經歷·反思·溝通·運用

李安宏

一、經歷過程，積累策略經驗

有效的教學應該讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型的過程。策略是主體心理活動的產物，是從方法里提煉的認知，它只能在解決問題的過程中，通過活動經驗的不斷積累自主獲得，而不能直接從外部強行輸入。所以，讓學生經歷策略的形成過程是解決問題策略教學的重要目標之一。

教學“解決問題的策略——假設”，課一開始，教師出示準備題：小明把630毫升的果汁倒入7個同樣大的杯子里，正好倒滿，平均每個杯子的容量是多少毫升？

例1，小明把630毫升的果汁倒入6個小杯和1個大杯，正好倒滿。小杯的容量是大杯的，小杯和大杯的容量各是多少毫升？

師：跟前一題比，例題難在哪里？

根據學生的回答，教師進行歸納并板書，例題有“兩種未知量”“不能直接平均分”，準備題只有“一種未知量”“可以直接平均分”。通過以上強烈的對比，學生體會到例題“有兩種未知量，且它們之間存在倍數關系”的結構特點，引發認知沖突，進而產生把復雜問題轉化成簡單問題的心理需求，激起進一步探究的欲望。

接著教師引導學生通過找數量關系，感知條件和問題之間的聯系，打開解題的思路，留出大量的時間和空間，讓學生獨立思考，自主經歷用假設策略解題的全過程，大膽、充分地讓學生展示、交流不同的解決問題的思路。

1.假設都倒入小杯。

讓學生用學具擺一擺假設的過程，追問：為什么把1個大杯換成3個小杯，只用1個小杯替換行嗎？（明確等量替換概念）

師：現在就相當于把630毫升果汁倒入9個小杯，列式——小杯：630÷（6+3）=70（毫升），大杯：70×3=210（毫升）。

2.假設都倒入大杯。

學生用學具擺一擺假設的過程，現在就相當于把630毫升果汁倒入3個大杯，學生列式——6÷3=2（杯），大杯：630÷（2+1）=210（毫升），小杯：210÷3=70（毫升）。

3.列方程。

設小杯的容量是x毫升，那么大杯容量可以怎么表示？為什么？（明確1個大杯相當于3個小杯的數量關系）讓學生明確方程也是一種假設，與假設都倒入小杯的想法一樣，只是用方程的形式表現出來。

通過師生對話、生生對話，學生完整地經歷了用假設策略解決問題的思考過程，積累了解決問題的活動經驗，體驗到化難為易策略的價值。

二、回顧反思，建立數學模型

模型思想是《義務教育數學課程標準（2011）》的十大核心概念之一，幫助學生建立相關知識的數學模型也是解決問題教學的重要目標。在每個解決問題策略的學習中，修訂后的蘇教版教材都安排了“回顧和反思”的環節，是希望學生在解決問題后，能回頭望一望、想一想，思索并回顧解決問題過程中的經驗和體會，豐富對策略的感知，幫助學生建立解決某一類問題的數學模型。

例如，本課教材是這樣安排的：回顧解決問題的過程，你有什么體會？當學生有困難時可引導討論：①為什么假設？②怎樣假設？③假設后是怎樣思考的？教師通過試教，發現這種形式的“回顧和反思”，學生沒有主動思考，不能自主對學習內容進行反思總結，導致“該環節”浮于表面，形式化明顯，不利于學生建立數學模型。因此，教師從幫助學生建立數學模型的角度設計了兩個問題讓學生討論：①剛才解決的這道題目有什么特點？②解決這個問題你是用到了哪些策略和方法？

學生討論后反饋。

生：這道題有兩種不同的杯子。有兩種未知量。這兩種量還有倍數關系。

生2：我用到了假設的策略。

師（追問）：你具體是怎么假設的？

生：我可以假設“都倒入小杯”來思考，也可以假設“都倒入大杯”進行思考。

師：也就是說通過假設把“兩種未知量”轉化為“一種未知量”，還用到哪些具體的方法？

生：可以通過畫圖來幫助理解題意。假設后可以采用方程法解答。

通過這樣的反思，幫助學生建立“解決有兩種未知量，且這兩種量之間存在倍數關系”這一類數學問題的模型，使反思切合學生的實際，更具實效。

三、溝通聯系，形成策略系統

策略是根據事物發展而制定的方針與對策，學生對策略的掌握一般要經歷從模仿到逐步內化。解決問題策略教學不僅要讓學生經歷策略的形成過程、建立數學模型，還要幫助學生溝通知識的前后聯系，形成知識系統，讓學生認識到策略的形成是一個漫長的過程。

例如本課，教師和學生一起回顧：“在以前的學習中，我們曾經運用假設的策略解決過哪些問題？”通過交流發現，假設的策略早已用過：①估算98+305時，把接近整十或整百數看作整十或整百數。②二年級學習乘減時，列式3×4-1，就是假設成一共有3行，每行有4個，然后減去多算的1個。③四年級學習除法試商時，192÷39把39想成40，估計出商是4。

從二年級的初步接觸、體驗，到六年級的提煉、提升，教材的安排就是要讓學生體驗策略的形成要經歷一個漫長的過程。同時，我們也要認識到，憑一個單元的教學并不能完成學生策略意識的培養，策略意識的培養應該滲透在每一單元、每一次的解決問題中。就如本課學生在運用假設策略解決問題，經歷策略形成過程中，就離不開以前學過的“畫圖策略”的幫助。只有通過長期的策略學習，不斷積累解決問題的策略和方法，才能幫助學生在解決問題的過程中學會運用策略，形成知識系統，感悟數學思想方法。

四、靈活運用，提升策略價值

在數學教學過程中，獲得具體問題的結論和答案不是解決問題策略的主要價值，更重要的，在于讓每個學生獲得對問題的深入理解，形成解決問題的基本策略，體會并提升策略的獨特價值。通過教學，可以設計有針對性的練習讓學生不斷思考——這類問題的特點是什么？為什么要使用這種策略，使用這種策略有什么好處？

例如，教學本課，在練習環節，教師先出示右圖，要求出鋼筆和鉛筆的單價各是多少元？

學生獨立思考后，發現本題缺少了“鋼筆和鉛筆單價之間的倍數關系”這個條件，無法解決。這樣的教學幫助學生完善這類問題的數學模型，積累了解決問題的經驗。接著補上條件“鋼筆的單價是鉛筆的6倍”，然后讓學生獨立列式。

假設10.8元買的都是鉛筆，10.8÷（3+6）=1.2（元），1.2×6=7.2（元）。

師：還有別的方法嗎？

師：如果假設10.8元全部買鋼筆，這樣假設行嗎？

生：鉛筆沒有6支不能換1支鋼筆。

生：生活中沒有半支鋼筆。

教師沒有馬上評價，過了一會兒。

生：老師可以換的，我們可以把“3支鉛筆的價錢”看成“0.5支鋼筆的價錢”，這樣10.8元就是1.5支鋼筆的價錢了。

生：對，假設不是真的換，我可以在頭腦里把3支鉛筆想象成0.5支鋼筆。

這時有部分學生若有所悟地點點頭，教師趁機引導：同學們，其實假設并不是操作，雖然現實生活中不會出現0.5支鋼筆，無法操作，但我們可以在頭腦里假想，這就是假設的優勢。

這樣的練習設計能讓學生在解決問題的過程中體驗策略、感受價值，逐步提升策略的合理性，達到對策略的深度理解。

（作者單位：福建省寧德市蕉城區實驗小學 責任編輯：王彬）endprint