一類動(dòng)態(tài)型試題的命題特點(diǎn)與實(shí)踐
——以近五年本區(qū)中考模擬試題為例

☉浙江省寧波市江東區(qū)教研室潘小梅

一類動(dòng)態(tài)型試題的命題特點(diǎn)與實(shí)踐
——以近五年本區(qū)中考模擬試題為例

☉浙江省寧波市江東區(qū)教研室潘小梅

所謂動(dòng)態(tài)型試題，是以幾何圖形或幾何圖形中的一個(gè)或幾個(gè)元素為研究對(duì)象，通過一定的運(yùn)動(dòng)方式，探索圖形中某些元素的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，達(dá)到考查學(xué)生運(yùn)用知識(shí)解決問題能力為目的的一類試題.這類試題常常集幾何、代數(shù)于一體，有較強(qiáng)的綜合性和靈活性；它揭示了運(yùn)動(dòng)過程中數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化，蘊(yùn)含“運(yùn)動(dòng)”與“靜止”、“特殊”與“一般”的辯證思想.正因如此，動(dòng)態(tài)型試題越來越受到中考命題者的青睞，成為中考命題的焦點(diǎn).那么，從命題的角度看，動(dòng)態(tài)型試題有哪些特點(diǎn)呢？本文試圖以近五年命制的動(dòng)態(tài)型試題為例，從命題的視角來剖析一類動(dòng)態(tài)型試題的命題特點(diǎn)，和各位同行交流分享.

一、動(dòng)態(tài)型試題的命題特點(diǎn)剖析

動(dòng)態(tài)型試題以運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)探究幾何圖形的變化規(guī)律，重在考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法解決問題的能力.因此，不管從宏觀的試題結(jié)構(gòu)，還是從微觀的設(shè)問方式來看，它都具有自身的命題特點(diǎn).現(xiàn)結(jié)合一道筆者親自參與設(shè)計(jì)的經(jīng)典動(dòng)態(tài)型中考試題來剖析動(dòng)態(tài)型試題的命題特點(diǎn).

圖1

例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-8，0），直線BC經(jīng)過點(diǎn)B（-8，6），C（0，6），將四邊形OABC繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α度，得到四邊形OA′B′C′，此時(shí)直線OA′、直線B′C′分別與直線BC相交于點(diǎn)P、Q.

（1）四邊形OABC的形狀是_________，當(dāng)α=90°時(shí)，的值是__________.

（2）①如圖2，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸時(shí)，求的值；

②如圖3，當(dāng)四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)，求△OPB′的面積.

（3）在四邊形OABC旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0＜α≤180°時(shí)，是否存在這樣的點(diǎn)P和點(diǎn)Q，使BP=BQ？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

圖2

圖3

圖4

詳細(xì)解答如下：（對(duì)學(xué)生無此要求）

如圖4，過點(diǎn)Q作QH⊥OA′于點(diǎn)H，連接OQ，則QH=OC′=OC.

①如圖4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，OP=PQ=BQ+BP=3x.

在Rt△PCO中，（8+x）2+62=（3x）2，解得（不符實(shí)際，舍去）.所以所以

圖5

②如圖5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，設(shè)OP=PQ=BQ-BP=x，則PC= 8-x.

在Rt△PCO中，（8-x）2+62= x2，解得x=

1.動(dòng)態(tài)變化特征：改變圖形的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系動(dòng)態(tài)型問題關(guān)鍵是圖形的“運(yùn)動(dòng)”，圖形的動(dòng)態(tài)變化表現(xiàn)為圖形位置的改變或圖形形狀、大小的改變.那么，圖形或圖形中的一個(gè)或幾個(gè)元素如何才能動(dòng)起來？改變圖形位置的常用策略是圖形上的點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)（如沿直線或曲線的圖像勻速運(yùn)動(dòng)）或圖形的變換（如平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱、位似等）；改變圖形形狀和大小的常用策略是改變決定圖形形狀和大小的參數(shù)，如改變圖形中角的大小或邊的大小等.例1中四邊形OABC位置的改變就是通過旋轉(zhuǎn)變換改變圖形的位置，探索不同位置下的值與旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系.不同的運(yùn)動(dòng)方式?jīng)Q定了不同的表述方式，要求表述清晰、簡(jiǎn)潔，準(zhǔn)確地表達(dá)動(dòng)態(tài)變化的規(guī)則和形式.

2.試題考查特點(diǎn)：寓函數(shù)思想于動(dòng)態(tài)變化過程之中

由于動(dòng)態(tài)型試題一般反映了動(dòng)態(tài)變化過程中，圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，因此，試題往往會(huì)遵循學(xué)生平時(shí)探究問題的習(xí)慣和思路，試題呈現(xiàn)的一般結(jié)構(gòu)為：

如例1中，先在題干中給出平面直角坐標(biāo)系中的四邊形OABC，并給出了圖形運(yùn)動(dòng)的方式（旋轉(zhuǎn)變換），然后提出問題：“的值與旋轉(zhuǎn)角度α之間的關(guān)系”，整道試題圍繞這個(gè)問題展開設(shè)問，讓學(xué)生在解決問題的過程中感受位置關(guān)系隨著數(shù)量關(guān)系的變化而變化，反之，數(shù)量關(guān)系也隨著位置的改變而改變，將運(yùn)動(dòng)中的函數(shù)思想滲透在試題中.

3.設(shè)問的特點(diǎn)：從特殊到一般，體現(xiàn)探究問題的習(xí)慣和方法

動(dòng)態(tài)型試題的基本圖形和運(yùn)動(dòng)方式一般在題干中給出，因此，題支就圍繞需要解決的問題展開設(shè)問.設(shè)問不僅要體現(xiàn)函數(shù)思想，更要遵循平時(shí)探究問題的習(xí)慣和解決問題的思路.由于函數(shù)表示的是兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系，因此，設(shè)問的順序一般遵循從特殊到一般的方式：如例1的第1問、第2問都是對(duì)四邊形OABC特殊位置的設(shè)問（四邊形OABC的頂點(diǎn)落在y軸上或直線BC上）.第3問尋求旋轉(zhuǎn)變化過程中的一般規(guī)律，這和學(xué)生平時(shí)的思考習(xí)慣正好吻合，體現(xiàn)了研究的過程和策略.那么，設(shè)問中如何體現(xiàn)函數(shù)思想呢？方法是根據(jù)位置關(guān)系設(shè)問數(shù)量關(guān)系或根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)問位置關(guān)系.如例1的第1問先讓學(xué)生判斷四邊形OABC的形狀和旋轉(zhuǎn)角為90°時(shí)的值，為后續(xù)問題的展開奠定基礎(chǔ)；第2問根據(jù)位置關(guān)系（四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在y軸正半軸時(shí)；四邊形OA′B′C′的頂點(diǎn)B′落在直線BC上時(shí)），設(shè)問數(shù)量關(guān)系（求的值；求△OPB′的面積），考查了相似三角形的性質(zhì)與判定、運(yùn)用勾股定理建立等量關(guān)系的方程思想，同時(shí)，讓學(xué)生在解決問題的過程中逐漸明晰旋轉(zhuǎn)變化過程中各個(gè)量之間的關(guān)系（如△OPQ始終是等腰三角形），為第3問的解決提供隱性的鋪墊.第3問反過來進(jìn)行設(shè)問，從數(shù)量關(guān)系設(shè)問位置關(guān)系（求點(diǎn)P的坐標(biāo)），要求學(xué)生運(yùn)用解決前面兩問積累的經(jīng)驗(yàn)深入思考運(yùn)動(dòng)過程中的數(shù)量關(guān)系，充分考查了學(xué)生遷移經(jīng)驗(yàn)綜合解決問題的能力，同時(shí)，由于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下數(shù)量關(guān)系的唯一并不代表位置關(guān)系的唯一引起分類討論，巧妙地考查了“分類討論、轉(zhuǎn)化”等數(shù)學(xué)思想方法，并把函數(shù)思想體現(xiàn)在試題中.

二、動(dòng)態(tài)型試題命題嘗試

從以上剖析可知，動(dòng)態(tài)型試題有其自身的特點(diǎn)與規(guī)律，那么，如何命制一道動(dòng)態(tài)型試題？筆者在命題實(shí)踐中一般經(jīng)歷如下的研究過程：確定動(dòng)態(tài)變化的條件→尋找動(dòng)態(tài)過程的變量→研究特殊情形（特殊位置或特殊圖形）→運(yùn)用動(dòng)態(tài)過程中的不變性提出問題.以下筆者以近5年本區(qū)中考模擬試題為例來介紹動(dòng)態(tài)型試題的命題過程和經(jīng)驗(yàn).

1.通過圖形變換改變圖形位置

例2（2010年寧波江東區(qū)中考模擬試題）如圖6，矩形ABCD內(nèi)接于圓O，將矩形ABCD繞圓心O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0＜α≤90°）得到的矩形A′B′C′D′仍然內(nèi)接于圓O.設(shè)旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形的周長(zhǎng)為C.已知AB=6，AD=8.

（1）如圖7，當(dāng)α=90°時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是四邊形A′B′EF，則四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)是_______.

（2）如圖8，當(dāng)旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是四邊形時(shí)，求sinα的范圍，并比較四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)和圓O的直徑的大小關(guān)系.

（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α為何值時(shí)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形是等腰三角形？此時(shí)等腰三角形的周長(zhǎng)是多少？

圖6

圖7

圖8

解析：（1）易知四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)是14.

（2）如圖9，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)B′與點(diǎn)A重合時(shí)，旋轉(zhuǎn)角即為∠AOB，在△AOB中，可求得它的正弦值為，當(dāng)點(diǎn)B′過了點(diǎn)A后旋轉(zhuǎn)的矩形落在弓形AD內(nèi)的圖形開始變?yōu)樗倪呅危詓inα的取值范圍是0＜sinα＜.如圖9，四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)為線段AB和線段AD的長(zhǎng)度之和，思路很多，如：證△A′FD和△AEB′是等腰三角形；證△A′FA≌△DFD′等.在△ABC中，由三角形兩邊之和大于第三邊可知四邊形A′B′EF的周長(zhǎng)大于圓O的直徑.

圖9

（3）如圖10，設(shè)A′B′與AD、AB分別相交于點(diǎn)M、P，A′D′與AD相交于點(diǎn)N，并設(shè)A′M=a，AM=b，當(dāng)旋轉(zhuǎn)45°時(shí)△A′MN是等腰三角形.∠A′=90°，知△A′MN和△AMP都是等腰直角三角形，同（2）易證A′N=DN，AP=B′P，故AD=AM+MN+ND=b+a+a=8，A′B′=A′M+MP+PB′=a+b+b=6.由AD-A′B′得a-b=2，所以a-b=，即A′MAM=.故△A′MN的周長(zhǎng)=AD+=8+

圖10

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動(dòng)態(tài)變化的條件.《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求能探索圖形變換的性質(zhì)，感悟圖形研究中的運(yùn)動(dòng)變換思想，以動(dòng)態(tài)、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)理解圖形的性質(zhì)及相互關(guān)系.因此，確定旋轉(zhuǎn)變換作為考查的對(duì)象.常見的圖形旋轉(zhuǎn)問題會(huì)把三角形或四邊形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，命題時(shí)希望能有所創(chuàng)新，所以別出心裁地將矩形放在圓中進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，開辟了旋轉(zhuǎn)變換問題的新視角.

（2）尋找動(dòng)態(tài)過程的變量.變換問題本質(zhì)上是以數(shù)量關(guān)系來刻畫位置關(guān)系.運(yùn)用幾何畫板探索發(fā)現(xiàn)，“旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長(zhǎng)”和“旋轉(zhuǎn)角度”有密切關(guān)系，從而確定問題研究的主線是“探究旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系”，即問題的兩個(gè)變量是周長(zhǎng)、旋轉(zhuǎn)角.

（3）研究特殊位置.運(yùn)用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示發(fā)現(xiàn)，旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形可能是三角形，也可能是四邊形，其中最特殊的位置是旋轉(zhuǎn)角為90°的情形，此時(shí)落在弓形內(nèi)的圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，而這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)竟然代表著所有落在弓形內(nèi)的四邊形的周長(zhǎng).

（4）研究設(shè)問的方法.為了讓學(xué)生探究“旋轉(zhuǎn)后的矩形落在弓形內(nèi)的圖形的周長(zhǎng)和旋轉(zhuǎn)角度之間的關(guān)系”這一問題，遵循學(xué)生認(rèn)識(shí)事物的順序展開設(shè)問：設(shè)問1——先從最簡(jiǎn)單的情況入手，讓學(xué)生觀察圖形并獲得直觀感知，輕松地進(jìn)入解題狀態(tài)；設(shè)問2——通過圖形特殊位置讓學(xué)生比較圖形周長(zhǎng)和圓的直徑大小，仍然緊扣核心問題，加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，而且設(shè)問2的解法多樣，給了他們廣闊的展示自身學(xué)習(xí)水平的空間；設(shè)問3——反過來，由確定的旋轉(zhuǎn)角度來探索周長(zhǎng)，整個(gè)問題的解決還需要運(yùn)用整體思想，對(duì)學(xué)生提出了很大的挑戰(zhàn).3個(gè)問題覆蓋初中階段眾多知識(shí)點(diǎn)：圓、三角形全等、等腰三角形性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系、勾股定理、方程，以及旋轉(zhuǎn)變換、整體思想、化歸思想等，設(shè)問由特殊到一般，層層遞進(jìn).能夠誘發(fā)學(xué)生開展積極的、深層次的思考，進(jìn)而反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平.

2.通過點(diǎn)動(dòng)改變圖形位置和形狀

例3（2012年寧波江東區(qū)中考模擬試題）已知：如圖11，拋物線C1：y=（x-m）2+n（m＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸相交于點(diǎn)B，拋物線C2：y=-（x+m）2-n的頂點(diǎn)為C，并與y軸相交于點(diǎn)D，其中點(diǎn)A、B、C、D中的任意三點(diǎn)都不在同一條直線上.

圖11

圖12

（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由.

（3）是否存在m、n的值，使四邊形ABCD是鄰邊之比為1的矩形？若存在，請(qǐng)求出m、n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）略.

（2）m=3，n=0.

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動(dòng)態(tài)變化條件.四邊形和拋物線相結(jié)合的圖形比較常見，尤以四邊形的某些點(diǎn)在同一條拋物線上的問題居多.本題以兩條成中心對(duì)稱的拋物線為藍(lán)本構(gòu)造四邊形ABCD.四邊形ABCD的頂點(diǎn)由拋物線的解析式確定，這樣一旦拋物線的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，四邊形ABCD的形狀和大小便隨之運(yùn)動(dòng).用“點(diǎn)動(dòng)”帶動(dòng)“形動(dòng)”也是常用的動(dòng)態(tài)條件.

（2）尋找動(dòng)態(tài)過程變量.本題中“四邊形ABCD的形狀”隨著“拋物線頂點(diǎn)的位置”變化而變化，這樣動(dòng)態(tài)變化的變量就形成了.

（3）研究特殊情形.四邊形ABCD的形狀隨著頂點(diǎn)A位置的改變而改變，當(dāng)頂點(diǎn)A在某一個(gè)特殊的位置時(shí)，四邊形ABCD可能是正方形，也可能是矩形，反過來，當(dāng)四邊形的形狀確定時(shí)，相應(yīng)的四邊形ABCD的形狀也就隨之而確定了.

（4）研究動(dòng)態(tài)問題設(shè)置.例3的第1問讓學(xué)生判斷四邊形ABCD的形狀，證明的方法有別于平時(shí)學(xué)生遇到的幾何證明，需要結(jié)合拋物線的解析式加以證明.第2問反過來由四邊形的形狀設(shè)問拋物線頂點(diǎn)的位置，考查了特殊位置（點(diǎn)A落在x軸上時(shí)），四邊形ABCD的形狀與拋物線的頂點(diǎn)之間的關(guān)系.第3問再問拋物線的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至哪些位置時(shí)，可以使得四邊形ABCD是邊長(zhǎng)之比確定的矩形.讓學(xué)生在問題解決的過程中感受“四邊形ABCD的形狀如何隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而變化，感受動(dòng)態(tài)問題中的函數(shù)思想.

3.通過設(shè)置參數(shù)改變圖形形狀

決定圖形形狀和大小的是圖形的邊和角，因此，我們可以通過改變圖形本身的角或邊的大小來改變圖形的形狀或大小，從而使圖形動(dòng)起來.

例4（2013年寧波江東區(qū)中考模擬試題）如圖13，分別以矩形ABCD的一組對(duì)邊AD、BC為一邊在矩形ABCD外作菱形ADEF和菱形BCGH，∠FAD=∠HBC=α（0＜α≤90°），點(diǎn)O是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，連接OE、OG、EG.

（1）小明在探究中發(fā)現(xiàn)：如圖14，當(dāng)α=90°時(shí)，有以下兩個(gè)結(jié)論成立：①OE=OG；②AB∥EG.于是，小明猜想：“當(dāng)α≠90°時(shí)，以上兩個(gè)結(jié)論仍然成立.”你同意他的猜想嗎？請(qǐng)你分別作出判斷，并說明理由.

（3）若矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=4，AD=5，當(dāng)△OEG的中位線長(zhǎng)正好等于線段AD長(zhǎng)時(shí)，請(qǐng)你直接寫出sinα的值.

圖13

圖14

圖15

解析：（1）以上兩個(gè)結(jié)論仍然成立.

①OE=OG的證明方法有如下3種.

方法1：如圖16，延長(zhǎng)OA、EF交于點(diǎn)M，延長(zhǎng)OB、GH交于點(diǎn)N，先證△FAM≌△HBN，得FM=HN，從而EM= GN，再證△EMO≌△GNO，得OE=OG.

方法2：如圖17，連接AE、BG，先證明△EDA≌△GCB，得AE=BG，再證明△EAO≌△GBO，從而OE= OG.或者：如圖18，連接OD、OC，先證明△AOD≌△BOC，再證明△EDO≌△GCO，得OE=OG.

圖16

圖17

圖18

圖19

方法3：如圖19，取CD的中點(diǎn)M，連接OM并延長(zhǎng)交EG于點(diǎn)N，連接EM、GM，先證明△EMD≌△GMC，再證明OM⊥CD，證明△EMO≌△GMO，得OE=OG.

②AB∥EG的證明方法有如下4種.

方法1：如圖20，在第①小題得OE＝OG，∠GOB＝∠AOE的基礎(chǔ)上，證明∠GOB＝，∠EGO＝，從而得AB∥EG.

圖20

圖21

方法2：如圖21，在已證EM＝GN，∠M＝∠N＝90°的基礎(chǔ)上，證明四邊形EMNG是矩形或平行四邊形，從而得AB∥EG.

方法3：如圖22，在已證OE＝OG，∠OED＝∠OGC的條件下，證明∠DEG＝∠CGE，∠EDC＝∠GCD，利用四邊形內(nèi)角和，得到∠CGE＋∠GCD＝180°，從而AB∥EG.

圖22

圖23

方法4：如圖23，過點(diǎn)D作DM⊥EG于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN⊥EG于點(diǎn)N，在已證明OE＝OG的條件下，證明△EDM≌△GCN，得DM＝CN，再證明四邊形CDMN是矩形，得到CD∥MN，從而得到AB∥EG.

本題編擬過程及命題意圖如下：

（1）確定動(dòng)態(tài)變化條件.搜索全國(guó)各地的中考題，發(fā)現(xiàn)常見的圖形動(dòng)態(tài)問題的特征為以單一圖形上點(diǎn)（單點(diǎn)、雙點(diǎn)、多點(diǎn)）的運(yùn)動(dòng)或變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）引起的動(dòng)態(tài)問題，于是腦子中出現(xiàn)了多圖組合的設(shè)想.首先想到了當(dāng)矩形和菱形有一邊長(zhǎng)相等的時(shí)候，可以組合在一起，在幾何畫板中構(gòu)造了圖24：由2個(gè)全等的菱形和1個(gè)矩形組合成的復(fù)合圖形，拖動(dòng)點(diǎn)B可以改變矩形ABCD的邊長(zhǎng)大小，拖動(dòng)點(diǎn)E可改變菱形ADEF的內(nèi)角大小，則四邊形BCGH的形狀也隨著改變，但兩個(gè)四邊形始終保持全等.

圖24

圖25

（2）尋找動(dòng)態(tài)過程的變量.圖24中四邊形ADEF和BCGH的形狀隨著改變，但圖形太過簡(jiǎn)單提不出一個(gè)合適的綜合性問題.所以想到再增加一些線段，由于圖24本身是軸對(duì)稱圖形，繼續(xù)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形得到圖25，出現(xiàn)了一些三角形.在圖25中拖動(dòng)點(diǎn)E，發(fā)現(xiàn)線段EG始終與AB平行，且它的長(zhǎng)度隨角度的改變而改變.這樣就找到了動(dòng)態(tài)過程中的一對(duì)變量：“線段EG的長(zhǎng)度”隨著“菱形的一個(gè)內(nèi)角”（不妨設(shè)∠FAD=α）的變化而變化，不妨設(shè)長(zhǎng)方形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=a，AD=b，則EG=a+ 2bsinα，如果給定a、b的值，則EG的長(zhǎng)是關(guān)于角度α的函數(shù).

（3）研究特殊情形.先來研究圖形的特殊情形：如圖26，當(dāng)α=90°時(shí)，顯然有OE=OG，繼續(xù)拖動(dòng)點(diǎn)E，也可以得到一種特殊位置（如圖27）：點(diǎn)O、D、E在同一條直線上，圖27考查的知識(shí)點(diǎn)很豐富：如何證明DC//EG？根據(jù)CD的長(zhǎng)求得EG的長(zhǎng)需要具備相似三角形的相關(guān)知識(shí).

圖26

圖27

繼續(xù)觀察到圖27，還發(fā)現(xiàn)線段CD很可能正好是△OEG的中位線，于是便有了設(shè)問：“若△OEG的中位線恰好等于線段CD的長(zhǎng)，求sinα的值”，通過多次的嘗試發(fā)現(xiàn)當(dāng)AD=4，AB=6時(shí)，可保證OD是一個(gè)整數(shù)，倒過來問題便可迎刃而解.

（4）研究設(shè)問的方式和順序.在以上探究過程中，筆者發(fā)現(xiàn)在所有問題的解決中，都需要說明AB∥EG，這個(gè)結(jié)論有一定的難度，但如果不提出讓學(xué)生證明AB∥EG，有許多學(xué)生很可能會(huì)默認(rèn)兩直線平行，而直接運(yùn)用兩直線平行去解決問題，達(dá)不到考查目的.于是想到了利用特殊位置探究規(guī)律并向?qū)W生展示“從特殊到一般”研究問題的方法.例4第1問以特殊位置存在的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系引導(dǎo)學(xué)生探究一般位置時(shí)線段的數(shù)量和位置關(guān)系，起點(diǎn)低，證明方法多樣，同時(shí)又為后續(xù)的問題作了思維上的鋪墊.第2問讓學(xué)生運(yùn)用探究到的結(jié)論來計(jì)算、求解問題，綜合考查了初中數(shù)學(xué)相似三角形、等腰三角形等初中數(shù)學(xué)核心知識(shí).第3問根據(jù)三角形中位線的位置不同設(shè)置問題，考查了三角形中位線的概念，分類討論思想，運(yùn)用方程等工具解決問題的能力.全題以“從特殊到一般探究結(jié)論→應(yīng)用結(jié)論解決問題”的方式展開，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)問題研究和解決的過程，考查了學(xué)生的知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度等諸多方面，有良好的評(píng)價(jià)導(dǎo)向功能.

最后，筆者想說的是動(dòng)態(tài)型問題靈活多變，姿態(tài)萬千，筆者只是梳理一些淺薄的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，還望各位讀者海涵，并提出更多的建議與筆者分享.