硅微陀螺儀驅動模態離散控制分析

楊 成，李宏生

（1. 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096；2. 東南大學 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

硅微陀螺儀驅動模態離散控制分析

楊 成1,2，李宏生1,2

（1. 東南大學 儀器科學與工程學院，南京 210096；2. 東南大學 微慣性儀表與先進導航技術教育部重點實驗室，南京 210096）

針對硅微陀螺儀數字控制系統，為了有效控制陀螺儀的驅動模態，采用離散域(Z域)分析方法，全面分析、研究并實現了基于數字鎖相環(DPLL)和數字自動增益控制的(DAGC)驅動模態控制。分別建立了基于離散域分析的相位控制模型和幅度控制模型，給出了相應穩定控制的參數條件，并且進行了仿真驗證。最后設計了一種基于FPGA的數字化雙閉環驅動控制電路。試驗結果表明，室溫條件下，驅動檢測幅度相對變化量小于 2×10-5，在溫度變化-40℃～60℃條件下，驅動頻率與自然頻率的最大相對誤差為8×10-6數量級，頻率跟蹤特性和幅度控制穩定性均達到了良好的效果。試驗驗證了硅微陀螺儀驅動模態全數字化分析的可行性。該數字控制系統方案實現了陀螺驅動模態的高精度控制。

硅微陀螺儀；數字鎖相環；數字自動增益控制；FPGA；離散域分析

硅微陀螺儀是一種非常重要的慣性傳感器，由于其具有低功耗、低成本、體積小、易于批量生成等突出優點，使其已經被應用于許多領域，比如消費類電子、汽車安全系統以及微慣性測量導航系統等領域[1]。國外已經有達到軍用戰術級要求的微陀螺樣機[2]，國內由于加工工藝等因素的制約，國產微陀螺儀的精度與國外還存在比較明顯的差距。

陀螺儀的工藝誤差只能通過提高制造工藝來改變，但外圍電路的環境因素等影響可以通過數字器件來提高。相比模擬電路，數字電路具有高穩定性、高精度、靈活性好、可實現各種復雜算法、便于大規模集成等優點。近些年來，硅微陀螺儀的數字化成為各機構研究的重點，許多研究機構都有相關硅微陀螺儀數字系統的研究報道。為了提高硅微陀螺儀的性能，通常采用閉環驅動方式使驅動信號頻率實時跟蹤不斷變化的驅動模態自然頻率，同時保持驅動檢測信號的幅值穩定。目前主流的控制方式是基于鎖相環(PLL)[3]的相位控制以及基于自動增益控制(AGC)的幅度控制[4]。國內外有不少文獻對這兩種方法進行了分析，但是在實現上以模擬電路為主，傳統的對微機械陀螺儀控制系統的仿真都是基于模擬域，即使針對采用數字技術實現的微陀螺測控系統，大部分報道中涉及到的仿真亦是如此[5-7]，這樣得到的參量變化、運行情況并不能客觀反映實際陀螺測控系統運行的情況，得到的最優參量指標對實際模型的參考價值不大。因此，有必要針對硅微陀螺數字測控系統，構建離散域（Z域）模型。

本文分別建立了基于離散域分析的相位控制模型和幅度控制模型，仿真分析了相應的控制性能。基于FPGA實現了數字化雙閉環的驅動控制電路，并在板測試了電路的性能。

1 硅微陀螺儀驅動模態數字化模型

硅微陀螺儀主要由硅敏感結構以及驅動和檢測電路組成。本文采用的陀螺結構為全解耦結構，檢測采用開環檢測方式。驅動和檢測部分都可以分別看作“質量-彈簧-阻尼”二階系統。根據牛頓定律以及陀螺的哥氏效應，可得理想情況下硅微陀螺儀驅動模態和檢測模態動力學方程[8]，如式(1)所示：

式中：mx和my分別為驅動和檢測模態質量，cx和cy分別為驅動和檢測模態阻尼系數，kx和ky分別為驅動和檢測模態剛度系數，Fe表示驅動力，Ωz為z軸輸入角速度。對等式(1)中的驅動模態動力學方程進行拉普拉斯變換得到連續域模型：

對連續傳遞函數G( s)進行離散化，采用雙線性變換，得到硅微陀螺儀驅動模態數字化模型：

式中，T表示數字系統的采樣間隔。

由于雙線性變換具有頻率特性畸變的固有缺點，離散化后的數字域模型與連續域模型的響應有一些不同。因此，為了保證陀螺儀驅動模型的正確性，采用頻率修正雙線性變換方式對G( s)進行離散化，以保證該模型在特征頻率 ωx處頻率特性不變，因此推導得：

本文選用的硅微陀螺結構的實際參數為Qx=2000，ωx=2π×3400rad/s，mx=0.71×10-6kg，采樣間隔為 T= 1/64000s 。將上述參數代入等式(4)得：

為了驗證硅微陀螺儀驅動模態離散模型的正確性，對式(1)(3)(4)分別繪制了幅頻特性曲線和相頻特性曲線，如圖1所示。從圖1中可以發現，采用頻率修正雙線性變換方式離散后的頻率特性曲線與連續域模型基本一致。

圖1 硅微陀螺儀驅動模態連續域與離散域伯德圖Fig.1 Bode diagram of drive mode of silicon micromachined gyroscope in continuous domain and discrete domain

2 硅微陀螺儀驅動模態數字化相位閉環技術

鎖相環技術是硅微陀螺儀閉環驅動穩頻控制的一種典型實現方式[9]。鎖相環是一個相位誤差負反饋閉環控制系統。環路鎖定時，其振蕩器輸出與參考輸入同頻同相或者相差一個固定相位。鎖相環主要由鑒相器(PD)、環路濾波器(LPF)和壓控振蕩器(VCO)組成，如圖2所示。其中，鑒相器用于比較輸入信號θi(t)和輸出信號θo(t)的相位關系，得到的相位差信號θe(t)經過環路濾波器得到控制壓控振蕩器的控制信號uc( t)。uc( t)調節壓控振蕩器的頻率，使輸出信號θo(t)和輸入信號θi(t)頻率保持一致，相位差變為零或者一個常數，達到動態鎖定。鎖相環是一種非線性電路，其非線性主要體現在鑒相器上。在相位誤差很小時，線性模型一般是適用的，這個條件在環路鎖定時都能達到。因此，如果鎖相環已經鎖定，并且在以后一段時間內一直處于鎖定狀態，就可以把環路看作一個線性系統。

鑒相器(PD)的輸入輸出特性近似為

根據上面的近似，環路線性化后的模型就成了一個線性負反饋系統，可以用系統的傳遞函數對其進行研究。圖2就是鎖相環在連續域的近似模型。

由于在實際硅微陀螺儀測控系統中采用數字電路，因此，應在離散域對鎖相環進行分析，數字化模型如圖3所示。數字環路濾波器(LPF)具有低通特性，抑制高頻噪聲并對環路參數調整起決定作用，一般由比例單元和積分器組成。數控振蕩器(NCO)采用直接數字式頻率合成技術(DDS)[10]，由相位累加器、加法器和波形發生器構成。圖3中F( z)、G( z)的表達式為

式中，kp為比例系數，ki為積分系數，K0= (2π 2N) rad/V為NCO的相位轉換增益，N為相位累加器字長。

圖2 鎖相環基本組成框圖Fig.2 Basic diagram of PLL

圖3 陀螺驅動環路相位控制的數字化模型Fig.3 Digital model of phase control

因此，鎖相環的閉環脈沖響應函數為

該離散系統的特征方程為

令環路增益 K=K0Kdkp，k=kiTkp，特征方程化簡得：

特征根表達式為

圖4 數字鎖相環根軌跡圖Fig.4 Root locus of digital PLL

3 硅微陀螺儀驅動模態數字化幅度閉環技術

自動增益控制(AGC)是一種幅值誤差閉環反饋系統，用于硅微陀螺儀的幅值控制中，可以使驅動模態的梳齒振動位移保持不變，結合鎖相環頻率跟蹤能力，就可以為檢測模態提供穩定的驅動速度，避免檢測模態哥氏力受驅動模態的影響。當驅動模態處于諧振狀態時，即陀螺驅動輸入與輸出相位差為90°時，振動速度的位移與驅動力的相位保持一致。采用AGC控制的硅微陀螺儀幅值閉環系統的原理框圖如圖5所示。

圖5 基于自動增益控制的幅度控制等效圖Fig.5 Amplitude control based on AGC

令驅動力 Fe=kvfucx˙，代入硅微陀螺儀驅動模態運動方程(1)得：

2.1 STZ 的制備 STZ 是一種可溶于水、醇和酮的親水化合物，在 pH 4.5 的酸性溶液中較穩定，在 pH＞4.5 的環境下降解[5]。最好將 STZ 溶于冰的pH 4.5 檸檬酸鈉緩沖液中，STZ 見光易分解，應避光保存[15]。STZ 溶液最好在制備后 15～20 min 內注射到動物體內，以防止其降解。STZ 溶液可在黑暗、4 ℃ 的條件下保存 40 d，但以每天 0.1% 的速率降解[16]。

從上面表達式可以看出，AGC環節在驅動模態幅度閉環系統中起到阻尼調節的作用。AGC調節可變增益uc，使驅動模態等效阻尼變為零，在無阻尼環境下，陀螺作等幅簡諧振蕩運動。

將Fe= Fdsin(ωdt)代入等式(1)，解微分方程可得：

驅動位移幅度可以表示為

由式(14)可知，當相位控制能夠確保陀螺儀處于諧振狀態時，驅動模態幅度的變化規律與一階慣性環節的階躍響應是相同的。由一階慣性環節傳遞函數可以得出，驅動模態諧振狀態下位移幅度的傳遞函數為

則幅度穩定性轉換為對一階慣性環節的 PI控制問題[11]。由于采用的是數字化控制方案，需要將上述連續過程離散化，在離散域進行設計與分析。圖5可以簡化為圖6的數字化幅度控制框圖。

圖6 線性化幅度控制數字系統Fig.6 Linearized model of amplitude control

式中，kp、ki分別為 PI控制器的比例系數和積分系數，r為低通濾波器截止角頻率， K=kvfkxckcv為環路轉換增益。

系統閉環脈沖傳遞函數為

該離散系統的特征方程為

為了判斷該離散系統的穩定性，對等式(18)進行簡化，將陀螺控制系統的實際參數Qx= 2000，T=(1/64 000) s，r=2π×100 rad/s，ωx= 2π×3400rad/s ，mx=0.71× 1 0-6kgkvf=7.22×10-7N/V，kxc= 7.22×10-8pF/μm，kcv=3.6×1012V/pF代入得： K′≈ 0.0304，M ≈-1，e-rT≈ 1。因此，式(18)可以化簡得：

根據離散系統朱利代數穩定判據來判斷該三階數字控制系統的穩定性，可得該數字控制穩定系統的約束條件為

從約束條件可以判斷，比例系數和積分系數的選擇與陀螺本身結構參數mx、Qx、 ωx，電路增益參數kvf、kxc、kcv，以及濾波器的轉折參數r有關。一般當電路、陀螺確定后，上述參數也即確定，就可以通過式(20)來確定PI控制器的參數。

4 硅微陀螺儀驅動控制環路仿真與實驗

4.1 電路仿真

為了驗證上面所分析的離散系統的正確性，建立了硅微陀螺儀驅動模態數字控制環路的Simulink仿真模型。陀螺驅動模態采用離散傳遞函數模型，PLL、AGC控制環路各個環節均采用z域模型，整個仿真過程在離散域中進行。采樣頻率設置為64 kHz，這與陀螺實際數字控制系統的采樣率一致。為了考察驅動環路頻率跟蹤性能以及幅度穩定性，在仿真過程中設置了頻率跳變點和幅值跳變點，圖7的(a)、(b)分別給出了陀螺自然頻率變化以及驅動檢測幅值參考值變化時，控制環路的穩頻穩幅效果。從圖7中可以發現，控制環路經過短暫調整后實現了頻率和幅度的穩定。

圖7 硅微陀螺驅動環路幅值和頻率控制曲線Fig.7 Amplitude and frequency control curves of drive loop

4.2 實 驗

為了進一步驗證硅微陀螺儀驅動數字控制環路的有效性，根據鎖相環和自動增益控制算法的基本原理，設計了基于FPGA的電路控制方案，如圖8所示。該系統主要由模擬接口電路和數字控制電路組成。其中解調采用同步積分解調算法[12]，得到的驅動檢測信號的幅值和相位信息經過AD采樣進入FPGA，分別采用自動增益控制(AGC)穩定幅度和鎖相環(PLL)跟蹤相位/頻率。陀螺微結構采用本課題組自主研制的全解耦雙質量線振動硅微陀螺儀[13]。

圖8 硅微陀螺儀驅動模態數字控制方案Fig.8 Digital control scheme of gyro drive mode

將硅微陀螺儀放置在溫控箱內，分別進行常溫和全溫測試。陀螺數字電路系統和實驗設備如圖9所示。用數字示波器觀察陀螺驅動信號和驅動檢測信號，波形如圖10所示，從圖可以發現兩路信號的相位差保持90°，驅動檢測信號的峰峰值為2.89 V。

圖9 陀螺測控電路及實驗設備Fig.9 Circuit of the gyro and test equipment

圖10 陀螺驅動信號與驅動檢測信號波形圖Fig.10 waveform of drive signal and detection signal

將陀螺數字控制系統置于常溫下，對陀螺驅動檢測信號進行一小時穩定性測試，變化曲線如圖 11所示。從圖11中可以發現，檢測信號從上電就保持穩定，驅動幅度相對變化量小于2.0×10-5。

圖11 陀螺驅動檢測信號幅值變化曲線Fig.11 Amplitude curve of drive detection signal

為了測試鎖相環控制環路對陀螺驅動模態自然頻率的跟蹤效果，將陀螺放置在溫控箱中，通過調節溫控箱溫度來改變陀螺驅動模態的自然頻率。首先，將溫度依次設置為60℃、40℃、20℃、0℃、-20℃、-40℃，每個溫度點保溫半小時，通過開環掃頻方式測量出各個溫度點下的陀螺自然頻率。然后讓陀螺閉環工作，使溫控箱的溫度從60℃以1℃/min的速度勻速下降，同時記錄溫度變化以及驅動頻率變化曲線。將陀螺各個溫度點的自然頻率與驅動頻率全溫變化曲線繪制于同一張圖，如圖12所示。由圖可看出，陀螺驅動環路的相位控制使得全溫范圍內驅動頻率始終保持在陀螺自然頻率處，跟蹤相對誤差為8×10-6數量級。

圖12 全溫范圍內陀螺驅動頻率跟蹤測試結果Fig.12 Test results of tracking frequency in full temperature range

5 結 論

傳統的對微機械陀螺儀控制系統的仿真與分析都是基于模擬域，本文從實際數字控制系統出發，通過頻率修正的雙線性變換推導出陀螺驅動模態的數字域模型，給出了鎖相環和自動增益控制的線性化離散模型，并且分析了相位控制和幅度控制的穩定性條件。在Simulink環境下進行了硅微陀螺儀驅動模態數字控制環路的仿真，并設計了實際電路進行試驗驗證。試驗結果表明，所設計的硅微陀螺儀數字驅動環路工作正常，驅動頻率能夠實時跟蹤驅動模態自然頻率的變化，最大跟蹤相對誤差為8×10-6，驅動檢測信號幅度控制精度達到2.0×10-5。因此，所提出的基于離散域分析的硅微陀螺儀驅動模態方案是可行的和有效的，為后續進一步對檢測模態的數字域分析以及設計打下了夯實的基礎。

（References）：

[1] Shaeffer D K. MEMS inertial sensors: A tutorial overview[J]. Communications Magazine, 2013, 51(4): 100-109.

[2] Chaumet B, Leverrier B, Rougeot C, et al. A new silicon tuning fork gyroscope for aerospace applications[C]// Symposium Gyro Technology. 2009: 1.1-1.13.

[3] Sung S, Sung W T, Kim C, et al. On the mode-matched control of MEMS vibratory gyroscope via phase-domain analysis and design[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, 2009, 14(4): 446-455.

[4] Cui J, Chi X Z, Ding H T, et al. Transient response and stability of the AGC-PI closed-loop controlled MEMS vibratory gyroscopes[J]. Journal of Micromechanics and Microengineering, 2009, 19(12): 125015.

[5] 王曉雷, 張印強, 楊成, 等. 基于數字鎖相環控制的硅微陀螺儀驅動模態分析與實驗[J]. 東南大學學報: 自然科學版, 2013, 43(4): 747-752. Wang Xiao-lei, Zhang yin-qiang, Yang Cheng, et al. Analysis and experiment of drive mode of silicon microgyroscope based on digital phased-locked loop control[J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2013, 43(4): 747-752.

[6] 楊成, 李宏生, 陳建元, 等. 基于傅里葉解調算法的硅微陀螺儀控制系統設計與試驗[J]. 東南大學學報: 自然科學版, 2014, 44(3): 550-555. Yang Cheng, Li Hong-sheng, Chen Jian-yuan, et al. Design and test of silicon micromachined gyroscope control system based on Fourier demodulation algorithm [J]. Journal of Southeast University (Natural Science Edition), 2014, 44(3): 550-555.

[7] 羅兵, 王安成, 吳美平, 等. 硅微陀螺數字化雙閉環驅動控制方法[J]. 中國慣性技術學報, 2011, 18(6): 747-750. Luo Bing, Wang An-cheng, Wu Mei-ping, et al. Digital double-closed-loop drive control method for silicon microgyroscope[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2011, 18(6): 747-750.

[8] Yang Cheng, Li Hong-sheng. A novel demodulation algorithm for MEMS gyroscope digital control system[C] //2014 IEEE International Conference on Systems, Man and Cybernetics. 2014: 940-945.

[9] 羅兵, 王安成, 吳美平. 基于相位控制的硅微機械陀螺驅動控制技術[J]. 自動化學報, 2012, 38(2): 206-212. Luo Bing, Wang An-cheng, Wu Mei-ping. A drive control scheme based on phase-control for silicon micromechanical gyroscopes[J]. Acta Automatica Sinica, 2012, 38(2): 206-212.

[10] Omran H, Sharaf K, Ibrahim M. An all-digital direct digital synthesizer fully implemented on FPGA[C]//2009 4th International Conference on Design and Test Workshop. IEEE, 2009: 1-6.

[11] 夏國明, 楊波, 王壽榮. 硅微機械陀螺自激驅動數字化技術[J]. 光學精密工程, 2011, 19(3): 635-640. Xia Guo-ming, Yang Bo, Wang Shou-rong. Digital selfoscillation driving technology for silicon micro machined gyroscopes[J]. Optics and Precision Engineering, 2011, 19(3): 635-640.

[12] Yang Cheng, Li Hong-sheng. Synchronous integrator based on digital control system for silicon micromachined gyroscope[C]//2015 IEEE International Symposium on Inertial Sensors and Systems. 2015: 1-4.

[13] 王曉雷, 楊成, 李宏生. 一種新型的硅微陀螺儀驅動幅值檢測和控制方案[J]. 中國慣性技術學報, 2013, 21(5): 663-667. Wang Xiao-lei, Yang Cheng, Li Hong-sheng. Novel drive-amplitude detection and control scheme of silicon micro-gyroscope[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2013, 21(5): 663-667.

Discrete control analysis on drive mode of silicon micromachined gyroscope

YANG Cheng1,2, LI Hong-sheng1,2
(1. School of Instrument Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 210096, China; 2. Key Laboratory of Micro-Inertial Instrument and Advanced Navigation Technology of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 210096, China)

A discrete domain analysis method is adopted for effectively controlling the drive mode of silicon micromachined gyroscope. The mode controls are studied and implemented based on digital phase-locked loop (DPLL) and digital automatic gain control, respectively. Stability control parameters are given and verified. The digital double closed loops of driving circuit based on field programmable gate array are designed. Experiment results demonstrate that the amplitude accuracy of drive detection signal is less than 2×10-5. Under the condition of -40℃–60℃, the maximum frequency tracking error between the drive frequency and the natural frequency is 8×10-6. Both frequency tracking characteristics and amplitude control stability achieve good effects. Simulation results verify the feasibility of full-digital analysis on the drive mode of silicon micromachined gyroscope, and show that high-precision control of the drive mode can be achieved by the digital control system.

silicon micromachined gyroscope; digital phase-locked loop; digital automatic gain control; FPGA; discrete domain analysis

U666.1

：A

2015-09-11；

：2015-11-29

江蘇省科技支撐計劃項目（BE2014003-3）；預研基金資助項目（9140A09011313JW06119）

楊成（1989—），男，博士研究生，從事微機械系統方面研究。E-mail: ycbb_yc@163.com

聯 系 人：李宏生（1964—），男，教授，博士生導師。E-mail: hsli@seu.edu.cn

1005-6734(2015)06-0780-06

10.13695/j.cnki.12-1222/o3.2015.06.015