別解見證關聯常規凸顯不凡

☉山東省濱州市北鎮中學初中部　邢成云

別解見證關聯常規凸顯不凡

☉山東省濱州市北鎮中學初中部邢成云

一、試題再現

題目：（2014年菏澤市中考題第20題）已知：如圖1，正方形ABCD，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MN．

（1）若正方形的邊長為a，求BM· DN的值；

（2）若以BM、DN、MN為三邊圍成三角形，試猜想三角形的形狀并證明你的結論．

圖1

二、試題解析

（1）因為BM、DN分別平分正方形的外角，所以∠CBM=∠CDN=45°，所以∠ABM=∠ADN=135°.

因為∠MAN=45°，所以∠BAM+∠NAD=45°．

在△ABM中，∠BAM+∠AMB=180°-135°=45°，

所以∠NAD=∠AMB.

在△ABM和△NDA中，因為∠ABM=∠NDA，∠NAD=∠AMB，所以△ABM≌△NDA．

所以BM·DN=AB·AD=a2.

（2）以BM、DN、MN組成的三角形為直角三角形，證明如下：

如圖2，過點A作AN的垂線AF，在該垂線上截取AF=AN，連接BF、FM.（或將△AND繞點A順時針旋轉90°至△ABF的位置，使得AD與AB重合，連接BF、FM，或以AM為對稱軸作△AMN的對稱圖形△AMF，連接BF）

圖2

因為∠1+∠BAN=90°，∠3+∠BAN=90°，所以∠1=∠3.

在△ABF和△AND中，因為AB=AD，∠1=∠3，AF= AN，所以△ABF≌△ADN，所以BF=DN，∠FBA=∠NDA= 135°.

因為∠FAN=90°，∠MAN=45°，

所以∠1+∠2=45°=∠FAM=∠MAN.

在△AFM和△ANM中，因為AF=AN，∠FAM=∠MAN，AM=AM，所以△AFM≌△ANM.

所以FM=NM．

所以∠FBP=180°-∠FBA=180°-135°=45°.

所以∠FBP+∠PBM=45°+45°=90°．

所以△FBM為直角三角形.

因為FB=DN，FM=MN，

故以BM、DN、MN為三邊的三角形為直角三角形.

說明：若計算出MN2=BM2+DN2，再用勾般定理的逆定理得出該三角形為直角三角形（亦可）.

三、追本探源

以上的中考題應該源于以下題目：

圖3

已知：如圖3，正方形ABCD的邊長為a，BM、DN分別平分正方形的兩個外角，且滿足∠MAN=45°，連接MC，NC，MN.

（1）填空：與△ABM相似的三角形是_______，BM·DN=_______；（用含a的代數式表示）

（2）求∠MCN的度數；

（3）猜想線段BM、DN和MN之間的等量關系并證明你的結論.

命題者對它稍稍進行了改造，粗加工而成：把問題（1）的填空題改編成了一道解答題，內涵一致，確定為新試題的第（1）小題；舍棄了原來的問題（2），把原問題（3）的問題顯性化，與三角形的三邊掛鉤，探索的方向更明確一些，較之原題的難度降了一點.

四、思路分析

試題解析給定的是構造全等三角形的方法，或用旋轉變換構圖、活用軸對稱變換作圖等，是對圖形變換等全等變換的靈活考查，如此確定答案充分展示了圖形變換的不菲作用，但這一輔助線并沒那么容易想到，這個好的“念頭”難有根基，難以登錄學生的思維場域，是對學生較高的思維要求，學生感嘆巧的同時，往往流露出一種無奈與無助.其實這道題目有基本的轉化思路，常規的很，并且有機鏈接了題目的兩個子問題，使得題目的構思更顯現其智能價值，而不至流于拼湊的嫌疑.

五、別樣的精彩

僅限于第（2）小題，不難發現BM、DN和MN三條線段可以看做是梯形的兩底一腰，只要把BD一連，一個直角梯形就顯現在我們面前，剩下的任務無非就是尋找直角梯形兩底與一腰的關系，這類問題我們有非常樸素的經驗，作梯形的高，通過“勾股定理”把它們鏈接在一起，然后就是代數變形了.這些想法更接近學生的已有經驗，更貼近我們的數學教材，更重要的是這道題目的魅力才能得到更好的展現.

如圖4，連接BD，過點M作MH⊥DN，垂足為點H，可證四邊形MNDB為直角梯形，進而得知MH=BD.又BD=，DH=MB，根據勾股定理得MN2=MH2+NH2，即MN2=BD2+（DN-BM）2，MN2=（a）2+ DN2+BM2-2DN·BM.根據（1）的結論BM·DN=a2，可知MN2=（a）2+DN2+BM2-2a2，則MN= DN2+BM2.根據勾股定理逆定理可知以BM、DN、MN為三邊的三角形是直角三角形.

圖4

六、方法比對

方法一（試題解析）：這一方法以圖形的全等變換為載體，立足三角形全等的構造，通過全等三角形的性質及相關知識進行推理獲得“90°”角，進而作出構成直角三角形的判斷，有精妙輕巧之感，但有遠離學生的基本經驗之嫌.

方法二：另一個思路其實在給定的“標準答案”之后有說明，但不知何因沒有給出具體的過程.這個方法，立足圖形現有的元素，用最通俗的作梯形高輔助線（小學生都會的輔助線），然后借助勾股定理構建起相關給定三線段的數量關系，借力問題（1）中獲得的結論變換而得三線段的平方關系，根據勾股定理逆定理敲定問題的答案.相比之下，這個方法脫胎于學生學習《四邊形》一章的基本經驗，不高蹈、不玄妙，更貼近學生，更接地氣.

若從欣賞的角度來說，這兩個方法可以說相得益彰，一個是圖形變換、一個是數式變換，縱橫兩大領域；若從題目本身承載的效能來說，試題解析制定成第二個思路的形式，更能體現題目命制的精妙，因為用第一個思路，第一問就是擺設，兩個子問題不搭界，彼此不相往來；若用第二個思路，境界就不同了，第二問有機鏈接了第一問，呈現內在的“遞進”求解關聯，使得兩個子問題渾然一體，那命題者的良苦用心才會真正體現出它的價值來.

兩個方法、兩個思路、兩重境界.

1.段長榮.“妙解”源于“厭繁”［J］.上海中學數學，2013（10）.

2.單墫.解題研究［M］.南京：南京師范大學出版社，2002.

3.劉瑞祥.從命題視角談“并列”問題與“遞進”求解［J］.中學數學（下），2014（9）.