問題情境類比探究自我評價
——橢圓及其標準方程的教學設計

☉安徽省宣城中學 戴珣

問題情境類比探究自我評價
——橢圓及其標準方程的教學設計

☉安徽省宣城中學 戴珣

一、教材分析

“橢圓的標準方程”是學習圓以后又一個二次曲線的實例.從知識上說，它是對前面所學的運用解析法研究曲線的一次實際演練，同時它也是進一步研究橢圓幾何性質和雙曲線、拋物線問題的基礎；它的學習對整個這一章具有導向和引領作用，是研究曲線方程的深化和鞏固.推導橢圓的標準方程的方法對雙曲線、拋物線方程的推導具有直接的類比作用，為學習雙曲線、拋物線內容提供了基本模式和理論基礎.因此本節課具有承前啟后的作用，是本章的重點內容.

二、學情分析

（1）學生已經學習了直線和圓的方程，初步熟悉了求曲線方程的一般方法和步驟，具備主動探究橢圓知識的基礎.

（2）根據日常生活中的經驗，學生對橢圓有了一定的認識，但仍沒有上升到成為“概念”的水平，將感性認識理性化將會是一個挑戰.

（3）在初中階段沒有涉及含兩個字母、兩個根式的方程化簡問題.

（4）現在學生普遍對數學有一定的畏難情緒，對于較復雜的計算問題，往往不知如何入手，計算能力較弱.由于學生學習解析幾何時間還不長、學習程度也較淺，且受高二這一年齡段學習心理和認知結構的影響，在學習過程中難免會有些困難.如：由于學生對利用坐標法解決幾何問題掌握還不夠，故從研究圓到橢圓，學生思維上會存在障礙，不過他們班級的學習氣氛非常濃厚.

三、教學目標

（1）知識目標：記住橢圓的定義并會推導其標準方程；能根據條件確定橢圓的標準方程．

（2）能力目標：通過對橢圓的定義的理解和標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的方法，提高運用坐標法的自覺性以及解決幾何問題的能力．

（3）情感目標：通過日常生活中對橢圓的初步感知以及橢圓的幾何曲線，感知幾何圖形的曲線美；建立適當的坐標系，得到橢圓的標準方程，體驗數學的對稱美；通過研究方程揭示橢圓的內在本質特性與規律，充分展示數與形結合的和諧美．

四、教學設計

基本流程：具體情境、直觀感知—自主探究、形成概念—類比探究、導出方程—初步運用，強化理解—自我評價、課堂小結.

（一）具體情境，直觀感知

情境：同學們見過橢圓嗎？可以舉出一些橢圓的例子嗎？（學生踴躍回答）我們看下面兩個圖片：中國第一顆人造地球衛星“東方紅一號”衛星運行情況和油罐車.

師（追問）：你能找出其中的橢圓嗎？怎樣才能精確地設計衛星運行軌道？怎么樣求出油罐車的截面的方程呢？

設計意圖：好的引入是一節課成功的一半.本節課筆者這樣設計引入，滲透數學的本質來源于生活，體現圓錐曲線在生產、生活中有著廣泛的應用的思想.采用幾何畫板，也激發了學生學習本節課的熱情和興趣.

（二）自主探究，形成概念

師：能否解決下面的問題：以上圖中的油罐車為例，已知一個運油車上的貯油罐橫截面的外輪廓線是一個橢圓，它的焦距為2.4m，外輪廓線上的任一點P到兩個焦點F1、F2的距離的和為3m.試求這個橢圓的方程.

師：（引導學生將上述問題抽象成數學問題）請同學們拿出事先準備的紙板和圖釘，兩人共同完成實驗.（同時多媒體展示）

實驗步驟：（1）取一條細繩；（2）把它的兩端固定在板上的兩個定點F1、F2；（3）用鉛筆尖（M）把細繩拉緊，在板上慢慢移動看看畫出的圖形.同時，教師在黑板上畫出橢圓，完成后，教師可以在大屏幕上通過幾何畫板再次演示.接下來，讓學生歸納出橢圓的定義.

投影展示：設橢圓的兩個焦點分別為F1、F2，它們之間的距離為2c，橢圓上任意一點P到F1、F2的距離的和為2a（2a＞2c）.求橢圓的方程.

設計意圖：自然界處處存在著橢圓，如何用自己的雙手畫出橢圓呢？在教學過程中充分調動學生的積極性和主動性.讓學生動起來，自己動手，由數學實驗自己得出橢圓的定義，培養學生的概括能力.通過幾何畫板展示橢圓的形成過程，有利于學生主動地獲取知識，可以讓學生看得更加清楚，繩長不變，兩定點之間的距離不變，改變的是動點與兩定點間的距離，體現哪些量不變，哪些量改變.這樣更有利于學生自己歸納出橢圓的定義，一切順理成章，水到渠成.

（三）類比探究，導出方程

類比圓的方程的推導過程，推導出橢圓的標準方程.學生在小組內討論，思考后推薦學生全班交流.

學生1：按照求曲線方程的步驟進行，先建立直角坐標系，以F1F2所在直線為x軸，F1為原點建立直角坐標系.

學生2：這樣建系不好，建立直角坐標系一般應符合簡單和諧化的原則.

步驟一：建立直角坐標系.

以F1F2所在直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系xOy，則F1、F2的坐標分別為（-c，0）、（c，0）.

步驟二：設動點坐標.

設橢圓上任意一點P的坐標為（x，y）.

步驟三：列等式.

根據橢圓的定義知：|PF1|+|PF2|=2a.

步驟四：代入坐標.

步驟五：化簡方程.

不會化簡，請其他小組的同學幫忙解決.

學生3：化去方程中的根式應該用移項平方、再移項再平方的辦法.

兩邊再平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2.

整理得：（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

消去d即可得到（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

展示到這里教室里想起了熱烈的掌聲.

師：學生3、4已經推導出了橢圓的方程，但此形式還不夠簡潔，且x、y的系數形式不一致，為了使方程形式和諧且便于記憶和使用，我們應該如何將方程進行變形呢？（這里，數學審美成為研究發現的動力）

學生5：因為a2（a2-c2）≠0，所以兩邊同除以a2（a2-c2），得

學生6：方程還不具有對稱美，可以更簡潔一點，根據橢圓定義知道a2-c2＞0，所以可設a2-c2=b2（b＞0），于是得到焦點為F1（-c，0）、F2（c，0）的橢圓的標準方程：1（a＞b＞0）.

師：與方程有關的三個數a、b、c中，誰最大，且滿足什么關系？橢圓的焦點位置如何確定？

學生通過小組討論得出.

學生7：（1）與方程有關的三個數a、b、c中，a最大，且滿足b2=a2-c2．

（2）橢圓的焦點位置可由方程中x2與y2的分母的大小來確定，焦點在分母大的項所對應的坐標軸上．

師：若焦點在y軸上，同理可推得焦點為F1（0，-c）、F2（0，c）的橢圓的標準方程是什么？

學生8：若焦點在y軸上，可得焦點為F1（0，-c）、F2（0， c）的橢圓的標準方程：

設計意圖：通過回憶圓的方程的推導過程，使學生不斷復習舊知識，溫故知新，讓學生自己動手推導出橢圓的標準方程，推導過程中遇到的問題，由學生自己提出并解決，學生得到方程（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）時，類比圓的簡潔性，將橢圓方程變形，設計思考題，體現a、b的幾何意義.這樣類比，學生容易接受，知識層層遞進，也為下節課學習幾何性質打下堅實的基礎，同時也使得標準方程的形式更為和諧、簡潔.

（四）初步運用，強化理解

選取課本上的例題，運用橢圓的定義及待定系數法求橢圓的標準方程.

例1求下列橢圓的焦點坐標.

設計意圖：“已知橢圓的標準方程，如何判斷焦點所在的坐標軸？”這是本課時的基礎題，要求學生熟練掌握.

例2已知△ABC的一邊BC固定，長為6，周長為16，求頂點A的軌跡方程.

解答過程略.

例3已知橢圓的兩個焦點的坐標分別是（-2，0）、（2，0），并且經過點，求橢圓的標準方程.

解答過程略.

設計意圖：為了鞏固所學，也為了加強對知識的記憶，設計例題，體現先定位，再定量的思想，為以后處理問題做好準備工作.利用橢圓的定義解題會使解題較簡便，初步給學生一個印象，為今后其他圓錐曲線的相關問題提供解決途徑，提高解題能力.

（五）自我評價，課堂小結

師：這節課你認為有哪些關鍵詞？有哪些收獲？能否歸納本節課的主要內容？

兩個方法：去根號的方法，求標準方程的方法；

三個意識：求美意識，求簡意識，猜想意識.

其他學生的發言略.

設計意圖：讓學生自己小結，不但能檢驗學生學得如何，也能激發學生的學習欲望，同時再一次培養了學生的概括能力.最重要的一點，讓學生體會到了成就感.在此，還可以對學生進行德育教育，給學生以信心.

五、教后反思

1.關于教學內容的思考

本節課以生活中的橢圓為著眼點，通過創設問題情境，達到提高學生學習能力的目的．在教學過程中，為了使教學目標得到有效的落實，在以下環節上進行了精心設計：在推導橢圓的標準方程的環節中，對前面求圓的方程的步驟和方法進行了復習，加強了教學中學生的參與，以學生小組討論、展示為主；凸顯學生主體，通過學習小組討論、展示，充分調動學生學習的主動性、積極性，把課堂還給學生，在交流中“暴露思維”，并以此為基礎和平臺進行針對性辨析、交流、討論、提升.針對學生的情況，在例題選擇上也力求從中低檔題起步，目的則在于進一步加深學生對橢圓定義的理解，給學生充分的時間進行觀察、猜想、討論，培養他們運動變化的觀點和用數形結合的思想解題，從而提高課堂效率．

2.關于教學方法的思考

在教法的選擇上，使學生直接參與課堂教學，充分體現學生的主體作用；啟發、討論的教學形式既增加了教師與學生、學生與學生之間的交流，又能使他們的思路更加開闊，思維更加敏捷，從而引發他們的學習興趣．在教學手段的選擇上，也力求克服單純展示課件的教學形式，使多媒體輔助教學的作用得以充分發揮，從而使學生想象、發現的空間更加廣闊.