不確定性線性系統(tǒng)研究的現(xiàn)狀與方法

張玲 趙鵬起 孫立偉

摘 要：該文主要從現(xiàn)代控制理論存在問(wèn)題、主要特征和研究現(xiàn)況等方面對(duì)不確定性線性系統(tǒng)進(jìn)行充分調(diào)研，從而得出現(xiàn)代控制理論需要增加數(shù)學(xué)方法研究，希望對(duì)現(xiàn)代控制理論研究有所幫助。

關(guān)鍵詞：不確定性 線性系統(tǒng) 魯棒理論 軟約束

中圖分類號(hào)：TP13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2015）03（c）-0011-01

20世紀(jì)中葉，伴隨現(xiàn)代控制理論的蓬勃發(fā)展，線性系統(tǒng)理論也開(kāi)始引起學(xué)者關(guān)注，成熟的線性理論系統(tǒng)都要求建立精確的線性數(shù)學(xué)模型，這也是經(jīng)典理論存在的缺點(diǎn)，它難以有效處理不確定性或受約束的系統(tǒng)。科學(xué)家卡爾曼將狀態(tài)空間的描述引入到線性系統(tǒng)控制理論中，使得線性系統(tǒng)的研究方法和研究?jī)?nèi)容都取得一系列新突破。

1 現(xiàn)代工業(yè)控制理論

1.1 現(xiàn)代控制理論存在的問(wèn)題

（1）現(xiàn)代控制理論對(duì)于被控對(duì)象數(shù)學(xué)模型的精確度過(guò)分依賴。

實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程中，精確的數(shù)學(xué)模型難以建立，如果建立起精確的工業(yè)生產(chǎn)模型，往往由于模型過(guò)于復(fù)雜難以得出合理的理論，從而不得不對(duì)于控制器進(jìn)行簡(jiǎn)化合并。

（2）生產(chǎn)過(guò)程非理想過(guò)程。

實(shí)際工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程由于溫度和外部干擾經(jīng)常伴隨著非線性或不確定性變化。這種不確定性不可能通過(guò)精確的數(shù)學(xué)計(jì)算而得到，因此數(shù)學(xué)意義上的最優(yōu)化處理對(duì)于實(shí)際過(guò)程就失去實(shí)際意義，甚至?xí)霈F(xiàn)反作用，導(dǎo)致產(chǎn)品品質(zhì)嚴(yán)重下降而無(wú)法正常生產(chǎn)。

（3）狀態(tài)空間法本身的缺陷。

實(shí)際應(yīng)用領(lǐng)域中，各種生產(chǎn)過(guò)程、設(shè)備等對(duì)象是動(dòng)態(tài)變化，難以精確的描述；即使獲得精確的數(shù)學(xué)模型，由于條件多，過(guò)于復(fù)雜現(xiàn)有控制系統(tǒng)無(wú)法實(shí)現(xiàn)，因此對(duì)這類數(shù)學(xué)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化。另外，設(shè)計(jì)出的精確模型，隨著生產(chǎn)過(guò)程中工作條件變化，控制系統(tǒng)內(nèi)和被控對(duì)象都發(fā)生變化，這種因素的變化使數(shù)學(xué)模型不可避免的存在誤差。

1.2 現(xiàn)代工業(yè)控制顯著特征

現(xiàn)代工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程關(guān)聯(lián)復(fù)雜，研究對(duì)象結(jié)構(gòu)和參數(shù)時(shí)變，環(huán)境干擾不確定性等特征，然而傳統(tǒng)的優(yōu)化控制需要精確的數(shù)學(xué)模型，往往優(yōu)于單純調(diào)節(jié)，現(xiàn)在問(wèn)題在于如何適應(yīng)動(dòng)態(tài)控制中，形成符合復(fù)雜工業(yè)過(guò)程優(yōu)化控制模式。

目前復(fù)雜工業(yè)控制優(yōu)化問(wèn)題與傳統(tǒng)理論不一致，它的主要特征如下。

（1）性能指標(biāo)與約束條件。

傳統(tǒng)控制理論中，優(yōu)化的性能指標(biāo)和約束條件界限分明，而在復(fù)雜的工業(yè)環(huán)境中，二者的區(qū)別已被淡化，而且可以相互轉(zhuǎn)化。

（2）約束條件分類。

根據(jù)要求條件的重要性，約束條件分為三類：

根據(jù)控制系統(tǒng)物理性質(zhì)和安全性考慮，對(duì)控制變量有著硬性要求，也就是“硬約束”，這類要求在控制過(guò)程中必須滿足，否則違反規(guī)定或不能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)。

“軟約束”條件為滿足某種產(chǎn)品質(zhì)量要求，存在一些彈性變化。例如控制水分含量在5%以內(nèi)，0%～5%是軟約束，一旦超過(guò)5%時(shí)，就破壞產(chǎn)品質(zhì)量，從而“軟約束”轉(zhuǎn)化為“硬約束”。

為提高生產(chǎn)效率和產(chǎn)品質(zhì)量，從而追求更高附加值，從而進(jìn)一步考慮一種“更軟的約束”，這就需要不確定性模型和約束條件。

現(xiàn)代復(fù)雜工業(yè)控制對(duì)象中幾乎所有的控制系統(tǒng)都有不確定性約束條件，尤其是隨著產(chǎn)品質(zhì)量和經(jīng)濟(jì)效益要求不斷提高，從而使的控制系統(tǒng)的工作點(diǎn)不斷接近邊緣化，此時(shí)，線性有約束不確定系統(tǒng)優(yōu)化控制問(wèn)題研究就具有很重要的實(shí)際意義。

2 研究現(xiàn)狀和主要方法

有約束的線性不確定控制問(wèn)題主要是研究不確定線性系統(tǒng)，在固定條件下設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)從而獲得某種性能指標(biāo)最優(yōu)，即最優(yōu)化控制。所用方法有中，約束控制方法保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)存在非線性控制規(guī)律；拉格朗日乘子法解決具有初始狀態(tài)線性約束控制問(wèn)題；凸集合理論用作解決有狀態(tài)和控制約束的線性離散系統(tǒng)控制問(wèn)題；滾動(dòng)優(yōu)化策略實(shí)現(xiàn)約束系統(tǒng)的控制問(wèn)題，但對(duì)于解決二次型導(dǎo)致的非線性困難具有較重的計(jì)算負(fù)擔(dān)。

2.1 魯棒理論

為能夠廣泛應(yīng)用現(xiàn)代控制理論，自適應(yīng)控制盒魯棒控制成為控制理論研究熱點(diǎn)。一般而言，系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際中參數(shù)有些差異，而實(shí)際生產(chǎn)中控制大多基于數(shù)學(xué)模型，為減少外界系統(tǒng)干擾和系統(tǒng)不確定，促進(jìn)研究魯棒控制問(wèn)題，這樣控制研究的重點(diǎn)變?yōu)榫€性矩陣不等式的攻克。為進(jìn)一步解決實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中最優(yōu)化控制問(wèn)題，很多數(shù)學(xué)工具被充分利用，例如變分法、動(dòng)態(tài)規(guī)劃和極大值原理。

2.2 滾動(dòng)時(shí)域控制

滾動(dòng)時(shí)域控制是一種新型控制方法，又被稱為模型預(yù)測(cè)控制。其最大優(yōu)點(diǎn)在于能夠優(yōu)化并顯示被系統(tǒng)約束條件，并且動(dòng)態(tài)滿足，但它不能采用全局優(yōu)化目標(biāo)，而是采用滾動(dòng)時(shí)域策略。這種策略操作導(dǎo)致有限優(yōu)化目標(biāo)只能得到全局次優(yōu)解，而難以兼顧失配、時(shí)變、干擾等引起的不確定性，從而難以及時(shí)進(jìn)行彌補(bǔ)，因此需要把優(yōu)化建立在實(shí)際生產(chǎn)的基礎(chǔ)上，從而使保持實(shí)際最優(yōu)。因此滾動(dòng)時(shí)域控制需要兼顧未來(lái)長(zhǎng)時(shí)間理想優(yōu)化，又要考慮實(shí)際生產(chǎn)過(guò)程中不確定影響，從而適應(yīng)復(fù)雜的實(shí)際生產(chǎn)環(huán)境。

2.3 線性矩陣不等式

隨著求解凸優(yōu)化問(wèn)題，線性矩陣不等式再次受到控制界的關(guān)注，并且應(yīng)用到系統(tǒng)控制的各領(lǐng)域。復(fù)雜控制問(wèn)題多數(shù)可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)線性矩陣不等式系統(tǒng)的可行性問(wèn)題，或者是一個(gè)具有線性矩陣不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題。線性矩陣不等式優(yōu)勢(shì)在于可以應(yīng)用求解凸優(yōu)化問(wèn)題并且可以有效方法求解。根據(jù)凸約束條件設(shè)計(jì)出控制器，不單得到滿足設(shè)計(jì)的控制器，而且還得到任意凸約束條件的可行解，這樣可以得到滿足條件的一組控制器。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)現(xiàn)代控制理論現(xiàn)況分析和研究進(jìn)展的調(diào)研，從而得到數(shù)學(xué)中的線性矩陣不等式起著重要作用，從而為進(jìn)一步理論研究提供參考依據(jù)。

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