諧振式加速度計非線性振動的建模與優化

嚴 斌，劉云峰，董景新

（清華大學 精密儀器系 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，北京 100084）

諧振式加速度計非線性振動的建模與優化

嚴 斌，劉云峰，董景新

（清華大學 精密儀器系 精密測試技術及儀器國家重點實驗室，北京 100084）

實驗發現硅微諧振式加速度計非線性效應的弱化可以降低測量噪聲，對非線性振動進行了推導與建模，利用掃頻數據得到模型中的未知參數，并根據模型計算出使非線性效應消失所需的激勵電壓，給閉環工作點的設計提供了理論指導。實驗結果表明：模型與實際系統在各激勵電壓幅值下均保持一致，非線性效應消失點和實驗吻合。根據閉環工作點的設置進行了方案優化，最終在0.25 mV激勵電壓下的閉環實驗中，實現了5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對應加速度噪聲為1.7 μg，與之前30 μg的噪聲水平相比改善了數十倍。

諧振式加速度計；非線性振動；杜芬方程；降低噪聲

硅微諧振式加速度計利用諧振梁的振動頻率變化來表示其敏感的加速度大小，具有高精度、抗干擾、大動態范圍的潛力[1]。 國內外多家研究機構均展開了相關研究，取得了較大進展。目前報道中美國Draper實驗室性能最佳，其在2006年研制出零偏穩定性優于1 μg和標度因數穩定性優于 1×10-6的諧振式加速度計，驗證了其獨特優勢和發展潛力[2]。國內南京理工大學在 2013年實現了 3.6 μg的零偏穩定性和 13.5 μg/√Hz的分辨率[3]。

加速度計要達到高精度的零偏穩定性和分辨率，都離不開極低的輸出噪聲水平。諧振式加速度計的標度因數代表輸出變化頻率與測量加速度的比值，在設計時就已確定。因此，對于諧振式加速度計來說，頻率的輸出噪聲是極為關鍵的。

本文通過實驗發現諧振梁振動引起的非線性效應明顯影響了系統的工作性能，并對其進行了理論推導與建模。結合模型的仿真和實驗發現，降低激勵電壓幅值可以有效減弱非線性效應，改善閉環后的噪聲水平，并且激勵電壓小于某個底限值后，非線性效應消失，不需要無限降低。根據計算出的消失點對閉環方案進行優化，最終在0.25 mV激勵下，實現了單梁 5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對應加速度噪聲為1.7 μg。

1 硅微諧振式加速度計的非線性模型

1.1 非線性現象

實驗使用的加速度計采用雙端音叉結構，為了提高系統品質因數，上下梁對稱設計且工作在反向模態，MEMS結構使用帶尾管的金屬管殼進行真空封裝，如圖1所示。

圖1 實驗使用的加速度計和電路Fig.1 Accelerometer and circuit used in the experiment

通常我們將加速度計簡化為二階系統在頻域上進行仿真。但在閉環實驗中發現，通過降低激勵電壓的幅值，可以提高系統的噪聲水平（2013年實驗室的噪聲水平從65.4 μg降低到約30 μg）[4-5]。進一步的實驗說明，這是由于雙端固支梁的硬彈簧效應引起的非線性已經明顯影響了系統的工作特性，限制了精度的提高，如圖 2。在參考其他領域的微納米諧振梁非線性研究之后[6-7]，對諧振式加速度計的非線性振動問題進行深入的研究就顯得更加必要。

圖2 使用動態信號分析儀向上和向下掃頻Fig.2 Sweep up and down by dynamic signal analyzer

1.2 非線性模型的推導和求解

由于雙端音叉結構同一側的上下梁對稱振動，只需考慮一根梁的工作狀態，趙淑明的工作給出了非線性振梁的物理模型推導以及振幅與頻率的關系方程，如式(1)(2)，并定性描述了非線性因素對系統造成的影響[8]。

要定量對非線性因素的影響進行分析，需要得出相位和頻率在給定的振幅下的求解方程。式(1)可以轉變為

式中：γ=B/M，k1=Mω，M為諧振梁等效集中質量，B為阻尼系數。

式(3)為振動力學中常見的杜芬方程，由于振梁的非線性項 k3＞0，系統將呈現硬彈簧效應。根據振動力學的推導，使用漸進解法，其一階近似解為Y( t) = A cos （ωt + φ） ，在穩態情況下的解為

考慮近共振情況(ω0+ω≈2ω0)，容易得出非線性振動時頻率和相位的解，如式(5)，其中，等效共振頻率ωe=ω0(1+3k3A2/8k1)。

當ω=ωe時，振幅最大，且相位為

1.3 求解方程中參數的計算與實驗驗證

根據7 mV正弦波激勵幅值下的掃頻實驗數據，利用上面推導的公式，可以估算出阻尼系數 B、品質因數Q和非線性系數k3：

式中：k有效力為激勵電路加力有效系數，av為位移到電壓的轉換系數。

將上述參數代回式(5)中，即可計算出任意幅值下，該加速度計的幅頻和相頻特性。2 mV、7 mV、10 mV、14 mV激勵時對應的非線性模型的特性曲線如圖 3所示。圖4為對應相同激勵幅值的實際掃頻數據，可以看出，兩者十分吻合。實驗說明模型適用于實際情況，可以使用計算值去推測各不同激勵幅值時的系統特性。

圖3 根據非線性模型計算出的幅頻和相頻曲線Fig.3 Calculated by the nonlinear model

圖4 實際掃頻測量得到的幅頻和相頻曲線Fig.4 Measured by dynamic signal analyzer

2 非線性因素的影響

可以看到，等效諧振頻率會受到振幅大小的影響，同時，諧振峰將向右彎曲，出現了多值共振的情況，產生了非穩態與穩態區域，曲線在臨界點會進行跳躍，且由于正向和反向的跳躍點不同，還呈現出類似于遲滯的現象[7,9]。同時，隨著激勵振幅增大，非線性效應也在增強，在諧振點附近的幅值和相位變化越來越緩慢，如圖5所示。

圖5 非線性模型的幅頻和相頻曲線Fig.5 Curves of the nonlinear model

2.1 非線性對相位閉環的影響

系統閉環電路采用自激振蕩方案，并使用穩幅環對振動幅值進行控制，如圖6所示。由于非線性的增強，靠近諧振點的相位變化越來越緩慢，進而使得針對相位進行閉環的系統對相位噪聲越來越敏感，導致輸出頻率穩定性下降。

圖6 系統閉環框圖Fig.6 Block diagram of the closed-loop system

實際環路中，不可避免存在與理想環節出現偏差的延遲，導致閉環不能準確閉在-90°點上，而且由于跳躍現象會導致系統不穩定工作，一般將閉環點選在-90°左側。從圖3也可以看到，即使是接近-90°的相位點，隨著激勵振幅增大，其相位斜率也在變緩。

調整穩幅環的目標電壓，并對系統進行閉環實驗。通過閉環實驗測得7 mV、10 mV、14 mV 激勵下對應的頻率輸出，取穩定后100個點的數據（1 s采樣一次），計算出標準差分別為0.446 mHz、1.69 mHz、3.52 mHz，如圖7所示。可以看到，激勵幅值越小，噪聲越小，但由于電路方案和信噪比的原因，更低幅值的閉環較為困難。

圖7 不同激勵幅值下系統閉環輸出的頻率噪聲對比Fig.7 Frequency noise outputted by closed-loop system under different excitation voltages

2.2 非線性效應消失的條件

由上述推導和實驗可知，由于非線性因素的存在，對系統精度的提升造成了很大的阻礙，這一是由于跳躍現象的存在，二是由于相位變化的變緩。那是否存在一個臨界點，在激勵幅值小于該點時，非線性現象消失呢？對此，下面進行理論推導。

假設非線性消失的臨界點是相頻幅頻曲線的多值對應現象的消失，即相位和幅值都與頻率是一一對應的關系，則該推導轉變為使得右半段幅頻曲線的斜率一直小于0的條件求解。數學表達如下：

將各參數代入式(6)，計算出，要使該加速度計的非線性消失，則要求：

使用式(5)畫出激勵幅值在0.8 mV周圍的幅頻相頻曲線，如圖8所示，與式(7)的結論一致，說明推導結果正確。從式(7)中可以看出，要想消除非線性效應，需要保證電路在 0.8 mV時激勵信號的信噪比和諧振梁振幅56 nm時電容檢測電路的信噪比，對于乘法器直接輸出激勵信號的方案來說還是比較困難的，但給之后的改進方向提供了一個終點，為閉環工作點的設計提供了理論基礎。

圖8 激勵在0.8 mV左右非線性模型計算的幅頻相頻曲線Fig.8 Respond curves calculated by non-linear model under different excitation voltages around 0.8 mV

3 改進措施及實驗結果

由于之前激勵電壓直接由乘法器給出，且乘法器噪聲較大，在低幅值輸出時信噪比過低，無法得到更好的結果。因此，在乘法器之后加入衰減器。為了保證表頭的輸出振幅，激勵振幅不變，則閉環電路將自動調整乘法器輸出，使其放大對應的倍數，從而提高了信噪比。

衰減倍數設計為16倍。對于0.25 mV的激勵電壓，乘法器輸出為4 mV，頻率輸出如圖10所示，并每100點去除漂移后計算標準差作為噪聲值。對穩定后的噪聲值進行平均，結果約為5.5×10-5Hz，對于該結構單梁的標度因素為33 Hz/g，可計算出加速度測量噪聲為1.7 μg。

圖9 優化后的系統閉環框圖Fig.9 Optimized block diagram of the closed-loop system

圖10 優化后的頻率輸出及噪聲Fig.10 Output frequency and noise after optimization

4 結 論

本文發現硅微諧振式加速度計非線性效應的弱化可以降低測量噪聲，對非線性振動進行了推導與建模，利用掃頻數據得到模型中的未知參數，并根據模型計算出使非線性效應消失所需的振梁振動幅值和相應的激勵電壓，給閉環工作點的設計提供了理論指導。

實驗驗證了模型與實際系統在各激勵電壓幅值下均保持一致，以及非線性效應消失點和實驗吻合。根據閉環工作點的指導進行了方案優化，最終在0.25 mV激勵電壓下的閉環實驗中實現了5.5×10-5Hz的頻率輸出噪聲，對應加速度噪聲為1.7 μg，與之前30 μg的噪聲水平相比提升了數十倍。

（References）：

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[3] Xia Guo-ming, Qiu An-ping, Shi Qin, et al. Test and evaluation of a silicon resonant accelero- meter implemented in SOI technology[C]//2013 IEEE Conference on Sensors. 2013: 1-4.

[4] 胡淏. 硅微諧振式加速度計關鍵技術研究[D]. 北京:清華大學, 2011. Hu Hao. Research on key technologies of micromechanical silicon resonant accelerometer[D]. Beijing: Tsinghua University, 2011.

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[7] 梁新建, 鄭旭東, 李丹東, 等. 一種基于高線性度弓形支撐梁的新型 MEMS陀螺設計[J]. 導航與控制, 2011, 10(3): 49-53. Liang Xin-jian, Zheng Xu-dong, Li Dan-dong, et al. A novel design of MEMS gyroscope based on high linearity bow-shaped beam[J]. Navigation and Control, 2011, 10(3): 49-53.

[8] Zhao S M, Liu Y F, Wang F, et al. Research on non-linear vibration in micro-machined resonant accelerometer[C]//Proceedings of the 14th Nanotech Conference. Washington, 2012: 637-640.

[9] 劉恒, 劉清惓, 孟瑞麗. 一種諧振式微加速度計表芯非線性動力學分析及實驗[J]. 中國慣性技術學報, 2012, 20(4): 485-490. Liu Heng, Liu Qing-quan, Meng Rui-li. Analysis and experiment on nonlinear dynamics of resonant microaccelerometer[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2012, 20(4): 485-490.

Modeling and optimization of resonant accelerometer’s nonlinear vibration

YAN Bin, LIU Yun-feng, DONG Jing-xin
(State Key Laboratory of Precision Measurement Technology and Instruments, Department of Precision Instrument, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

The weakening of nonlinear behavior can reduce the measurement noise, so a nonlinear model for the vibrating beam is derived. The unknown parameters of the model are calculated by sweeping-frequency data. The excitation voltage required for the disappearance of nonlinear behavior is solved, and this provides theoretical guidance for the closed-loop set-point design. Experimental results demonstrate that the calculated curves are consistent with actual system under different excitation voltages, and the disappearance point of the nonlinear behavior coincides with the experiment. Then the closed-loop scheme is optimized according to the set-point, and the corresponding experiment under the excitation voltage of 0.25 mV shows that the frequency output noise reaches 5.5×10-5Hz, and the corresponding acceleration noise is 1.7 μg which is reduced by more than ten times compared with the noise level of 30 μg before.

resonant accelerometer; nonlinear vibration model; Duffing equation; noise reducing

U666.1

：A

2015-08-13；

：2015-11-25

十二五預研項目（20114113015）

嚴斌（1990—），男，博士生，從事MEMS加速度計研究。E-mail: 001yanbin@sina.com

聯 系 人：董景新（1948—），男，教授，博士生導師。E-mail: dongjx@mail.tsinghua.edu.cn

1005-6734(2015)06-0775-05

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.014