì)的發(fā)展，人們越來越注意到估算的重要性．在很多情況下，估算結(jié)果與精算結(jié)果是同樣適用的，甚至比精算結(jié)果更可取”[7]．估算課程內(nèi)容在實(shí)驗(yàn)版和修訂版課標(biāo)中的確定和保持，標(biāo)志著對估算教育價(jià)值的認(rèn)可：應(yīng)用估算不僅可以支持探索筆算方法，而且可以預(yù)測、解釋計(jì)算結(jié)果、監(jiān)控筆算的得數(shù)，表現(xiàn)為先估算再筆算和筆算后再估算等；同時(shí)，估算又是應(yīng)用解決實(shí)際問題較廣的一種有效方法．在數(shù)學(xué)課程中強(qiáng)調(diào)估算的主要原因，“一是與數(shù)學(xué)應(yīng)用有關(guān)，畢竟日常生活中經(jīng)常遇到的是估算而不是精確的計(jì)算，估算可以使數(shù)字與真實(shí)生活情境聯(lián)結(jié)起來，不至于使數(shù)字失去意義，并能判斷數(shù)字在情境中需要的精確程度；二是源自對數(shù)意識(shí)（數(shù)感）的重視．事實(shí)上，估算涉及理解數(shù)字大小、小數(shù)與分?jǐn)?shù)系統(tǒng)、修正調(diào)整數(shù)字的能力．而這些能力均包含在數(shù)意識(shí)的幾項(xiàng)特征中，因此，估算與數(shù)意識(shí)密切相關(guān)．若能擁有良好的估算能力，則對促進(jìn)數(shù)意識(shí)亦有幫助”[8]．另外，估算作為檢驗(yàn)精算是否正確的一種方法也是一個(gè)不可忽視的原因．

（2）正確定位估算與估算教學(xué)．

關(guān)于估算教學(xué)中出現(xiàn)的問題，要注意區(qū)分兩個(gè)方面的問題：一是關(guān)于估算內(nèi)容本身的問題；二是估算教學(xué)中的問題，前者反映的是學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)層面，而后者反映的是課程數(shù)學(xué)層面．在教學(xué)中需要正確定位估算與估算教學(xué)．

學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)定位．從數(shù)學(xué)的角度來看，估算是在算的基礎(chǔ)上進(jìn)行數(shù)量化的判斷，它是一種從模糊到逐漸清晰的數(shù)量化過程，是一種在算基礎(chǔ)上的合理假設(shè)和猜測．估算課程內(nèi)容的學(xué)術(shù)數(shù)學(xué)定位有利于保證其正確性和合理性．這一定位主要是為估算的教學(xué)尋找科學(xué)的根據(jù)，盡管估算的課程內(nèi)容與實(shí)際生活有密切的聯(lián)系，但是作為課程的估算應(yīng)該是有它的科學(xué)性的，離開的科學(xué)性是不能作為課程內(nèi)容的，其科學(xué)性就來源于學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)，學(xué)術(shù)的數(shù)學(xué)保證估算課程內(nèi)容的科學(xué)性．

課程數(shù)學(xué)定位．課程數(shù)學(xué)的估算定位，強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)、估算技能、估算能力和估算習(xí)慣（自動(dòng)化）．在教學(xué)中，要注意根據(jù)估算目的盡可能追求估算結(jié)果的精確性、追求估算過程的合理性、追求估算評(píng)價(jià)的導(dǎo)向性．這一定位主要是從教育的視角來考慮的，即要從學(xué)生認(rèn)知的視角來看待估算的課程內(nèi)容，要結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平對估算的課程內(nèi)容做出取舍，要進(jìn)行教學(xué)法加工．

（3）堅(jiān)持估算的特殊教學(xué)原則．

目前情況下，面對估算部分課程內(nèi)容的教學(xué)，應(yīng)該堅(jiān)持哪些原則呢？

一是小學(xué)生認(rèn)知水平性原則．估算的一些內(nèi)容是受到學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)制約的[9]，要根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)來確定估算教學(xué)內(nèi)容與方式，要注意多進(jìn)行學(xué)情調(diào)研，切實(shí)把握學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，有針對性地進(jìn)行估算教學(xué)．

二是生活實(shí)際性原則．估算與生活具有密切的關(guān)系，自覺地運(yùn)用估算有利于解決生活中的問題．教學(xué)中可以充分利用這一特點(diǎn)，貼近學(xué)生的現(xiàn)實(shí)，進(jìn)行貼近學(xué)生生活的針對性地估算教學(xué)．“創(chuàng)設(shè)更多的機(jī)會(huì)接觸現(xiàn)實(shí)生活和生產(chǎn)實(shí)踐中的數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生意識(shí)到在他們周圍的某些事物中存在著數(shù)學(xué)問題，體會(huì)到估算的必要性和優(yōu)越性．”[4]

三是估算意識(shí)滲透性原則．估算作為一種解決問題的策略，重要的是具有應(yīng)用估算的意識(shí)，因此在估算教學(xué)中要特別注意滲透估算意識(shí)，幫助學(xué)生逐步養(yǎng)成自覺運(yùn)用估算輔助解決問題或者正確及時(shí)做出決策的習(xí)慣．

四是直觀性原則．?dāng)?shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)是具有抽象性，抽象性的數(shù)學(xué)課程內(nèi)容非常需要直觀性的解讀，估算教學(xué)也不例外，特別是對低年級(jí)的估算教學(xué)，要善于借助合適的情境和呈現(xiàn)方式，在估算的過程中要注意運(yùn)用以上提出的表征方式，這樣的直觀性教學(xué)有利于學(xué)生估算的學(xué)習(xí)．

（4）把握估算課程內(nèi)容特征，采取針對性的教學(xué)策略．

一般來講，估算內(nèi)容具有4個(gè)基本特征：綜合運(yùn)算、方法多樣、估算結(jié)果多種、應(yīng)用廣泛（主要為決策服務(wù)）．綜合運(yùn)算突出了估算在綜合性的同時(shí)具有運(yùn)算的特點(diǎn)；方法多樣是指可以根據(jù)問題不同特點(diǎn)采用不同方法進(jìn)行估算；估算結(jié)果多種是指估算結(jié)果不唯一，只有好壞之分而無對錯(cuò)之分，而區(qū)分結(jié)果好壞的一般標(biāo)準(zhǔn)是能否解決問題或者精確程度；應(yīng)用廣泛（主要為決策服務(wù)）是指一般強(qiáng)調(diào)直觀整體上快速把握事情的全局，以利于做出決策及時(shí)處理面臨的問題．針對這些特征，在估算教學(xué)中要注意選擇針對性的教學(xué)策略．

一是要注意選擇好的情境和問題．估算離不開情境，只有適合的情境才是估算教學(xué)所需要的，否則，估算教學(xué)就失去了應(yīng)有之義，更達(dá)不到課標(biāo)對估算教學(xué)的要求．同時(shí)要注意選擇好的估算題目，要注意仔細(xì)斟酌題目中的數(shù)據(jù)，想清楚通過這些數(shù)據(jù)解決什么問題，這樣才能確保真正的估算教學(xué)．

二是要注意估算教學(xué)的階段性．估算教學(xué)內(nèi)容中是有難度之分的，影響這種難度的主要因素有問題本身的難度、所用運(yùn)算的難度和調(diào)整改進(jìn)的難度．要注意按照課標(biāo)的要求和學(xué)生的認(rèn)知水平，恰當(dāng)定位估算教學(xué)內(nèi)容的難易程度，確保對估算意識(shí)和估算能力的培養(yǎng)要做到心中有數(shù)，循序漸進(jìn)．

三是要對估算學(xué)習(xí)進(jìn)行合理的評(píng)價(jià)．估算學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)之所以引起關(guān)注，主要是因?yàn)楣浪悴呗缘亩鄻踊徒Y(jié)果的不唯一．對估算的評(píng)價(jià)，要注意引導(dǎo)學(xué)生對估算的策略進(jìn)行優(yōu)化，對估算的結(jié)果進(jìn)行調(diào)整．估算學(xué)習(xí)的評(píng)價(jià)不是簡單地對估算結(jié)果進(jìn)行對錯(cuò)判斷，而是要全面、科學(xué)和及時(shí)地對學(xué)生估算學(xué)習(xí)進(jìn)程中的策略和結(jié)果做出評(píng)價(jià)，在評(píng)價(jià)時(shí)要注意評(píng)判估算結(jié)果好壞的標(biāo)準(zhǔn)：一是與估算的過程與方法有關(guān)系，對于一個(gè)估算問題，可以用多種方法進(jìn)行估算，這些方法具有好壞之分而沒有對錯(cuò)之分，好壞的標(biāo)準(zhǔn)是能否解決問題和精確程度；二是估算過程中要注意根據(jù)即時(shí)獲得的信息進(jìn)行及時(shí)的調(diào)整，確保估算能為正確決策提供幫助；三是估算的學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)最好要求學(xué)生參與進(jìn)來，讓他們表達(dá)自己的看法，最后形成共識(shí)，這樣有利于學(xué)生對估算內(nèi)容的學(xué)習(xí)．“加強(qiáng)對估算的教學(xué)評(píng)價(jià)，雖然估算不同于精確計(jì)算，沒有固定的答案，考查具有一定的難度，但評(píng)價(jià)的形式是多樣的，因此可以采取不同的評(píng)價(jià)方式，在教學(xué)過程中評(píng)價(jià)，并把這些評(píng)價(jià)結(jié)果作為期末評(píng)價(jià)學(xué)生數(shù)學(xué)成績的一個(gè)方面．”[4]

2.2.2 做法建議

（1）深入研讀課標(biāo)及其解讀，切實(shí)把握教學(xué)的基本要求．

通過課標(biāo)修訂版的完善和課標(biāo)解讀，估算內(nèi)容進(jìn)一步得到了明確和深化，比如第一、二學(xué)段的課程內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)分別是：能結(jié)合具體情境，選擇適當(dāng)?shù)膯挝贿M(jìn)行簡單估算，體會(huì)估算在生活中的作用；在解決問題的過程中，能選擇合適的方法進(jìn)行估算．關(guān)于兩個(gè)學(xué)段對于估算的要求，在課標(biāo)解讀中特別指出兩者側(cè)重點(diǎn)不同：

“第一學(xué)段的估算強(qiáng)調(diào)在具體的情境中選擇合適的單位，例6中是選擇了1 000人作單位．一般來說，估計(jì)教室的長度時(shí)，通常以‘米’為單位；估計(jì)書本的長度時(shí)，通常以‘厘米’為單位．也可以用身邊熟悉的物體的長度為單位，如步長、臂長等，進(jìn)而體會(huì)估算在生活中的作用．第二學(xué)段強(qiáng)調(diào)學(xué)生在解決問題的過程中，選擇合適的方法進(jìn)行估算．這個(gè)問題可以是實(shí)際問題，也可以是數(shù)學(xué)本身的問題．課標(biāo)中的兩個(gè)例子，一個(gè)是現(xiàn)實(shí)問題，一個(gè)是純數(shù)學(xué)問題．例27就是一個(gè)數(shù)學(xué)問題．也可以鼓勵(lì)學(xué)生用自己的方法進(jìn)行估算．”[10]

又如，對于估算和精算的關(guān)系問題，在2011年版課標(biāo)解讀中做了解釋：

估算在解決實(shí)際問題中經(jīng)常用到，估算與精算相互補(bǔ)充，在實(shí)際運(yùn)用中有不同的功能．對于一些問題可能只需要估算，沒有必要一定要精算．如購物時(shí)，選擇一些物品后，先估計(jì)一下大約需要多少錢，自己帶的錢是否足夠（課標(biāo)例6）[10]．有時(shí)在精算的過程中也用到估算．如乘法運(yùn)算時(shí)先估計(jì)結(jié)果是幾位數(shù)，可以簡單判斷結(jié)果是否正確[10]．

以上這些解讀或者解釋，有利于教師明確和深入理解課標(biāo)對培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)、估算技能、估算能力以及靈活選擇合理的算法來解決問題的基本要求．

（2）整體梳理估算課程內(nèi)容，逐步有序?qū)崿F(xiàn)達(dá)標(biāo)．

估算的課程內(nèi)容在教材中比較分散，往往安排在相應(yīng)的精確運(yùn)算內(nèi)容中，而在教學(xué)時(shí)則需要整體梳理估算各部分內(nèi)容，以利于有序逐步實(shí)現(xiàn)課標(biāo)中的要求．梳理方式方法有多種，比如可以大致歸納為如下幾個(gè)方面：

一是估算概念、過程和策略問題．關(guān)于估算概念，有兩種描述：一是側(cè)重于發(fā)生過程，認(rèn)為估算是通過心算而得到問題合理的近似答案的過程，具有“以快速的心算為主要計(jì)算方式，以合理的猜測代替精確的計(jì)算結(jié)果，心算、數(shù)概念及各種計(jì)算技巧的綜合運(yùn)用”的特點(diǎn)；二是側(cè)重于本質(zhì)層面，認(rèn)為估算是指無法或沒必要進(jìn)行精確的數(shù)字處理或數(shù)字運(yùn)算，只對其中的一種數(shù)量關(guān)系進(jìn)行合理推斷的一種能力，估算有時(shí)也是為了檢驗(yàn)精算是否正確的一種方法；針對估算過程的調(diào)查研究認(rèn)為，“在7年級(jí)學(xué)生直至成人中，好的估算者使用3種估算過程：一是精簡，改變數(shù)據(jù)資料，即通過對數(shù)字的四舍五入、截?cái)嗳≈岛图嫒莸认嚓P(guān)的技能把數(shù)字重新改變成在心理上更友善的形式．如，用6+8+4來估算632+879+453，或用7 200÷60來估算7 431÷58；二是轉(zhuǎn)化，改變問題的結(jié)構(gòu)，即把數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)改變?yōu)橐粋€(gè)更容易的形式，如使用4×80來估算78+82+77+79的和，或者在估算百分?jǐn)?shù)時(shí)轉(zhuǎn)換為小數(shù)或分?jǐn)?shù)；三是補(bǔ)償，反映數(shù)學(xué)的變化，也即在心算之前或之后對結(jié)果進(jìn)行補(bǔ)償調(diào)整，使估算結(jié)果更接近精確值”[6]；針對估算策略研究顯示，“一個(gè)好的估算者至少擁有3種策略（Sowder，1992）：一是重組，改變數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)以改變心算；二是轉(zhuǎn)換，把原來結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)成更易處理的形式；三是調(diào)整，計(jì)算中及計(jì)算后，可調(diào)整估計(jì)值至較接近的近似值．”[8]“研究表明，估算策略技能的短期指導(dǎo)、干預(yù)對四～五年級(jí)（10歲左右）兒童的估算策略選擇有更大的影響”[6]．以上這些研究，有助于教師深刻理解估算的教學(xué)內(nèi)容，從而提高對估算教學(xué)的認(rèn)識(shí)．

二是估算的表征問題．估算中，有一個(gè)非常值得研究的問題就是表征問題，因?yàn)楸碚魃婕暗降氖枪浪闼季S過程的呈現(xiàn)，因此對于估算學(xué)習(xí)、教學(xué)和研究具有重要意義．所謂估算表征，就是在進(jìn)行估算時(shí)怎樣即時(shí)記錄估算的思考過程．在教學(xué)中怎樣表征估算比較好呢？下面的做法值得

參考：

以上表征中，用“↓”表示把某數(shù)估為某值，沒有估的數(shù)值就不用標(biāo)出；用“≈”表示估算的結(jié)果．如①中表示把195估為200．初步的教學(xué)實(shí)踐表明，這樣的表征能夠很好地暴露和展示估算的思考過程，有利于學(xué)生和教師對估算的學(xué)習(xí)和教學(xué)，同時(shí)有利于研究估算及其教學(xué)．

三是估算與其它知識(shí)之間的聯(lián)系問題．若把估算當(dāng)作孤立的點(diǎn)知識(shí)進(jìn)行教學(xué)，肯定達(dá)不到課標(biāo)要求的效果，這就需要建立估算與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系．目前在估算的教材編寫和教學(xué)中這一問題尤其突出．事實(shí)上，估算與其它知識(shí)具有密切的關(guān)系：估算是與精確計(jì)算（筆算、口算）相伴隨的數(shù)的運(yùn)算；估算是一種粗略的近似計(jì)算；估算可以滲透到測、計(jì)和算的各種情境中；從應(yīng)用的視角來講，不必要運(yùn)用精算的時(shí)候大多可用估算來解決實(shí)際問題，可能也正是因?yàn)楣浪阌星榫骋蟛棚@出其不同于精算的教學(xué)價(jià)值．

四是估算的應(yīng)用情境和估算意識(shí)的培養(yǎng)問題．估算的教學(xué)離不開估算的情境，何時(shí)用估算往往由問題的情境來決定．要注意根據(jù)情境來決定是否選擇估算來思考和解決問題，“由于估算一般都與實(shí)際問題有關(guān)，因此，估算技能的訓(xùn)練應(yīng)注意設(shè)置有意義的背景．研究表明，背景的使用在兩個(gè)方面提高了學(xué)生的能力：首先，估算背景可以幫助學(xué)生克服將在該背景中所需的運(yùn)算概念化的困難（如某數(shù)乘以比1小的數(shù)得到“更小的”數(shù)）；其次，估算背景還可以幫助學(xué)生回避運(yùn)算規(guī)則的回答（如在使用小數(shù)時(shí)，能夠在小數(shù)點(diǎn)后截去基本上沒有意義的數(shù)位）（Morgan, 1988）．”[8]同時(shí)，要注意根據(jù)估算的情境靈活選擇對已有數(shù)值的處理方法：大估、小估與大小估，必要時(shí)根據(jù)問題具體情況進(jìn)行調(diào)整．估算的應(yīng)用與估算意識(shí)具有密切的關(guān)系，一般來講，估算意識(shí)越強(qiáng)，越有利于選擇估算策略迅速做出決策或者解決問題，因此培養(yǎng)學(xué)生的估算意識(shí)有利于學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用估算解決問題的習(xí)慣，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感．

五是關(guān)于估算結(jié)果與評(píng)價(jià)的問題．與精算最大的不同是估算的結(jié)果不唯一，其結(jié)果是一種模糊粗略直觀的近似值，而且大多不準(zhǔn)確，有時(shí)準(zhǔn)確程度未必明確．估算結(jié)果與精確值的關(guān)系可以用精確度來衡量，一般來講，越好的估算，精確度越高，但也有例外，比如估算結(jié)果還與目的、情境有關(guān)系．估算結(jié)果的評(píng)價(jià)是一個(gè)現(xiàn)實(shí)問題，估算雖然沒有正誤之分，但有好壞之別．那么，怎樣的估算是好的或者好的估算的標(biāo)準(zhǔn)是什么？一般來講，好的估算應(yīng)該具備：估算的根據(jù)合理、策略方法科學(xué)（合自身的邏輯）和有利于達(dá)到解決問題的目的．估算的根據(jù)合理是指進(jìn)行估算時(shí)要有根據(jù)，而且這一根據(jù)是有一定道理的；估算的策略方法科學(xué)是指估算合自身的邏輯，能夠有助于正確地解決問題；估算有利于達(dá)到解決問題的目的是指估算的結(jié)果要盡可能地精確，能夠有效地解決問題．

六是關(guān)于估算技能和能力的問題．估算技能是一種用估算來解決問題的本領(lǐng)，而多種估算技能的聯(lián)合用來解決問題的本領(lǐng)則是估算能力．有研究者指出，“在學(xué)生估算之前，教師應(yīng)首先讓學(xué)生對數(shù)量做敏銳的判斷．例如，對中年級(jí)學(xué)生而言，應(yīng)該多讓學(xué)生在解題前自己判斷3 169+5 312與8 000哪個(gè)較大，而不只是機(jī)械地求出精確總和．事實(shí)上，估算是一種相當(dāng)復(fù)雜的技能，若學(xué)生在發(fā)展上尚未達(dá)到估算能力，教師應(yīng)避免估算技能的直接教學(xué)，否則將淪為沒有理解的背誦．此外，估算的重點(diǎn)不在求出估計(jì)值，而是學(xué)習(xí)判斷需要有多接近精確值（Sowder，1989）．因此，估算是決定答案是否合理的一種能力，這也是數(shù)感的特征之一．”[8]所以，估算能力是一種高于精確計(jì)算的綜合能力，有些問題運(yùn)用估算未必簡單，特別是涉及二次甚至是多次調(diào)整的問題．例如，

一座橋限重3噸．一輛貨車裝了6箱貨物，每箱285千克，車重986千克．這輛車可以安全過橋嗎？

在本題中，若把285估成300，用“大估”法，得到的結(jié)果應(yīng)比實(shí)際大，結(jié)合本題（橋限重）來講是能夠得到正確結(jié)論，即能安全過橋．而如果把285改為310千克，用“小估”法，得到的結(jié)論是能過；如果改為340千克，用“小估”法，得到的結(jié)論是不能過．事實(shí)上，要解決這些問題就需要估算的二次調(diào)整：若把310千克估成300千克，300×6=1 800千克，10千克×6=60千克，合起來也不超過2 000千克，再與986千克（不足1噸）合起來，不超過3噸，得到的結(jié)論是能過；而把340千克估成300千克，300×6=1 800千克，40千克×6=240千克，合起來超過2 000千克，還多40千克，再與986千克（比1噸少14千克）合起來整體估計(jì)，超過3噸，得到的結(jié)論是不能過．這種情況下問題雖然解決了，但太麻煩，甚至可能還不如用精算快，這樣就不能體現(xiàn)出用估算解決問題的好處．在教學(xué)中若遇到這種情況，就需要根據(jù)實(shí)際情況靈活處理，而不一定必須要求用估算來解決這一問題了．［參 考 文 獻(xiàn)］

[1] 馬立平．美國小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)之批評(píng)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（4）：1-4．

[2] 徐群飛．中美學(xué)生估算能力研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（1）：73-75．

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[6] 陳麗蘭．小學(xué)四～六年級(jí)兒童估算策略選擇的干預(yù)研究[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2011，20（3）：63-66．

[7] 陳麗蘭，劉鳴，曹景明．兒童估算策略選擇研究述評(píng)及展望[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009，18（3）：83-86．

[8] 鮑建生，周超．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]．上海：上海教育出版社，2009．

[9] 陳麗蘭．9～12歲兒童估算策略選擇的發(fā)展特點(diǎn)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2012，21（1）：48-51．

[10] 教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會(huì)．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)解讀：2011年版[M]．北京：北京師范大學(xué)出版社，2012．

Teaching on Estimation: Problems and Strategies

ZHENG Qing-quan
(1. Qilu Normal University, Shandong Jinan 250013, China; 2. Basic Education Curriculum Rensearch Centre of Shandong Province, Shandong Jinan 250013, China)

Teaching on estimation has attracted attention widely, there is a lot of confusion in the current teaching practice. Through the investigation some problems are found in content understanding the teaching cognition: logic of the content itself is not definite, understanding of the relationship between other knowledge is not clear, the application conditions of knowledge are lack, evaluation criteria to the results of estimation is not clear, understanding on teaching and learning is fuzzyand stage requirements on teaching are not clear. Some resolution strategies proposed to some problems above are: grasping estimation instructional value to ensure the realization of the value on educating people; correcting the positioning of the estimation and estimation on teaching; adhering to the special principles about estimation on teaching; grasping estimation courses content features, targeting strategies on teaching. Some suggestion is: studying deeply curriculum standards and their interpretation, grasping the basic requirements of teaching; arranging estimates course content overall, realizating the standards orderly and progressively.

teaching on estimation; problems; strategies

G420

：A

：1004-9894（2015）03-0096-06

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2014-12-26

山東省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃2010年度課題——數(shù)學(xué)創(chuàng)新性教學(xué)的理論與實(shí)踐研究（2010GG 224）

鄭慶全（1972—），男，山東蒙陰人，博士，副教授，曲阜師范大學(xué)兼職碩士生導(dǎo)師，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論和教師教育研究．