對分式方程增根和無解的認識

馬文韜

學習分式方程后，總認為分式方程無解是因為增根，因為有了增根方程才無解，所以解題時往往出錯.

如：分式方程2+=有增根，則增根為 .

∵分式方程2+=有增根，

∴x-2=0，2-x=0，解得：增根為2.

分式方程-1=有增根，增根為_______.

按照上面思路，很容易得到分式方程的增根為1和-2，但老師卻說答案錯了.

老師幫我分析當增根x=-2時，m=0，經檢驗，當m=0時，-1=0. x=x-1，方程無解，不存在增根.反思發現自己對增根理解錯了，分式方程的增根應該滿足兩個條件：（1）解分式方程先要去分母，所以增根必須是去分母后整式方程的根；（2）使分母為0的未知數的值.

同樣我在做無解這類題時也會考慮不全.

如：若關于x的方程=+1無解，則a的值是_______.

把方程去分母得到一個整式方程，把方程的增根x=2代入即可求得a的值為2.

若關于x的分式方程-1=無解，則m的值為_______.

同樣的思路將分式方程轉化為整式方程（2m+1）x=-6，代入增根得到m=-.

老師說我又做錯了. 他告訴我分式方程無解則是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等. 它包含兩種情形：（1）原方程化去分母后的整式方程無解；（2）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0. 所以遺漏當2m+1=0時，整式方程無解的情況.

教師點評：分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，在學習分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清，認為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事.因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解. 但是同學們并不能因此認為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學知識的加深，同學們便會明白其中的道理.

（指導教師：馬強）