由一道中考題的解法探究引發的思考

吳曙 梁宇 鄒循東

【關鍵詞】中考題 解法分析 教學啟示

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）04A-

0022-02

數學教學強調數學創新思維的培養。在課堂教學過程中，為了提高學生的創新思維能力，克服思維定勢帶來的局限性，產生更多的創造性的成果，教師可以通過一題多解的教學來達到這個目的。以下是江蘇省泰州市的一道中考題，筆者通過對其解法進行探究，拋磚引玉，希望能引起教師的關注，在今后的教學中有針對性地進行訓練，培養學生的數學創新思維能力。

1.例題呈現

如圖，已知直線l與☉O相離，OA⊥l于點A，OA=5，OA與☉O相交于點P，AB與☉O相切于點B，BP的延長線交直線于點C.

（1）試判斷線段AB與AC的數量關系，并說明理由.

（2）若PC=2，求☉O的半徑和線段PB的長.

（3）若在☉O上存在點Q，使△QAC是以AC為底邊的等腰三角形，求☉O的半徑r的取值范圍.

2.解法分析

以該題的（1）問為例，試判斷線段AB與AC的數量關系。通過觀察及日常解題經驗我們可以猜測AB=AC，以下只需找出能證明其成立的條件即可?；仡櫝踔兴鶎W知識，可以聯想到判斷兩條線段相等的常用方法和涉及的定理有以下幾種：

2.1 關于三角形的性質及定理

①兩線段是等腰三角形的兩腰，證明等角對等邊.

②證明兩個三角形全等，可得出對應邊相等.

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊.

④線段中垂線性質，即線段垂直平分線上的點到這條線段的兩個端點的距離相等.

⑤角平分線性質，即角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等.

2.2 關于特殊四邊形的性質及定理

①平行四邊形的對邊相等、對角線互相平分.

②矩形的對角線互相平分且相等，菱形的四邊相等.

③等腰梯形兩腰相等，兩條對角線相等.

2.3 圓

①同圓或等圓的半徑相等.

②利用圓的軸對稱性，即垂徑定理及其推論.

③從圓外一點引圓的兩條切線，切線長相等.

此外，還有等量代換法，計算證明法，如面積法、相似三角形對應線段成比例等性質均可以證明線段相等。

分析此題的已知條件，可以發現給一定圓，作圓的切線后求與圓相關的線段間的關系。而此時結合圖形可以看出圖中的基本幾何圖形包括三角形、直角三角形以及圓等，可以主要考慮在三角形中或者圓中求解線段的數量關系。

3.解法探究

解法一：

連接OB

∵AB切☉O于B，OA⊥AC

∴∠OBA=∠OAC=90°

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°

∵OP=OB

∴∠OBP=∠OPB

∵∠OPB=∠APC

∴∠ACP=∠ABC

∴AB=AC

解法二：

連接OB，過點A作AE⊥BC交于點E

∵OA⊥AC，AE⊥

BC

∴∠OAC=∠AEC=90°

∴∠CAE+∠EAP=90°，∠CAE+∠ECA=90°

∴∠EAP=∠ECA

∵AB切☉O于B，AE⊥BC

∴∠OBA=∠PEA=90°

∴∠OBP+∠PBA=90°，∠EAP+∠EPA=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠EPA

∴∠OBP=∠EPA

∴∠PBA=∠EPA=∠ECA

∴AB=AC

解法三：

連接OB，過點P作PF⊥AB交于點F

∵AB切☉O于B

∴AB⊥OB

又∵PF⊥AB

∴PF∥OB

∴∠FPB=∠OBP

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠OPB=∠APC

∴∠FPB=∠APC

又∵OA⊥AC，PF⊥AB

∴Rt△FPB∽Rt△APC

∴∠ABP=∠ACP

∴∴AB=AC

解法四：

連接OB，過點P作PG⊥OB交于點G

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

又∵∠CPA=∠OPB

∴∠CPA=∠OBC

∵OA⊥AC，OG⊥OB

∴∠CAP=∠PGB=90°

∴Rt△CAP∽Rt△PGB

∴∠BCA=∠BPG

又∵AB⊥OB，PG⊥OB

∴AB∥PG

∴∠BPG=∠CBA

∴∠CBA=∠BCA

∴AB=AC

解法五：

連接OB，過點B作BH⊥AC交于點H

∵AB切☉O于B，BH⊥AC

∴∠ABO=∠BHC=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠BCH+∠CBH=90°

又∵OA⊥AC，BH⊥AC

∴OA∥BH

∴∠CPA=∠CBH

又∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

且∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠BCH

∴AB=AC

解法六：

連接OB，過點B作BI⊥BC交AC于點I

∵AB切☉O于B，BI⊥BC

∴∠ABO=∠CBI=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠ABC+∠ABI=90°

∴∠OBC=∠ABI

∵OA⊥AC

∴∠OAB+∠BAI=90°

∴∠O=∠BAI

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBP

且∠CPB=∠OBP，∠OBP=∠ABI

∴∠CPA=∠ABI

∵∠PCA+∠CPA=90°，∠PBA+∠ABI=90°

∴∠PCA=∠PBA

∴AB=AC

解法七：

連接OB，過點B作BJ⊥OA交于點J

∵AB切☉O于B，BJ⊥OA

∴∠ABO=∠BJP=90°

∴∠ABC+∠OBC=90°，∠JBP+∠OPB=90°

∵OP=OB

∴∠OPB=∠OBC

∴∠ABC=∠JBP

∵BJ⊥OA，AC⊥OA

∴BJ∥AC

∴∠JBP=∠ACB

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

解法八：

連接OB，過點O作OK⊥BC交于點K

∵OK⊥BC，OA⊥AC，且∠OPK=∠CPA

∴Rt△OPK∽Rt△OPA

∴∠ACP=∠KOP

∵OP=OB，OK⊥BC

∴∠KOP=∠BOK

∵AB切☉O于B

∴∠OBK+∠CBA=90°

又∵∠BOK+∠OBK=90°

∴∠BOK=∠CBA

∴∠CBA=∠ACP

∴AB=AC

通過分析此題的一題多解過程，可以給我們的數學教學提供以下啟示：

1.一題多解可以提高學生興趣，吸引學生注意，達到最佳的課堂效果。從一種解決方法拓展出多種解決方法，舉一反三，充分展示了數學知識體系是一種螺旋上升的過程。與此同時，一題多解不僅吸引了學生的興趣，促進了學生多種感官的積極參與，提高了思維的興奮點，還達到了最佳的訓練效果。

2.一題多解有利于學生構建知識點間的聯系，挖掘條件之間的隱含關系。學生在學習時是按照知識點分散學習，而在解題時，尤其是遇到這種綜合性的題目，面對題目中所給的眾多的已知條件，要學會判斷這些條件間或明或暗的聯系，這就考察了學生對知識點間內在聯系的綜合分析與運用能力。因此，在解題時要鼓勵學生大膽想象，大膽猜測，密切聯系知識點間的內在邏輯，挖掘條件間的隱含關系，大膽探索，勇于實踐。

3.一題多解促進師生對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考。通過“一題多解”的設置，可以促進師生思維的有效互動，消除學生的思維定式，拓展學生思維的寬度和廣度，不拘泥于單一的思想方法和解題思維，增強學生做數學、用數學的信心。

4.一題多解能夠豐富學生的解題經驗，關注學生的思維發展。在這道題中，通過建立已知條件與所需條件間的關系，讓學生在解題過程中既復習了有關圓的知識與性質，又豐富了兩線段相等判定條件與性質、定理，還讓學生體驗到了成功的喜悅，培養了學生的抽象思維和推理能力，關注了學生創造性思維和實踐能力的發展。

（責編 黃珍平）