啟發學生通過計算推導數學規律題的策略

韋芬

【關鍵詞】數學計算 數學規律 推導

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）04A-

0076-02

數學規律題的邏輯性、抽象性很強，學生解答時要具備較強的識記能力和理解能力，具備一定的分析推理能力。教師應根據初中生的心理特征、知識基礎、認知結構等實際，結合題意，合理設問質疑，引導學生從最熟悉的計算切入，激勵和喚醒學生的積極思維，啟發學生通過觀察、分析、猜想、嘗試、計算、推理、歸納等過程，嚴謹地推導數學規律題，讓每個學生跳一跳都能摘到“果子”。“題”讓學生自己解，“法”讓學生自己探，通過嘗試計算找到規律，創造性地應用所學知識。

教學時，教師應啟發七年級新生從熟悉的知識了解規律題，嘗試計算推導數學規律題，掌握要領。首先，營造一個輕松的學習氛圍，由易到難、循序漸進、逐步深入，引導學生積極參與到學習中。其次，用小學的規律題舉例填空，體驗成功的快樂，提高學習的興趣。最后，引伸到用字母表示數的規律題，使教師想說的結論由學生親口說出來，教師的想法在學生的頭腦中顯現出來，掌握答題要領。

例1，填空：2，4，6，8，10 ，14；學生脫口而出：“填12。”筆者順勢由此題變形為以下的題目：

例2，有一數列為：2，4，6，8，10，12，14……第20個數為 ；第100個數為 ；第n個數為 。通過設問啟發學生理解題意，如問“12”是第幾個數？學生很容易找到“12”是第6個數。再問“12”是怎樣算出來的？有幾種算法？學生積極思考，答案并不唯一。如：10+2=12、14-2=12、2+2×5=12、2×6=12等。承前啟后，激勵學生類比例1算法推導例2。學生通過獨立思考，解得第20個數為“40”，并歸納出用到第20個數中的“20”，即20×2=40這個算法快，乘勝追擊第100個數為200，第n個數為2n。引導學生總結歸納，綜合列表如下：

這樣列表，學生一目了然，理解“位置數”，并知道可以用“位置數”參與表示對應項的值，計算方式不變，體驗如何嘗試計算推導規律題的全過程，讓舊知迅速正遷移到規律題。

七年級學生多加練習，積累數感，可以嘗試計算，列出如例2的表格，解出規律題。而啟發八、九年級的學生，則應通過嘗試計算推導比較復雜的數學規律題，一般可分以下四個步驟。

一、初步理解題意，拓展到最近發展區

經過初步讀題，承前啟后，迅速拓展已知。舉一些新的例子，有數的添上新數，有式子的添寫新式，有圖的添畫新圖…… 引導學生邁開第一步。降低難度，化難為易，分層次啟發學生嘗試解題，層層深入到規律中，讓每個學生學到相應的數學知識。教會學生觀察、分析、思考，承上啟下，以此類推，拓展到最近發展區，讓學生初步理解題意。

例3，觀察下列各式，探索、拓展規律：13=12；13+23=9；13+23+33=36……用含正整數n的等式表示你所發現的規律為 。啟發學生先解答：“第4個式子為 。”“第5個式子為 。”……是否有簡便算法？

例4，將一些半徑相同的小圓，按如下圖所示的規律擺放：第1個圖形有6個小圓，第2個圖形有10個小圓，第3個圖形有16個小圓……以此類推，第6個圖形有 個小圓，第n個圖形有 個小圓。

第1個圖形 第2個圖形 第3個圖形

啟發學生先解答：“第4個圖形為 ，第5個圖形為 .”“分別用幾個小圓？若不畫圖可否猜想出第6個圖形的小圓個數？”……通過舉更多具體的例子，達到最近發展區，直到學生讀懂題意、理解題意為止。此時，教師還可以迎難而上，讓學生快速計算位置數較大時對應項的值。試一試，如例題3的第100個式子是 ？如例題4的第50個圖形的小圓個數是 ？

二、進行嘗試計算，發掘表達式

在初步理解題意的基礎上，列表探索“位置數”較大時，會簡便計算相應項的值，結合例子，由簡到繁，耐心嘗試，找到一致算法挖掘表達式。大膽猜想，由第1個例子到第2個例子……嘗試對比，從推理過程或從結論的數量特點，直接或間接用“位置數”推出相應項的值，且計算的方式一致，適合每個例子。經歷從特殊到一般的分析、推理、歸納的過程，圍繞“位置數”不斷猜想、嘗試，找到符合題意的計算方式，挖掘出表達式，一般從以下兩種情況進行嘗試計算。

（一）從結論的特征發現規律

首先觀察例子，結論有明顯特征的，就猜想著手變形，直接或間接發現有特定的變化規律。如例3，每個式子的左邊已經熟悉，重點對比每個式子的右邊，依次為：1，9，36，100，……即變形為特征數列得：12，32，62，102，……依此，原式可變形特征式：

第1個式子：13=12=1

第2個式子：13+23=（1+2）2=9

第3個式子：13+23+33=（1+2+3）2=36

……

第100個式子：13+23+…+993+1003=（1+2+…+99+100）2=〔〕2

=〔×（1+100）〕2=25502500.

……

最后，發掘出表達式，找到通用的、簡便的計算方式，用“位置數”計算相應項的值，算法相同。

第n個式子：13+23+…+（n-1）3+n3=〔1+2+…+（n-1）+n〕2

=〔（1+n）〕2=

（二）從計算的過程中發現規律

例4 經過嘗試計算可成功列出如例2的表格：

解得第n個圓形的小圓個數為n（n+1）+4。此類題目從推理的過程中，存在某種計算方式，從簡單第1個例可引伸到所有例，抓住變量與不變量挖掘出表達式，用“位置數”計算相應項的值。

一般來說，在嘗試計算時，列表羅列已知例子，對比過程或結論，把“位置數”套到通用的算法中，可以合理推導出表達式，拓展到中等發展區。

三、推證表達式，確定規律

乘勝追擊，做到心中有數，驗證表達式的合理性。首先，用“位置數”代入表達式，求出相應項的結論；其次，據“初步理解題意”拓展到的最近發展區，直觀形象地計算出該“位置數”相應項的結論；最后，對比兩類計算的結論，若“位置數”相同，結論也相同時，則該表達式正確，成功找到規律，反之，該表達式不正確，需要重新進行嘗試計算。

如例3 計算第4個式子：13+23+33+43= 時，把“位置數”4即把n=4 代入表達式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+ …+（n-1）+n]2，算出13+23+33+43=（1+2+3+4）2=100.

而按初步理解時直接計算：13+23+33+43=1+8+27+64=100，兩類算法一致。

以此類推，用第5、第6、第7、第8……等式子檢驗都成功，則可驗證所得表達式正確。

四、運用規律，解答問題

解規律題時，把表達式當成一個公式，圍繞“位置數”進行合理分析，這樣，學生就能快速、正確地解答規律題。初中階段，需要熟練掌握以下兩種類型：

（一）順用表達式——已知某個“位置數”，求相應項的結論

如例3 第10個式子是 。

把n=10代入表達式：13+23+…（n-1）3+n3=[1+2+…+（n-1）+n]2中得13+23+…93+103=（1+2+…+9+10）2=3025

（二）逆用規律式——已知某項的結論，求相應的“位置數”

如例4 用2554個小圓圍成的是第 個圖。設圍成的是第n個圖，把2554代入表達式得：n（n+1）+4=2554

解得：n=50.

這樣，當學生熟悉規律探索過程，理解“位置數”與“相應項的值”一一對應時，運用表達式可以簡便解答規律題。

通過以上例子表述，營造以學生為主體的課堂，老師少說，穿針引線暗地忙；學生多做，養成刻苦鉆研的習慣，遇到陌生的規律題，掌握以上方法，大膽嘗試計算后，就能找出潛在的規律，迅速解答。

（責編 林 劍）