讓“數學思想”在課堂中綻放

劉菲

摘 要：數學思想是人類文化重要的一部分。教師在《實數》的教學中要將數學思想滲入課堂教學，使學生能夠通過相關知識的學習體會到數學思想在課堂教學中的重要性。

關鍵詞：數學思想；實數教學設計；課堂教學

一、實數的課堂教學目標

知識目標：理解無理數和實數的概念以及實數的分類，知道實數與數軸上的點具有一一對應關系。

能力目標：

1.經歷對實數進行分類的過程，培養學生分類意識。

2.感受實數可以用數軸上的點來表示，增進學生數形結合的思想。

情感目標：

1.通過活動探究體會數系擴充對人類發展的作用。

2.善于觀察、勇于探究，并能有意識地運用已有知識解決新問題。

二、教學過程

活動一：折紙游戲（數形結合思想）

利用邊長為2的正方形，通過折疊你能得到一個面積為2的正方形嗎？

學生通過動手折疊得到面積為2的正方形。

繼而提問：你知道這個正方形的邊長是多少嗎？得到，順水推舟導入新課。

活動二：（類比思想）

觀察：下列各數是有理數嗎？它們有什么特征？

-3，5，0，，-，-0.6，0.3

通過學生觀察、討論回顧有理數的概念，即整數和分數統稱為有理數。進一步引導學生思考，認識有理數都可以寫成兩整數比的形式。

提問：如果上面的數多表示為小數形式你會發現什么？

由學生回答，并相互補充。

得出結論：任何一個有理數都可以寫成有限小數或者無限循環小數的形式。

引導學生將折紙游戲中得到的利用計算器將它們寫成小數的形式。

通過學生動手操作，發現無限不循環小數的存在，體會為這一類數命名的必要性。

引出新知：無限不循環小數是無理數。

有理數和無理數統稱為實數。

類比有理數發現無理數不可以寫成兩整數比的形式。

無理數命名的來歷：

說法一：“rational number”這個單詞，日本翻譯家把它譯做了有理數。我們又從日本譯成了中文。在這里，譯者只知道“rational”的最常用的意義：有理的，合乎情理的。一般字典上也只有這個譯法。但“rational”還有另外一個意思：此“rational number”是指“可以表示為兩個整數之比的數”。

說法二：公元前500年，古希臘畢達哥拉斯學派的弟子希勃索斯發現了一個驚人的事實，一個正方形的對角線與其一邊的長度是不可公度的（若正方形邊長是1，則對角線的長不是一個有理數）。這一不可公度性與畢氏學派“萬物皆為數”（指有理數）的哲理大相徑庭。這一發現使該學派領導人惶恐、惱怒，認為這將動搖他們在學術界的統治地位。希勃索斯因此被囚禁，受到百般折磨，最后竟遭到沉舟身亡的懲處。

畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點，在數軸上存在著不能用有理數表示的“孔隙”。而這種“孔隙”經后人證明簡直多得“不可勝數”。于是，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了。不可公度量的發現連同著名的芝諾悖論一同被稱為數學史上的第一次危機，對以后2000多年數學的發展產生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗而轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展，并且孕育了微積分的思想萌芽。

不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛紜，得不到正確的解釋，兩個不可通約的比值也一直被認為是不可理喻的數。15世紀意大利著名畫家達·芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。

然而，真理畢竟是淹沒不了的，畢氏學派抹殺真理才是“無理”。人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的可敬學者，就把不可通約的量取名為“無理數”——這便是“無理數”的由來。

想一想：

1.有理數都是帶根號的數。

2.帶根號的數都是無理數。

通過思考讓學生加深對無理數的認識。

判斷：

1.實數不是有理數就是無理數。（ ）

2.無理數都是無限不循環小數。（ ）

引導學生觀察數軸上表示-、的點到原點的距離以及相對原點的位置，得到相反數、絕對值的概念在實數范圍內仍然適用。

練習：

1.寫出-1-的相反數。

2.已知一個數的絕對值是，求這個數。

三、教學反思

在這節課中，利用折紙游戲為學生營造一個激發探索潛能的氛圍，讓學生輕松愉快地參與課堂，《數學課程標準》指出“數學教學是數學活動的教學”“讓學生經歷數學知識的形成與應用過程”。折紙游戲很好地激發了學生的學習興趣，同時也可以促進學生相互交流、溝通和學習，提高學生的數學觀察能力、實踐參與能力和分工合作能力。教師由單一的數學知識的傳授者的角色，向數學學習活動的組織者、引導者與合作者轉變。

學生在對所學過的數進行盤點的過程中，發現以前學習過的數的一個重要特征：“可以表示為兩個整數比”。發現不能表示為兩個整數比的數，將新知識水到渠成地引入課堂，學生參與了無理數的探索發現全過程，繼而通過向學生介紹有關無理數命名的來歷，讓學生知道“無理數”只是一種命名，并非“無理”而是實際存在的不能寫成整數比的數，它和有理數一樣，都是現實世界中客觀存在的量的反映。

縱觀本節課，貫穿了類比思想、分類思想、數形結合思想，這三種數學思想，猶如數學王國的三劍客，擁有了他們便可以在數學王國中策馬奔騰、縱橫馳騁。

編輯 薄躍華