用浮阻力模型研究 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘導(dǎo)混合*

楊 玟,王 麗 麗,2,周 海 兵,2,張 樹 道,2

(1.北 京應(yīng)用物理 與計算數(shù)學(xué) 研究所,北 京 100094; 2.北京大學(xué)應(yīng)用物理與技術(shù)研究中心,北京100871)

用浮阻力模型研究 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘導(dǎo)混合*

楊 玟1,王 麗 麗1,2,周 海 兵1,2,張 樹 道1,2

(1.北 京應(yīng)用物理 與計算數(shù)學(xué) 研究所,北 京 100094; 2.北京大學(xué)應(yīng)用物理與技術(shù)研究中心,北京100871)

采用浮阻力模型對激波管低壓縮和激光加載高壓縮情況下的 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘導(dǎo)混合現(xiàn)象進(jìn)行了研究。通過與實 驗 和 理 論 分 析 結(jié) 果進(jìn) 行 比 較 發(fā) 現(xiàn):為 了 達(dá)到 好 的 吻 合,Richtmyer-Meshkov不穩(wěn) 定性情況下 阻力系數(shù)的 取值范圍(2.0~5.36)比 Rayleigh-Taylor不 穩(wěn) 定 性 情 況 下 的 值 (3.3~4.0)寬 得多;而在 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性情況下,高壓縮時阻力系數(shù)的不確定度(約 為3.36)明顯高于低壓縮 時的值(約為1.46),模型的進(jìn)一步完善還有待于更精確實驗的驗證。研究顯示:指數(shù)律經(jīng)驗公式中指數(shù)隨工況的不同而顯著變化,目前工程設(shè)計中采用指數(shù)律經(jīng)驗公式是粗糙的。

流體力學(xué);Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性;浮阻力模型;擾動界面;壓縮比

當(dāng)沖擊作用于不同密度或不同可壓縮性2種物質(zhì)的擾動界面時產(chǎn)生 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性(RMI)。 這 種 不 穩(wěn) 定 性 理 論 上 由 Richtmyer發(fā) 現(xiàn) 并 描 述[1],由 Meshkov 從 實 驗 中 證 實[2]。 該 界 面 不穩(wěn)定性問題在 許多自 然現(xiàn)象 及科學(xué) 和工程 領(lǐng)域中 起著重 要作用[3-8],如 超新星 爆炸、磁 化等離 子 體 、磁 約束、太陽磁化層、地下鹽礦、火山島及外殼與內(nèi)部流體混合導(dǎo)致中子收益降低的激光驅(qū)動慣性約束聚變和沖擊波與火焰相互作用導(dǎo)致的爆燃轉(zhuǎn)爆轟等。此外,RMI也可能從受沖擊的金屬表面產(chǎn)生噴射物。

RMI的演化通常經(jīng)歷由不穩(wěn)定模式的振幅hk和波長λ=2π/k描繪的若干階段。對于khk?1,擾動隨k Ut呈正比例增長,U 為激波作用后的界面運動速度。當(dāng)khk達(dá)到某一值,非線性使增長率降低,驅(qū)動模式耦合,且增長率隨著擾動譜寬的增大而減小。然后,由于尖釘下落(重流體進(jìn)入輕流體)比氣泡上升(輕流體進(jìn)入重流體)快,界面變得不對稱。對于寬的不穩(wěn)定譜,非線性最終導(dǎo)致產(chǎn)生湍流混合層。RMI的脈沖性質(zhì)令問題復(fù)雜,使得 RMI定性上與常見的 Rayleigh-Taylor不穩(wěn)定性(RTI)不同。由于沖擊的可壓縮性、復(fù)雜的物質(zhì)特性以及后期的非線性運動直至湍流混合,RMI演化的計算是困難的。當(dāng)然,隨著計算機技術(shù)的迅猛發(fā)展,這可以采用多維高分辨率流體力學(xué)模擬來進(jìn)行,但它們計算強度大,無法用于工程設(shè)計優(yōu)化研究。因此,目前實際應(yīng)用中通常采用捕捉較低分辨率時不穩(wěn)定流動主要特征的 簡 化“混 合 模 型 ”[9]。 楊 玟 等[10-11]對 此 進(jìn) 行 了 嘗 試 ,將 傳 統(tǒng) 的k-ε模 型 應(yīng) 用 于 界 面 不 穩(wěn) 定 性 引 起 的 混合,取得了令人滿意的結(jié)果。

但是,由于與 RMI相關(guān)的其它物理過程非常復(fù)雜,較復(fù)雜的混合模型(如k-ε)也難以直接應(yīng)用到工程設(shè)計中。目前,很多實際應(yīng)用中對 RMI誘發(fā)混合現(xiàn)象的處理都非常簡單,假設(shè)混合層寬度以指數(shù)形式tθi增長。而大量實驗研究表明該比例關(guān)系仍不 確 定[3-6],因 為 考 慮 壓 縮 性 的 計 算 是 困 難 的,它 們 與 實驗不符。即使指數(shù)律粗略滿足,但不同工況下θi的差別也很大,它顯著依賴于初始擾動譜。由此可見,工程設(shè)計中對RMI誘發(fā)混合現(xiàn)象的處理過于粗糙。

本文中,在簡單介紹描述作用于混合層中產(chǎn)生的氣泡和尖釘?shù)母∽枇δＰ突A(chǔ)上,采用該模型對激波管低壓縮情況和激光加載高壓縮情況下的RMI誘發(fā)混合層寬度(氣泡與尖釘寬度之和)進(jìn)行計算,驗證模型和選取參數(shù)的有效性。

1 模型介紹

目前,典型的 浮阻力 模型可 寫為如 下形式[12]:

式 中 :下 角 標(biāo)i,j表 示 2 種 不 同 的 流 體 ,下 角 標(biāo) 為 1 時 表 示 重 流 體 (尖 釘 ),為 2 時 表 示 輕 流 體 (氣 泡 );ρi為 重 流 體/輕 流 體 的 密 度 ;vi是 尖 釘/氣 泡 的 滲 透 速 度 ,且vi=d hi/d t,hi表 示 尖 釘/氣 泡 的 瞬 時 寬 度 ;Ca是 附 加 質(zhì) 量 力 系 數(shù) ;β是 浮 力 產(chǎn) 生 的 模 型 常 數(shù) ;Cd是 阻 力 系 數(shù) ;a(t)為 激 波 脈 沖 加 速 度 ;Vi為 尖 釘/氣 泡的體積,Ai為尖釘/氣泡的截面積。方程左端第一項為慣性力,第二項為浮力,右端為阻力。關(guān)于模型的詳細(xì)論述可參考文獻(xiàn)[13-14],這里不再重復(fù)。對于 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性,通常認(rèn)為沖擊簡單地給予界面上的氣泡和尖釘一個脈沖,則它們隨后的運動可以由慣性力和阻力相等來得到(加速度為零)。因此脈沖加速度情況是有啟發(fā)性的,可以用來研究不穩(wěn)定性的慣性特性。

本文所求解的模型方程是一組二階常微分方程,將它們簡化為一階微分方程:d hi/d t=vi;d vi/d t= -fiCdvi|vi|/hi。 采 用 四 階 Runge-Kutta方 法 進(jìn) 行 求 解 。

2 結(jié)果分析與討論

采用上述模型和數(shù)值方法,對關(guān)注的激波管低壓縮情況和激光加載高壓縮情況下模型的性能進(jìn)行了考察。這2種工況下RMI產(chǎn)生的機理不同:對于弱沖擊,主要貢獻(xiàn)來自于壓力梯度和密度梯度不重合引起的旋渦沉積;對于強沖擊,存在激波在經(jīng)折射后產(chǎn)生了顯著的反射,這產(chǎn)生增長率的振蕩,但它們最終衰減。

2.1 激波管低壓縮的情況下的模擬

首先采用上述模型對4種不同激波脈沖加速度情況下氣泡和尖釘寬度進(jìn)行了計算。圖1給出了所采用的4種加速度曲線,g為重力加速度。脈沖加速 度a約 為150g,持 續(xù) 時 間t0約 為10 ms。 這 些 曲線 為 LANL 的 Dimonte 等 LEM(Linear Electric Motor)實 驗 的 測 量 曲 線[15]。 實 驗 中 流 體 和 脈 沖 加速 度 的 性 質(zhì) 參 數(shù) 見 表1,其 中R為 密 度 比,R=(1+ A)(1-A),A為 Atwood 數(shù), We為韋伯?dāng)?shù),Re為雷諾數(shù)。對于每一種情況,通過調(diào)整 阻 力 系 數(shù)Cd和 初 始 振 幅hi0來 使 隨 時 間 變 化 的解與實驗數(shù)據(jù)相符。但是,數(shù)值實驗發(fā)現(xiàn):在大多數(shù)情 況 下hi0對 結(jié) 果 的 影 響 遠(yuǎn) 小 于Cd的 影 響 。

圖2給出了4種加速度驅(qū)動下氣泡和尖釘寬度隨 位 移Z的 變 化,,激 波 作 用 時Z≈Ut。

圖1 計算采用的4種不同脈沖加速度曲線Fig.1 Four kinds of impulsive accelerations used in the calculation

由圖可見,4種加速度情況下計算的氣泡和尖釘寬度與實驗基本吻合。計算中阻力系數(shù)Cd的取值為3.67±0.73,與文獻(xiàn)[16]中分析得到的Cd的不確定度1.2接近。從圖中還可看 出:氣泡和尖釘?shù)?不 對稱性隨著密度 比R的增大 而增大 。此外 ,本文 中還對 實驗結(jié) 果按指 數(shù) 律hi=hi0tθi進(jìn) 行 了 擬 合,其 中hi0的 取 值 范 圍 為 0.5~1.0 cm。R=49.1 時 ,θ1≈0.85,θ2≈0.33;R=23.4 時 ,指 數(shù) 迅 速 下 降 ,θ1≈0.45,θ2≈0.24;R=1.57 時 ,θ1≈0.28,θ2≈0.22。 由 此 可 見 ,指 數(shù)θi隨 密 度 比 變 化 而 變 化 ,但 具 體 變 化 規(guī) 律還未從數(shù)值模擬和實驗中最終確定,這主要是由于θi對實驗初始條件敏感,需要計算和實驗之間更直接的比較。

表1 實驗中采用的流體和脈沖加速度性質(zhì)參數(shù)Table 1 Fluid combinations and characteristics for impusive accerleration experiments

圖2 氣泡和尖釘寬度隨位移的變化Fig.2 The width of bubble and spike with displacement

2.2 激光加載高壓縮情況下的模擬

為了考察模型在高壓縮情況下的性能,我們進(jìn)一步對 Nova激光器上馬赫數(shù) Ma>10的實驗進(jìn)行了模 擬。 實 驗 采 用 一 靶 丸 裝 置 在 Nova 激 光 器 上 進(jìn) 行[17]。 流 體 1 由 厚 度 為 125μm、初 始 密 度 為1.7 g/cm3的鈹燒蝕層組成。流體2是未壓縮密度為0.12 g/cm3的泡沫。波速為46 km/s的入射沖擊與界面相互作用產(chǎn)生反射稀疏波和速度為3 km/s的透射激波。界面經(jīng)加速后速度為56 km/s,物質(zhì)被壓 縮 后 ,ρ1=2 g/cm3,ρ2=0.5 g/cm3,A=-0.6。 這 些 參 數(shù) 通 過 對 比 熱 比γ1=1.8 和γ2=1.45 的 流 體求解理想的黎曼問題得到。

圖3給出了 Nova實驗中計算的加速度曲線。由圖可見,激光驅(qū)動在4 ns后停止,這導(dǎo)致泡沫減壓,由于A<0而產(chǎn)生 Rayleigh-Taylor(RT)分量,因此沖擊壓縮后流動是亞音速的,本文模型是適用的。圖4給出了混合區(qū)總寬度H隨位移Z的變化(由于實驗不能分辨氣泡和尖釘,因此給出了總振幅H)。從圖中可看出:混合區(qū)總寬度的計算值與實驗值吻合,而且Cd=2.0和Cd=5.36的曲線之間包括了全部的實驗數(shù)據(jù)。但是,阻力系數(shù)Cd的不 確 定 度約為 3.36,明 顯 大 于低壓縮情況 的 值(約 為1.46)。此外,擬合得到總的混合寬度以指數(shù)為0.5的指數(shù)律增長,這超過了激波管低壓縮時得到的指數(shù),推測其原因可能是:(1)激光驅(qū)動隨時間減小,使得壓力降低、界面減速,這導(dǎo)致擾動膨脹,并引入 RT 分量(因為Aa>0)。這些影響可能顯著增加推測的指數(shù);(2)A=0.6時 Nova上的初始擾動比激波管 上 的更對稱,如果指數(shù)對初始條件敏感,這可能導(dǎo)致不同的指數(shù)。

圖3 Nova實驗中的加速度曲線Fig.3 Acceleration history for Nova experiment

圖4 混合區(qū)寬度隨位移的變化Fig.4 Variaion of total width with displacement

3 結(jié) 論

采用浮阻力模型對激波管低壓縮和激光加載高壓縮情況下 Richtmyer-Meshkov不穩(wěn)定性誘發(fā)的物質(zhì)滲透邊界的演化過程進(jìn)行了計算,計算結(jié)果與實驗吻合得較好。這表明本研究中模型參數(shù)的選取、方程中現(xiàn)象學(xué)比例因子的添加和模型假設(shè)是合適的。但是由于實驗測量的局限性,模型中的一些問題仍然是突出的,包括阻力項的大小和形式、壓縮的影響、“附加質(zhì)量”的描述等。為了更好地評估模型,需要一些實驗上的完善。首先,氣泡和尖釘必須單獨分辨,因為它們的表現(xiàn)相當(dāng)不同,尤其在A較大的情況。其次,實驗持續(xù)時間應(yīng)當(dāng)延長至足以揭示模型的差別為止。盡管如此,本文模型仍明顯優(yōu)于當(dāng)前實際應(yīng)用中所采用的經(jīng)驗公式(本研究也顯示指數(shù)θi隨工況的不同而顯著變化)。

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Study on mixing induced by Richtmyer-Meshkov instability by using buoyancy-drag model

Yang Min1,Wang Li-li1,2,Zhou Hai-bing1,2,Zhang Shu-dao1,2
(1.Insitute of Applied Physics and Computational Mathematics,Beijing 100094,China; 2.Center for Applid Physics and Tchnology,Peking University,Beijing 100871,China)

The mixing induced by Richtmyer-Meshkov instability under lower and high compression ratios is studied by using buoyancy-drag model.It is found by the comparison between the experimental and theoretical analytic results that in order to achieve good agreement,the range of the drag coefficient value chosen in Richtmyer-Meshkov instability is much wider than that in Rayleigh-Taylor instability;while in Richtmyer-Meshkov instability the uncertainty of the drag coefficient under high compression is larger than that under lower compression.It is pointed that the further improvement of the model needs to be validated by more accurate experiment.Moreover the study reveals that the exponent in empirical expression varies with calculation conditions remarkably and the use of the empirical expression in current engineering design is rough.

fluid mechanics;Richtmyer-Meshkov instability;buoyancy-drag model;disturbed interface;compression ratio

O358國標(biāo)學(xué)科代碼:13025

:A

10.11883/1001-1455(2015)03-0423-05

(責(zé)任編輯 王小飛)

2013-11-28;

2014-06-28

國家 自然科學(xué)基 金項目(11072040);裝 備預(yù)研重點 實驗室基金 項目(9140C690204120C69259);中國 工程物理研 究院科學(xué)技 術(shù)發(fā)展基金 項目(2012B0201028、2012B0201030)

楊 玟(1970- ),女,博士,副研究員,yang_min@iapcm.ac.cn。