m項交錯調和級數收斂性及推廣應用*

廖 輝，廖 平

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川遂寧629000）

m項交錯調和級數收斂性及推廣應用*

廖 輝，廖 平

（四川職業技術學院應用數學與經濟系，四川遂寧629000）

本文給出了m項交錯調和級數概念，得到了交錯項an（m）的兩個極限值及這類級數的收斂性，給出了這類級數和的積分式及其收斂值，并把結果推廣應用到通項分母呈等差數列（公差d＞0）的一類交錯級數求和上，解決了更多級數求和問題.

調和級數；m項交錯調和級數；斂散性；求和

1.問題

我們知道，調和級數并不收斂，但對其相鄰項給正負符號，組成的交錯級數

一般地，依次把調和級數相鄰m項結合并給正負符號構造交錯級數：

我們把級數（1）叫做m項交錯調和級數.

從前面的討論中知道，m＝1時，交錯調和級數收斂.下面討論m項交錯調和級數（m≥2，m∈N）的收斂情況.

2.m項交錯調和級數的斂散性

定理

an（m）＝s（n+1）m-snm＝［s（n+1）m-ln（nm+m）］-［snm-ln（nm）］+ln（n+1）-ln n.（2）

由定理1（i），有

3.m項交錯調和級數的和

對于m項交錯調和級數的和，首先給出一個引理：

引理1［6］

下面是幾個關于m項交錯調和級數的收斂值的定理.

定理2

證明 首先不難得到

顯然，上式右端的級數當0＜t＜δ（＜1）時一致收斂，故可逐項積分，即

由狄利克雷一致收斂判別法知，（4）式右端級數在［0，1］上一致收斂.當δ＝1時，左連續.于是有

關于這個積分的計算結果，有下面的結論：

證明 在積分式（5）中，令tm＝u，得到

注意到

故有

于是

4.推廣應用

將級數（1）中的an（m）換成bn（m）構成更一般的m項交錯級數：

其中a∈R，d＞0，bn（m）

對級數（8），給定m∈N，有bn（m）＞bn+1（m＝0，從而它收斂［1］.

采用上面定理2求m項交錯調和級數積分和同樣的方法，得

利用（9）式和定理3結果中Jm的值，即可解決更多類別［7-8］的級數求和問題.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J6的值，得

注：利用J6避免了計算非常繁難的原積分.

解a＝1，d＝2，m＝3，利用（9）式和前面J3的值，得

我們還可將（8）式中的bn（m）換成更一般的，只要數列｛un｝單減且得到的m項交錯級數都是收斂的.

［1］陳傳璋，金福臨.數學分析（第二版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，1983.

［2］歐陽光中、朱學炎.數學分析（第三版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［3］張筑生.數學分析新講（第二版第3冊）［M］.北京：北京大學出版社，1991.

［4］舒陽春.高等數學中的若干問題解析［M］.北京：科學出版社，2005.

［5］武漢大學數學系.數學分析［M］.北京：人民教育出版社，1978.

［6］劉玉璉，傅沛仁.數學分析講義（第五版下冊）［M］.北京：高等教育出版社，2008，317—318.

［7］楊傳林.等間距交錯級數的收斂性及求和法［J］.浙江師大學報（自然科學版）2000，23（2）：115—118.

［8］鄭繼明，唐興莉.一類雙交錯級數的收斂性及求和法［J］.重慶師范學院學報（自然科學版），2002，19（1）：33—34.

（責任編輯 李艷梅）

The Convergence and Application of M-terms Alternative Harmonic Series

LIAO Hui＆LIAO Ping
（Department of Practical Mathematics and Economics，Sichuan Vocational and Technical College，Suining，629000，Sichuan Province）

In this paper，a definition of m-terms alternative harmonic series，the convergence property of this kind of series and two limits of its alternative terms an（m）are proposed at first，then formulas to compute the sum of such series are presented.After that，these results are also generalized to alternative series that the denominator of its alternative terms make up an arithmetic sequence（the common difference d＞0），and this generalization allow us to deal with more kinds of summation of series.

harmonic series；m-terms alternative harmonic series；convergence；summation

O174.3

A

1671-7406（2015）09-0005-04卻收斂于ln2［1］.由此想到，依次把調和級數相鄰兩項結合給正負符號，組成交錯級數：

四川省教育廳自然科學重點項目，項目編號：11ZA264。

2015-08-25

廖 輝（1957—），男，教授，碩士，研究方向：應用數學，數學教育。