用數學模型巧解題

楊艷麗

河北省辛集市馬莊鄉中學

用數學模型巧解題

楊艷麗

河北省辛集市馬莊鄉中學

數學模型可靈活綜合的運用所學知識（包括數學知識）來處理和解決實際問題，這是一種常見的解決實際問題的思考方法。其實質是從實際問題中提出關鍵性的基本量，將其轉化為數學基本問題來表達，并通過觀察、分析、探究和抽象概括，使之符合某一數學模型，進而計算、論證等，最后得出結論。利用構建數學模型的方法來解決實際問題，可以培養學生利用數學的意識，使其創新精神在數學活動中得到體現和落實，對于以后應用于實踐奠定基礎。常見的數學模型有：方程模型、不等式（組）模型、平面幾何模型、解直角三角形模型、函數模型、構建統計模型解決實際問題、構建統計模型解決實際問題。

數學模型；等量關系；探究；分析

“處處留心皆學問”，生活中的實際問題都可以建立一定的數學模型，借助數學模型予以解決。數學模型可靈活綜合的運用所學知識（包括數學知識）來處理和解決實際問題，這是一種常見的解決實際問題的思考方法。其實質是從實際問題中提出關鍵性的基本量，將其轉化為數學基本問題來表達，并通過觀察、分析、探究和抽象概括，使之符合某一數學模型，進而計算、論證等，最后得出結論。利用構建數學模型的方法來解決實際問題，可以培養學生利用數學的意識，使其創新精神在數學活動中得到體現和落實，對于以后應用于實踐奠定基礎。常見的數學模型有：

1.方程模型。

方程模型的實質是建立等量關系。先現實生活中廣泛存在的等量關系，如增長率、儲蓄利率、稅率、產品銷售、人員調配、行程、濃度配比、布料分配、工程施工、電路、杠桿平衡等問題，均可以用方程或方程組來解決，解決此類問題的關鍵是弄清題意，將題目中的已知量與未知量找出，提出相等關系，列出方程組，求出未知量，從而解決實際問題。

2.不等式（組）模型。

不等式（組）模型要求問題中出現不等關系，如在市場經營、生產決策、調配車輛、出租車記費等問題中，有時需要進行盈虧平衡分析，產量、產值預算等，這些問題中常隱含著數量的不等量關系，建立不等式模型是解決問題的有效途徑，一般用于研究考慮設計方案、最佳優化等問題。

例：某種出租車的收費標準是：起步7元（即行駛距離不超過3千米都需要付7元車費），超過3千米，每增加1千米，加收2.4元（不足1千米按1千米計），某人乘這種出租車從甲地到乙地共付車費19元，設此人從甲地到乙地經過的路程是X千米，那么X的最大值是什么？

分析：該問題在乘車人付費時就可以通過不等式問題得出。

解：由題意得7+2.4（X-3）≤19

X≤8

所以X的最大值是8。

3.平面幾何模型。

在零件加工、殘輪修復、地下管道破裂修理人員更換新管道、線圈切割磁力線、拱橋計算、邊角余料加工等應用問題中常建立幾何模型，轉化為幾何問題求解。

如：工人師傅檢驗工件的凹面，成半圓形時為合格。在檢驗是否合格時，就可以用曲尺測量。利用90度的圓周角所對的弦為直徑。建房前挖地基，看是否方正，就是利用勾股定理中的勾三、股四、弦五的知識。在操場上畫跑道的彎道時，用直道在拐彎處與彎道所在的圓相切。在三角形邊角余料中裁剪合格的矩形或圓形零件，通過計算就可知該三角形余料是否可以再利用。在機械制圖、工程設計等領域的一些問題可以利用正多邊形的計算來解決。在制圖上，板金工制作各種圓柱和圓錐形工件時，要根據工件的尺寸，利用圓柱和圓錐的側面展開圖進行計算，在鐵板上畫出下料圖，如白鐵匠做水桶和煙囪帽。

4.解直角三角形模型。

在測高量距、航海是否觸礁、車輛運行時周圍是否受到干擾、堤壩修筑問題、修路是否破壞建筑物、機翼大小、渠壩坡比、燕尾槽、框架設計計算，還可以應用在物理、地理計算上。

例：一艘漁船正以30海里/時的速度由西向東追趕魚群，在A處看見小島C在船的北偏東60度，40分鐘后，漁船行至B處，此時看見小島C在船的北偏東30度，已知以小島C為中心，周圍10海里以內為我軍導彈部隊軍事演習的著彈危險區，問這艘漁船繼續向東追趕魚群，是否有進入危險區域的可能？

5.函數模型。

現實生活中的最優化問題，如優化組合、造價成本最低、產品利潤最大、用料最省收入最高、分配人員、風險決策、股市、期貨、開源節流、扭虧增盈貨船過拱橋、貨車過隧道、勘探設計、電子、機械、軍事、體育競技、航空飛行、信息傳遞、水利建設、天文研究等都可以通過實際，建立變量之間的函數關系轉化為函數問題予以解決。

6.構建平面直角坐標系模型。

投物、射擊、噴灌、跳水、行路、統計等運動的軌跡或變化情況，具有某種規律，或者變量的變化規律具有某種函數關系等實踐問題，一般可以轉化到平面直角坐標系內完成。

7.構建統計模型解決實際問題。

一般在商業活動、選拔活動、估算問題、統計選票、研究合格率、潛能穩定程度、數學期望值、體育訓練測試、物理與化學實驗統計中一般概括出統計知識進行研究。

一切實際問題都可以應用相應的數學模型來研究解決，使問題數學化、科學化，更有利于找出其內在的規律性，這就要求我們把實際問題進行細致的分析研究，找出適合的數學模型，轉化為數學問題進行研究。