問題引領：追求自然生成的概念教學
——以函數的單調性的教學為例

☉杭州外國語學校 錢衛江

問題引領：追求自然生成的概念教學
——以函數的單調性的教學為例

☉杭州外國語學校 錢衛江

數學概念是數學教學的核心和基礎，是解決數學問題的前提.課堂教學中，教師應精心設置教學過程，以問題驅動學生參與概念的形成過程，追求自然生成的概念教學.但當前仍然存在著重解題技巧，輕概念生成，忽視對概念本質理解的課堂教學，因而難以有真正意義上的概念建構.如何確立概念教學的核心地位，提高課堂教學的有效性呢？下面以人教A版數學“函數的單調性”概念的教學為例，談談筆者在教學實踐中的幾點體會.

一、教學分析

在研究函數的性質時，單調性是一個重要內容.在初中學習函數時，已經重點研究了一些函數的增減性，只是當時的研究較為粗略，未明確給出有關函數增減性的定義，對于函數增減性的判斷也主要根據觀察圖像得出，而本小節內容，正是初中有關內容的深化和提高：給出函數在某個區間上是增函數或減函數的定義，明確指出函數的增減性是相對于某個區間來說的，還說明判斷函數的增減性既有從圖像上進行觀察的較為粗略的方法，又有根據定義進行證明的較為嚴格的方法，最好根據圖像觀察得出猜想，用推理證明猜想的正確性，這樣就將以上兩種方法統一起來了.

由于函數圖像是發現函數性質的直觀載體，因此，在本節教學時可以充分使用信息技術創設教學情景，以利于學生作函數圖像，有更多的時間用于思考、探究函數的單調性的性質.還要特別重視讓學生經歷這些概念的形成過程，以便加深對單調性的理解.

二、教學目標

（1）函數單調性的研究經歷了從直觀到抽象，以圖識教的過程，在這個過程中，讓學生通過自主探究活動，體驗數學概念的形成過程的真諦，學會運用函數圖像理解和研究函數的性質.

（2）理解并掌握函數的單調性及其幾何意義，掌握用定義證明函數單調性的步驟，會求函數的單調區間，提高應用知識解決問題的能力.

（3）能夠用函數的性質解決日常生活中的簡單的實際問題，使學生感受到學習函數單調性的必要性與重要性，增強學生學習函數的緊迫感，激發學生學習的積極性和主動性.

三、教學過程

1.創設情境，引入課題

例1圖1是上海今年1月某天的氣溫變化圖.觀察這張氣溫變化圖，提出問題：

圖1

（1）如何描述氣溫θ隨時間t的變化情況？

（2）在區間［4，14］上，θ隨t的增大而增大這一特征，要是用數學符號來刻畫，該如何表述呢？

（3）能不能說，取t1=5，t2=6，t3=8，t4=10，得到相對應的θ1，θ2，θ3，θ4的值，有θ1＜θ2＜θ3＜θ4，所以在［4，14］上，θ隨t的增大而增大？

（4）能不能說，取該子區間內所有的輸入值t1，t2，t3，…，tn，得到相對應的θ1，θ2，θ3，…，θn的值，有θ1＜θ2＜θ3＜…＜θn，所以在區間［4，14］上，θ隨t的增大而增大？

設計意圖：本例中，搭設探究問題的臺階，讓學生自己悟出“函數單調性”.通過實際生活中的例子讓學生對圖像的上升和下降有一個初步感性認識，教師借助有效提問，引出圖像升降變化的話題，引導學生思考、交流，誘發學生的學習興趣和求知欲望，為構建“函數的單調性”概念做了鋪墊.另外，通過典型、豐富的實際背景的引入，引導學生開展分析、比較、綜合的活動，并概括共同本質特征得到概念的本質屬性，是獲得概念的常用并且是行之有效的方法.

2.交流互動，形成概念

圖2

引導學生畫出各函數的圖像（如圖2）并進行分類描述圖像是上升的、下降的（增函數、減函數），同時明確函數的圖像變化（單調性）是對定義域內某個區間而言的，是函數的局部性質，同時提出問題：

（1）如何用數學語言描述函數圖像的上升呢？（學生交流討論、嘗試提煉）

初步交流結果：已知函數f（x），如果對于任意的x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立，我們就說，函數f（x）是增函數.

（2）對于函數f（x）=x2，易知此函數圖像在（0，+∞）上呈上升趨勢，如何用數學語言描述？

生1：在y軸右邊，圖像呈上升趨勢；在y軸左邊，圖像呈下降趨勢.對于任意的正數x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立；對于任意的負數x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＞f（x2）成立.

師：很好！對于任意的x1，x2∈（0，+∞），當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2）成立，我們就說，函數f（x）=x2在（0，+∞）上是增函數.函數的單調性概念是函數的一個局部性質，所以在取點的時候，一定要點明所在的區間.

總結概念：一般地，函數f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上任意兩個自變量的值x1，x2，當x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，那么就說函數y=f（x）在區間D上是增函數（圖3）.

通過設計恰當的問題串，使學生在問題解決的過程中不斷完善概念，只有當學生有了實踐的體驗，概念中一些抽象的關鍵詞才能深刻地印在學生的腦海中.

（3）類比單調增函數概念，你能給出單調減函數的概念嗎？

（4）你能找出圖1中的單調區間嗎？

（5）能說出已經學過的函數的單調區間嗎？請同學們舉例說明.

圖3

通過以上問題串的設置，學生體驗數學家概括數學概念的心路歷程，體會蘊含其中的數學思想方法，從而實現學習價值的最優化和最大化.

《普通高中數學課程標準（實驗）》提出：“概念教學應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質.”在數學教學中，教師應充分發揮學生的主體作用，引導學生積極參與概念生成過程的分析、比較、歸納、綜合、抽象、概括等一系列思維活動，通過火熱的思考，使學生的直接經驗獲得抽象與提升，自然地、水到渠成地實現“概念的形成”，并從中體會數學的理性精神.

3.深化辨析，內化概念

在初步形成數學概念以后，再對概念的辨析是不可或缺的環節，在課堂教學中，教師可根據概念的盲點、難點設置一些問題，引導他們辨析，加深學生對概念的理解與記憶.

例3下面說法對嗎？

（2）若函數f（x）在（1，3］和（3，5）上均為增函數，則函數f（x）在（1，5）上為增函數.

學生在這一組題目的解答中，逐步完善了對新建立的概念的認識，把握概念的本質屬性.

②當1＜2時，f（1）＜f（2）；當2＜3時，f（2）＜f（3）；當3＜4時，f（3）＜f（4），所以是單調增函數.

設計意圖：讓學生體會符號化、形式化的必要性.另外，通過上述判斷題，讓學生體會到比較不僅僅是發生在具體的數值之間，而且是任意兩個函數值之間都要比較.

4.應用示例，提升概念

教師再舉一例進行說明，如圖4所示.

進一步提問：函數在定義域內的兩個區間A，B上都是增（減）函數，何時函數在A∪B上也是增（減）函數.將函數圖像進行變形（如x＜0時圖像向下平移），如圖5所示.

再一次回歸定義，強調任意性.

例5畫出函數f（x）=3x+2的圖像，判斷單調性，并加以證明.

在證明的過程中，強調從定義出發，并給出一般的步驟：設元—代入—作差—變形—判斷.

設計意圖：函數單調性定義產生是本節課的難點，難在：如何使學生從描述性語言過渡到嚴謹的數學語言.而對嚴謹的數學語言的準確理解及正確應用更是學生的薄弱環節，這里通過問題研討體現了以學生為主體，師生互動合作，來突破難點.

5.歸納小結，提高認識

知識內容的總結：函數單調性定義，判斷函數單調性的方法（圖像、定義），證明函數單調性的方法（定義）.

思想方法的總結：數形結合、等價轉化、類比等.

圖4

圖5

四、概念教學的一點反思

人們對數學概念的認識都要經歷由實踐—認識—再實踐—再認識的不斷深化的過程.學生要形成、理解和掌握基本的數學概念也是一個十分復雜的認識過程，這就決定了對較難理解的數學概念的教學不能一步到位，而是在運用中不斷地深化，不斷地提高.

本課例中，函數單調性是個重要概念，因此對此概念的獲得要讓學生慢慢體會其生成的過程.通過氣溫變化圖，提出四個問題，讓學生積極投入到設計的問題思考中，為感知、體驗單調性的概念做鋪墊；第二組在形成概念時的4個問題，讓學生自主體驗，自然生成單調性的概念；第三組，通過對一些問題的辨析、討論、領悟，進一步加速對單調性概念的內化；而最后的應用，能將學生對概念的認識提高到一定的高度.

總之，要抓好數學概念的教學，使學生透徹而牢固地掌握數學概念是提高數學教學質量的關鍵所在，作為一個數學教師，要根據概念教學的具體要求，結合教學實際，大膽開拓、銳意進取，優化概念教學設計，把握概念教學過程，真正使學生在參與的過程中產生內心的體驗和創造，達到認識數學思想和本質的目的.FH